1.3.2函数的奇偶性02

1.3.2函数的奇偶性 1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数.2.判断函数奇偶性的步骤①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出结论. 一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.性质:奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函数、偶函数的图象特点(3)奇偶性与单调性的关系 (1)奇偶性的判定与证明用定义判断函数奇偶性的步骤：考查定义域是否关于原点对称；判断f(-x)=±f(x)之一是否成立；证明非奇非偶函数，举出一个反例即可. (2)分段函数奇偶性证明若f(x)是定义在R上的奇函数，必有f(0)=0.分段函数的奇偶性应分段证明f(x)与f(-x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性. 奇函数、偶函数的图象性质1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形;2.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.奇偶函数图象的性质可用于：①简化函数图象的画法；②判断函数的奇偶性.③.求函数的解析式④.判断函数的单调性 例3已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出它在y轴左边的图象oyxyx0由函数的奇偶性作图(2)定义域关于原点对称(3)函数图象关于y轴对称（性质定理）(1)任意x,f(-x)=f(x)任意点（x,f(x)）关于y轴的对称点（-x,f(x)）也在图形上偶函数性质小结（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。（判定定理） 例4已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如图，画出它在y轴左边的图象yxyx0由函数的奇偶性作图(2)定义域关于原点对称(3)函数图象关于原点对称（性质定理）(1)任意x,f(-x)=-f(x)任意点（x,f(x)）关于y轴的对称点（-x,-f(x)）也在图形上奇函数性质小结（4）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。（判定定理） 【1】作出函数y=x2-2|x|-3的图象．-31-1oxy练一练点评:用对称法作图时,先作出x≥0的图象,由函数是偶函数,再用对称法作出另一半的图象. 【2】如果奇函数f(x)在区间[3,7]上为增函数,且最小值是5,则在区间[-7,-3]上有没有最大值？是多少？解:如图所示函数有最大值练一练-7-3-535xy7o函数f(x)在区间[-7,-3]上为增函数. (4)奇偶函数图象的对称性2.函数y=-x3的大致图象可能是（ ）1.课本35页思考、36页练习23.设奇函数发f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图，则不等式f(x)