自主招生华约数学试题及答案11

高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数z满足且，则（A）（B）（C）（D）【答案】D2．在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线DM与AN所成交角的余弦值为（A）（B）（C）（D）【答案】B3．过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是（A）2（B）1（C）（D）【答案】C 4．若，则的最小值和最大值分别为（A）（B）（C）（D）【答案】BBAO1OO2C5．如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，⊙O1，⊙O2又都和⊙O内切，切点分别为A，B。，则（A）（B）（C）（D）【答案】B或C？6．已知异面直线所成60°角，A为空间中一点，则过A与都成45°角的平面（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个【答案】B7．已知向量，，，。则的最小值为（A）1（B）（C）（D）2【答案】B 8．AB过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为（A）（B）（C）（D）【答案】ABACDEF9．如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设，且，则△BDF面积的最大值为（A）（B）（C）（D）【答案】D10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形（D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11．（本小题满分14分）已知△ABC不是直角三角形。（I）证明：；（II）若，且的倒数成等差数列，求的值。12．（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。（Ⅰ）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 13．（本小题满分14分）已知函数，，，令，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：。14．（本小题满分14分）已知双曲线（），，分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使，又△F1PF2的面积为。（Ⅰ）求C的离心率e；（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。15．（本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示未出现连续3次正面的概率。（Ⅰ）求和；（Ⅱ）探究数列的递推公式，并给出证明；（Ⅲ）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。 解答：（1），，，，，，，。。。（Ⅱ）①如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；②如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；③如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是。④如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现正面，那么已经出现连续3次正面，所以不需要考虑。综上，有（）。其中，，。我们先定义几个函数：f(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至少有连续3次相同，总共有f(n)种情况。 g(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次连续相同，总共有g(n)种情况。h(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次不相同，总共有h(n)种情况。显然，下面的等式成立：f(n)+g(n)+h(n)=2^nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化简得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)这个著名数列就不再啰嗦了最后由g(n)求得f(n)当然，最后的结果是f(n)/2,因为连续正与连续负的情况是相等的