喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落,经历了先“增”后“减”的过程,从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”,让我们来研究——函数的最大值与最小值.
1.3.1单调性与最大(小)值
引入德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了有趣的数据数据表明,记忆的数量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图:123tyo20406080记忆的数量(百分数)天数100
思考1:当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?123tyo20406080100记忆的数量(百分数)天数
画出下列函数的图象,观察其变化规律:1、从左至右图象上升还是下降____?2、在区间________上,随着x的增大,f(x)的值随着______.f(x)=x(-∞,+∞)增大上升
1、在区间____上,f(x)的值随着x的增大而______.2、在区间_____上,f(x)的值随着x的增大而_____.f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图象,观察其变化规律:
在某一区间内当x的增大时,函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势;在某一区间内当x的增大时,函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势;函数的这种性质称为函数的单调性。
函数f(x)=x2:则f(x1)=,f(x2)=x12x22∴函数f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数.任意,都有任意,都有x0x1x2yf(x1)f(x2)在(0,+∞)上任取x1、x2,
Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象?如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个称函数f(x)在这个区间上是增函数。
如何用x与f(x)来描述下降的图象?Oxy如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个称函数f(x)在这个区间上是减函数。
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;注意:2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1f(x2)因此f(x)=1/x在(0,+∞)上是减函数。取值定号变形作差结论
课本P39A3
[全优94页4]y=-(x-3)|x|的递增区间是________.
[全优31页8]已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(1-3x),求x的取值范围.
观察下列两个函数的图象:yxox0图2MB探究点1函数的最大值
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.思考2设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?【解答】f(x)≤M思考1这两个函数图象有何共同特征?最高点的纵坐标即是函数的最大值!
最大值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最大值请同学们仿此给出函数最小值的定义
最小值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最小值
2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M).注意:1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)
解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.
例4.求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1