第1课时 单调性与最大(小)值
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第1课时 单调性与最大(小)值

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资料简介
本文格式为Word版,下载可任意编辑第1课时 单调性与最大(小)值 2.2 函数的基本性质求考试要求 1.借助函数图像,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义.2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数,了解函数的周期性、对称性及其几何意义. 1..函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数减函数 定义数在函数f(x)的定义域内的一个区间间A上,假如对于任意两数x1,x2A 当当x1lt;x2时,都有f(x1)lt;f(x2),那么,就称函数f(x)在区间A上是增加的当当x1lt;x2时,都有f(x1)gt;f(x2),那么,就称函数f(x)在区间A上上是削减的图像描述 自左向右看图 像是上升的自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义数假如函数y=f(x)在区间A上是增加的或是削减的称,那么就称A为单调区间.2..函数的最值前提数函数y=f(x)的定义域为D条件(1)存在x0D,,得使得f(x0)=M;;(2)对于任意xD,都有f(x)M.(3)存在x0D,,得使得f(x0)=M;;(4)对于任意xD,都有f(x)M.结论M为最大值M为最小值 3..奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数.于图像关于y轴轴对称的函数叫作偶函数.4.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),假如存在数一个非零常数T,使得当x取定义域内的有任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称数函数y=f(x)为周期函数,非零函数T为这个函数的周期.(2)最小正周期:假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个第10页共10页 本文格式为Word版,下载可任意编辑最小的正数,那么这个最小正数就叫作作f(x)的最小正周期.考微思索1.函数y=f(x)满意意任意x1,,x2D,,x1x2,f((x1))-f((x2))x1--x2gt;0(lt;0),能否推断f(x)在区间D上的单调性?提示 能,f((x1))-f((x2))x1--x2gt;0(lt;0)f(x)在在D上上是增加的(减减少的).2.奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的?提示 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 题组一 思索辨析1.推断下列结论是否正确(请在括号中打"'或"')(1)函数y==1x的递减区间是(--,,0)(0,,+).(  )(2)若函数f(x)为奇函数,则f(0)==0.(  )(3)若若y=f(x)在区间D上上是增加的,则函数数y=kf(x)(klt;0),,y==1f((x))间在区间D上上是削减的..(  )(4)若函数f(x)满意f(4-x)=f(x),则f(x)的图像于关于x=2对称.(  )题组二 教材改编2.下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2++xC.f(x)=2x--2-x D.f(x)=2x++2-x 【答案】C【解析】f(x)=x-1为非奇非偶函数,f(x)==x第10页共10页 本文格式为Word版,下载可任意编辑2++x为非奇非偶函数,f(x)=2x++2-x为偶函数.3.函数y==xx-1在区间[2,3]上的最大值是________.【答案】2 【解析】数函数y==xx-1==1++1x-1在在[2,3]上为减函数,当当x=2时,y==xx-1取得最大值22-1==2.4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x[0,5]时,f(x)的图像如图所示,则不等式式f(x)lt;0的解集为________. 【答案】(-2,0)(2,5]】 【解析】 由图像当可知,当0lt;xlt;2,时,f(x)gt;0;;当当2lt;x5时,f(x)lt;0,又f(x)是奇函数,当-2lt;xlt;0时,f(x)lt;0,当-5xlt;-2时,f(x)gt;0.综上,f(x)lt;0的解集为(-2,0)(2,5].题组三 易错自纠5.函数f(x)=(x+1)x-1x+1是是________函数.(填填"奇'"偶'或"非奇非偶'')【答案】 非奇非偶【解析】f(x)的定义域为(--,-1)[1,,+)不关于原点对称.故故f(x)为非奇非偶函数. 6.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函且数,且f(a+1)lt;f(2a),则实数a的取值范围是________.【答案】[-1,1)【解析】 由条件知îîïïííïïìì--2a+12,,--22a2,,a+1gt;2a,,解得-1alt;1. 