更上一层楼基础·巩固·达标1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=3-xB.y=x2+1C.y=D.y=-|x|思路解析:y=3-x,y=,y=-|x|,在(0,2)上都是减函数,y=x2+1在(0,2)上是增函数.答案:B2.已知函数f(x)=,则下列区间不是递减区间的是()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(1,+∞)思路解析:f(x)=的递减区间有两个,即(-∞,0),(0,+∞).答案:C3.设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则有()A.a≥B.a≤C.a>-D.a<思路解析:由已知f(x)为一次函数,且2a-1<0,解得a<.答案:D4.小刚离家去学校由于怕迟到,所以一开始就跑步,跑累了再走余下的路程.在下图所示中,纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图象中较符合小刚走法的是()答案:D5.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时为增函数,x∈(-∞,-2]时为减函数,则f(1)等于()A.-3B.13C.7D.由m而定思路解析:二次函数的对称轴为x=,由条件,得=-2,所以m=-8.所以f(x)=2x2+8x+3,所以f(1)=2+8+3=13.答案:B6.(经典回放)g(x)=x(2-x)的递增区间依次是()A.(-∞,0],(-∞,1]B.(-∞,0],[1,+∞)C.[0,+∞),(-∞,-1]D.[0,+∞],[1,+∞]思路解析:由于f(x)=|x|=g(x)=-(x-1)2+1,结合图象易知选C.答案:C
7.已知函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,且f(a2-1)<f(a-1),则a的取值范围是______________________.思路解析:∵1>a2-1>-1得0<a<或-<a<0.又由1>a-1>-1得0<a<2,所以,要使f(a2-1)、f(a-1)有意义,则0<a<①又f(x)在(-1,1)上是减函数,由f(a2-1)<f(a-1)得a2-1>a-1,即a>1或a<0②综合①②可得,1<a<.答案:1<a<8.当|x|≤1时,函数y=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是_______________.思路解析:∵f(x)=ax+2a+1在[-1,1]时,f(x)有正也有负,∴f(-1)·f(1)<0,即(a+1)(3a+1)<0.∴-1<a<-.答案:(-1,-)综合·应用·创新9.已知f(x)满足f(-x)=f(x),定义域为R且当x≥0时单调递增,若f(π)<f(m),则m的取值范围是__________________.思路解析:f(x)满足f(-x)=f(x),定义域为R,且x≥0时递增,则x<0时递减,又f(π)<f(m),∴π<|m|,即m>π或m<-π.答案:(-∞,-π)∪(π,+∞)10.(经典回放)f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是____________.答案:a>0且b≤011.已知A=[1,b](b>1),对于f(x)=(x-1)2+1,若x∈A,f(x)∈A,试求b的取值范围.答案:∵f(x)=(x-1)2+1的图象是抛物线,>0,∴开口向上,顶点坐标是(1,1).当x∈[1,b]时,f(x)单调递增.当x=b时,f(x)max=f(b)∈[1,b].∴f(b)≤b,即(b-1)2+1≤b,b2-4b+3≤0.解得1≤b≤3.∵b>1,∴1<b≤3为所求.12.已知函数f(x)=x+,(1)求函数的定义域;(2)证明f(x)在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上为增函数;(3)求函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值;(4)根据以上函数的性质作出f(x)在区间(0,+∞)上的图象.(1)解:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)证明:设x1、x2是(0,1)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+(-)=(x2-x1)+=(x2-x1)(1-).∵x1、x2∈(0,1],∴0<x1x2<1,>1.∴1-<0.又∵x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.同理可证f(x)=x+在[1,+∞]上是增函数.(3)解:∵函数f(x)=x+在(0,1]上是减函数,∴当x=1时,函数取最小值ymin=f(1)=1+1=2.又∵f(x)=x+在[1,+∞)上是增函数,∴当x=1时,也取最小值ymin=f(1)=1+1=2.综上所述,函数在(0,+∞)上的最小值为2.(4)解:函数的图象如下图: