2012华约数学试题摘选解析

1.证明方程在n为偶数时没有实数根，在n为奇数时有且仅有一个实数根。解析：令。下面用数学归纳法证明函数在n为偶数时恒大于0，在n为奇数时单调递增且有一个实数根。当n=1时，函数单调递增有且仅有一个实数根。当n=2时，函数恒大于0。假设当n=k时结论成立，那么当n=k+1时（1）若k为奇数，则k+1为偶数。，。由归纳假设知，存在唯一的实数，使得，且当时，当时，故在处取得最小值，即恒大于0.（2）若k为偶数，则k+1为奇数。，。由归纳假设知，恒成立，故单调递增。又，故存在唯一的实数，使得。2.有n位乒乓球选手互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，求n的所有可能取值。解析：假设进行了k场比赛，由一场比赛出现两队队友可知，即，故。下面用数学归纳法证明当时可以构造出满足要求的比赛。（1）当时，，假设这5名选手是A,B,C,D,E,可以安排如下比赛： （2）假设时可以构造出满足要求的比赛，那么时，假设这位选手为，由归纳假设知，可以安排之间满足要求的比赛。又由（1）知可以安排之间满足要求的比赛，故只需安排之间满足要求的比赛。安排如下：。故时可以构造出满足要求的比赛。由（1）（2）知当时可以构造出满足要求的比赛。同理可证，当时也可以构造出满足要求的比赛。综上可知，n的所有可能取值为。