1.3.2 函数的奇偶性讲义

1.3.2函数的奇偶性一、对称区间(关于原点对称)[a，b]关于原点的对称区间为[－b，－a](－∞，0)关于原点的对称区间为(0，＋∞)[－1，1]关于原点的对称区间为[－1，1]二、奇函数与偶函数（一）奇函数的定义：对于任意函数f(x)在其对称区间（关于原点对称）内，对于x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数。（二）偶函数的定义：对于任意函数f(x)在其对称区间（关于原点对称）内，对于x∈A，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数。如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，则我们就说函数f(x)具有奇偶性。（三）判断函数奇偶性的步骤：（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数的定义域不关于原点对称，则该函数不具备奇偶性，此时函数既不是奇函数，也不偶函数；若函数f(x)的定义域关于原点对称，再进行下一步；（3）求f(－x)；（4）根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性；①若f(－x)＝－f(x)，函数是奇函数；②若f(－x)＝f(x)，函数f(x)是偶函数；③若f(－x)≠±f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；④若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数，也是偶函数。【即f(x)＝0，即定义域关于原点对称的常数函数f(x)＝；当≠0时，常数函数是偶函数；当＝0时，常数函数既是奇函数，也是偶函数。】例1：判断下列函数奇偶性。（1）f(x)＝（2）f(x)＝x3＋x（3）f(x)＝×（4）f(x)＝（5）f(x)＝x2＋cosx【解析】：（1）奇（2）奇（3）非（4）非（5）偶变式练习：判断下列函数的奇偶性。（1）f(x)＝x×tanx（2）f(x)＝（3）f(x)＝7 【解析】：（1）偶（2）奇（3）奇注意：1、判断函数奇偶性的步骤（1）求定义域，判断函数定义域是否关于原点对称；（2）计算f(－x)；（3）判断，若f(－x)＝f(x)偶函数，若f(－x)＝－f(x)奇函数，否则为非奇非偶函数。2、直接判断法：偶±偶＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；奇×偶＝奇。一些重要类型的奇偶函数：（1）f(x)＝为偶函数，f(x)＝为奇函数；（2）f(x)＝（＞0且≠1）为奇函数；（3）f(x)＝（＞0且≠1）为奇函数；（4）f(x)＝（＞0且≠1）为奇函数。三、奇偶函数的性质及应用（一）偶函数的性质：①偶函数的图象关于y轴对称；②f(－x)＝f(x)＝f(︱x︱)；③偶函数的单调性在其对称区间内的单调性相反；④二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则b＝0。（二）奇函数的性质：①奇函数的图象关于原点对称；②f(－x)＝－f(x)；③奇函数的单调性在其对称区间内的单调性相同；④一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，则b＝0；⑤若x＝0在其定义域内，则有f(0)＝0。例2：已知函数f(x)＝x2＋x＋c(≠0)是偶函数，则g(x)＝x4＋x3＋cx2是_______函数。（填奇函数、偶函数、非奇非偶函数）【解析】：偶函数变式练习1：已知函数f(x)＝x2＋x＋3＋(≠0)是偶函数，且定义域为[－1，2]，则＝_______，＝___________。【解析】：0变式练习2：下列函数是奇函数又是增函数的是（）A：f(x)＝x＋1B：f(x)＝－x3C：f(x)＝D：f(x)＝x×｜x｜【解析】：D变式练习3：若函数f(x)＝是奇函数，则＝_______。【解析】：f(－x)＝－f(x)，则＝－，得＝－，故＝－17 例4：已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2－2x，求f(x)的表达式。【解析】：f(x)＝变式练习：已知f(x)是定义在R上的奇函数，，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－3，求f(x)的解析式。【解析】：f(x)＝例5：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝2，则f(1)＝_______。【解析】：f(1)＝－2变式练习1：若f(x)是R上的奇函数，当x≤0，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝_________。【解析】：f(1)＝－3变式练习2：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝，则f[f(2)]＝()A：－B：C：－2D：2【解析】：D变式练习3：已知f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋4，且g(1)＝2，则f(－1)＝_________。【解析】：f(－1)＝－2变式练习4：若f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝_________。【解析】：f(2)＝－26变式练习5：已知函数f(x)＝，则f()＋f()＝__________。【解析】：令f(x)＝，g(x)是奇函数，故f(－x)＝，f(－x)＝，故f(x)＋f(－x)＝6例6：已知f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数且是减函数，满足f(1－)＋f(1－2)＞0，求的取值范围。【解析】：例7：已知偶函数f(x)在区间单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x取值范围是（）7 A：(，)B：(，)C：[，）D：(，＋∞)【解析】：︱2x－1︱＜，则x∈(，)A变式练习2：设f(x)是R上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数，且有f()＜f()，求的取值范围。