第第1课时 单调性与最大(小)值题型一确定函数的单调性 点命题点1 求详细函数的单调区间例例1 (1)函数y==12log(-x2++x+6)的的递增区间为( )A.èèææøøöö12,,3第10页共10页 本文格式为Word版,下载可任意编辑 B.èèææøøöö--2,,12C.(-2,3) D.èèææøøöö12,+【答案】A【解析】 由-x2++x+6gt;0,得-2lt;xlt;3,,故函数的定义域为(-2,3),令t=-x2++x++6,则y==12logt,易知其为减函数,由复合函数的单调性法则可知本题等价于数求函数t=-x2++x+6在(-2,3)上的递减得区间.利用二次函数的性质可得t=-x2++x+6在定义域(-2,3)上的递减区间为èèææøøöö12,,3,故选A. (2)设函数f(x)==îîïïííïïìì1,xgt;0,,0,x=0,,--1,xlt;0,,g(x)==x2f(x-1),则函数g(x)的的递减区间是__________.【答案】[0,1)【解析】知由题意知g(x)==îîïïííïïììx2,,xgt;1,,0,x=1,,--x2,,xlt;1,,该函数图像如图所示,其递减区间是[0,1). 点命题点2 推断或证明函数的单调性例例2 试争论函数f(x)==axx-1(a0)在(--1,1)上的单调性.【答案】 【解析】 方法一 设-1lt;x1lt;x2lt;1,f(x)=aèèççææøø÷÷ööx-1+1x-1==aèèææøøöö1++1x-1,,f(x1)-f(x2)=aèèææøøöö1++1x1--1--aèèææøøöö1++1x2--1 =a((x2--x1))((x1--1))((x2--1)),,由于-1lt;x1lt;x2lt;1,以所以x2--x1gt;0,x1--1lt;0,x2--1lt;0,当故当agt;0,时,f(x1)-f(x2)gt;0,即f(x1)gt;f(x2),,数函数第10页共10页 本文格式为Word版,下载可任意编辑f(x)在(-1,1)上是减少的;;当当alt;0时,f(x1)-f(x2)lt;0,即即f(x1)lt;f(x2),函数f(x)在(-1,1)上上是增加的..方法二 f(x)==((ax))((x-1))-ax((x-1))((x-1))2=a((x-1))-ax((x-1))2=-a((x-1))2.当当agt;0时,f(x)lt;0,函数f(x)在(-1,1)上是削减的;;当当alt;0时,f(x)gt;0,函数f(x)在(-1,1)上是增加的..思维升华 确定函数单调性的四种方法(1)定义法:利用定义推断.(2)导数法:适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图图像象法:由图像确定函数的单调区间需留意两点:一是单调区间必需是函数定义域的子集;二是图像象不连续的单调区间要分开写,用"和'或",'连接,不能用"'连接. (4)性质法:利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数"同增异减'的原则时,需先确定简洁函数的单调性.练跟踪训练1 (1)函数f(x)=|x-2|x的的递减区间是________.【答案】[1,2] 【解析】f(x)==îîïïííïïììx2--2x,x2,,--x2++2x,xlt;2. 出画出f(x)的大致图像像(如图所示),知由图知f(x)的的递减区间是[1,2]. (2)已知agt;0,函数f(x)=x++ax(xgt;0),证明:数函数f(x)在(0,,a]上上是减少的,在[a,,+)上上是增加的..证明 方法一 (定义法)设设x1gt;x2gt;0,f(x1)-f(x2)=x1+ax1--x2-ax2 ==(x1--x2)++a((x2--x1))x1x2第10页共10页 本文格式为Word版,下载可任意编辑=((x1--x2))((x1x2--a))x1x2,, ∵∵x1gt;x2gt;0,,x1--x2gt;0,x1x2gt;0,当当x1,,x2(0,,a]时,0lt;x1x2lt;a,,x1x2--alt;0,f(x1)-f(x2)lt;0,f(x1)lt;f(x2),f(x)在(0,,a]上上是减少的;;当当x1,,x2[a,+)时,x1x2gt;a,x1x2--agt;0,,f(x1)-f(x2)gt;0,f(x1)gt;f(x2),f(x)在[a,+)上上是增加的..方法二 (导数法)f(x)=1--ax2=x2--ax2(xgt;0),令令f(x)gt;0x2--agt;0xgt;a,令令f(x)lt;0x2--alt;00lt;xlt;a,f(x)在(0,,a]上上是减少的,在[a,+)上上是增加的.. 题型二函数单调性的应用 点命题点1 比较函数值的大小例例3 (1)设设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+)上上是减少的,则( )A..2332321l2og4fff--æöæö>>ç÷ç÷èøèöç÷èøøæ B..2332321log42fff--æöæö>>ç÷ç÷èøèøæöç÷èøC..3233212log42fff--æö>>ç÷èæöæöç÷ç÷èøøøèD..3322312log42fff--æö>>ç÷èæöæöç÷ç÷èøøøè【答案】C【解析】f(x)为偶函数且在(0,+)上上是减少的,,f èèææøøöölog314==f(-log34)=f(log34),又又log34gt;1,0lt;322-lt;232-lt;1,f(log34)lt;332222,ff--ææö

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