【解析】：法一：＝＞0，＝＞0＞，故0＜＜3法二：︱︱＞︱︱，则()2＞()2，()2－()2＞0，()()＜0，0＜＜3。变式练习3：函数f(x)（x≠0）是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]＜0的解集。【解析】：由于函数是奇函数，在(0，＋∞)时是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，∵f(1)＝0，则f(－1)＝0，则f[x(x－)]＜f(－1)或f[x(x－)]＜f(1)，得或或＜x＜0或＜x＜综上所述：不等式的解集为(，0)∪(，)例8：已知f(x)是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(x)≠0。（1）求证：f(0)＝1；（2）求证：函数f(x)是偶函数。【解析】：（1）令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，f(x)≠0，故f(0)＝1；（2）令x＝0，则f(0＋y)＋f(0－y)＝2f(0)f(y)，得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，即f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数。变式练习1：若f(x)的定义域为R，且对任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立。（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若当x＞0时，f(x)＞0，判断函数f(x)的单调性；（3）若f(8)＝4，求f(－)的值。7 【解析】：（1）令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，故函数是奇函数。（2）设＞，则－＞0，则f(－)＞0，则f()＝f(＋(－))＝f()＋f(－)，即f()－f()＝f(－)＞0，即f()＞f()。故f(x)在R上是增函数。（3）∵f(8)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝4f(2)＝8f(1)＝16f()，故f()＝，函数是奇函数，∴f(－)＝－例9：已知偶函数f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则f(－3)，f(1)，f(2)的大小关系是____。【解析】：f(1)＜f(2)＜f(－3)变式练习1：设函数f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，若当x[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为_____________。【解析】：(－3，0)∪(3，6)变式练习2：设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0，时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)＜3的解集为____。【解析】：[－3，3]变式练习3：已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集是_______。【解析】：由奇、偶函数性质作出整个定义域内的图象，＜0，即＜0故：(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3)课后综合练习1、若是奇函数，则其图象关于（）A：轴对称B：轴对称C：原点对称D：直线对称7 【解析】：C2、已知函数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么b的值（  ）A：1    B：2   C：0    D：不确定【解析】C3、下列函数中为偶函数的是（）A：B：C：D：【解析】：C4、已知函数是奇函数，则的值为（）A：B：C：D：0【解析】：D5、已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是()A：B：C：D：【解析】：C6、若函数是奇函数，，则的值为____________。【解析】：－37、已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么函数值y的取值范围是____________。【解析】：8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（）A：增函数且最小值为－5B：增函数且最大值为－5C：减函数且最小值为－5D：减函数且最大值为－5【解析】：B9、下列函数是奇函数是（）A：f(x)＝B：f(x)＝C：f(x)＝D：f(x)＝7 【解析】：D10、下列函数是偶函数是（）A：f(x)＝B：f(x)＝C：f(x)＝D：f(x)＝【解析】：B11、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则（）A：f()＜f()＜f()B：f()＜f()＜f()C：f()＜f()＜f()D：f()＜f()＜f()【解析】：＜2＜＜3A12、已知f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()＝。（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性；（3）求解关于x的不等式：f(t－1)＋f(t)＜0【解析】：f(x)＝增0＜t＜13、设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为（）A：(－1，0)∪(1，＋∞)B：(－∞，－1∪(0，1)C：(－∞，－1∪(1，＋∞)D：(－1，0)∪(0，1)【解析】：＝＜0，即＜0【数形结合】D7