一．解答题（共12小题）1．已知a为一个有理数，解答下列问题：（1）如果a的相反数是a，求a的值；（2）10a一定大于a吗？说明你的理由． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|． 3．有200个数1，2，3，…，199，200．任意分为两组（每组100个），将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，试求代数式|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a99﹣b99|+|a100﹣b100|的值． 4．若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值． 5．若x＞0，y＜0，求：|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值． 6．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）|4﹣（﹣2）|= _________ ．（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|=6成立．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 7．先阅读下列材料，然后完成下列填空：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1|AB|=|OB|=|b|=|b﹣0|=|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图2，A、B两点都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|②如图3，A、B两点都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|③如图4，A、B两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（﹣b）=|a﹣b|综上所述，（1）上述材料用到的数学思想方法是 _________ （至少写出2个）（2）数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是 _________ ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 _________ ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 _________ ；（3）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 _________ ；如果|AB|=2，那么x为 _________ ．
8．已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点．①请在数轴上表示出数﹣a，﹣b对应的点的位置；②请按从小到大的顺序排列a，﹣a，﹣b，b，﹣1，0的大小． 9．化简：|2x+1|﹣|x﹣3|+|x﹣6| 10．若abc≠0，则++的所有可能值是什么？ 11．设，，，，比较a、b、c、d的大小． 12．试比较﹣，﹣，﹣，﹣这四个数的大小．
参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题）1．已知a为一个有理数，解答下列问题：（1）如果a的相反数是a，求a的值；（2）10a一定大于a吗？说明你的理由．考点：相反数；有理数大小比较．719606分析：（1）根据互为相反数的两数之和为0，可得出a的值；（2）讨论a为负值时即可得出结论．解答：解：（1）a+a=0，解得：a=0；（2）当a＜0时，10a＜a．故10a不一定大于a．点评：本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意负数的绝对值越大其值越小． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．考点：绝对值；数轴．719606分析：由数轴可知：b＞c＞0，a＜0，再根据有理数的运算法则，求出绝对值里的代数式的正负性，最后根据绝对值的性质化简．解答：解：由数轴，得b＞c＞0，a＜0，又|a|=|b|，∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b=0．|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|=c﹣a+b﹣c=b﹣a．点评：做这类题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0”进行化简计算． 3．有200个数1，2，3，…，199，200．任意分为两组（每组100个），将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，试求代数式|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a99﹣b99|+|a100﹣b100|的值．考点：整数问题的综合运用；绝对值．719606专题：探究型．分析：由题意可知绝对值式展开后就会发现，最后的式子是一百个大数的和减一百个小数的和，而这些数都是1到200之间的，故可得出结论．解答：解：∵将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，∴设a1=b1+1，a2=b2+2…，∴原式=（101+102+…+200）﹣（1+2+…+100）=100×100=10000．故答案为：10000．点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据题意得出原式=（101+102+…+200）﹣（1+2+…+100）是解答此题的关键． 4．若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．
考点：绝对值．719606专题：探究型．分析：根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定|c﹣a|、|a﹣b|、|b﹣c|，从而问题解决．解答：解：a，b，c均为整数，则a﹣b，c﹣a也应为整数，且|a﹣b|19，|c﹣a|99为两个非负整数，和为1，所以只能是|a﹣b|19=0且|c﹣a|99=1，①或|a﹣b|19=1且|c﹣a|99=0．②由①知a﹣b=0且|c﹣a|=1，所以a=b，于是|b﹣c|=|a﹣c|=|c﹣a|=1；由②知|a﹣b|=1且c﹣a=0，所以c=a，于是|b﹣c|=|b﹣a|=|a﹣b|=1．无论①或②都有|b﹣c|=1且|a﹣b|+|c﹣a|=1，所以|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|=2．点评：根据绝对值的定义和已知条件确定出a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面性． 5．若x＞0，y＜0，求：|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．考点：绝对值．719606分析：首先根据x、y的取值确定x﹣y+2和y﹣x﹣3的取值，从而去掉绝对值符号化简；解答：解：∵x＞0，y＜0，∴x﹣y+2＞0，y﹣x﹣3＜0∴|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|=﹣y+（x﹣y+2）+（y﹣x﹣3）=﹣y+x﹣y+2+y﹣x﹣3=﹣y﹣1．点评：此题考查了有理数的加法运算．注意根据题意确定x﹣y+2和y﹣x﹣3的符号是解此题的关键． 6．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）|4﹣（﹣2）|= 6 ．（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|=6成立．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．考点：绝对值；数轴．719606分析：（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x﹣4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．解答：解：（1）原式=|4+2|=6故答案为：6；（2）令x﹣4=0或x+2=0时，则x=4或x=﹣2当x＜﹣2时，∴﹣（x﹣4）﹣（x+2）=6，﹣x+4﹣x﹣2=6，x=﹣2（范围内不成立）当﹣2＜x＜4时，∴﹣（x﹣4）+（x+2）=6，﹣x+4+x+2=6，6=6，∴x=﹣1，0，1，2，3当x＞4时，
∴（x﹣4）+（x+2）=6，x﹣4+x+2=6，2x=8，x=4，x=4（范围内不成立）∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．点评：本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 7．先阅读下列材料，然后完成下列填空：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1|AB|=|OB|=|b|=|b﹣0|=|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图2，A、B两点都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|②如图3，A、B两点都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|③如图4，A、B两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（﹣b）=|a﹣b|综上所述，（1）上述材料用到的数学思想方法是 数形结合、分类讨论 （至少写出2个）（2）数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 5 ；（3）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 |x+1| ；如果|AB|=2，那么x为 1或﹣3 ．考点：数轴；绝对值．719606专题：数形结合；分类讨论．分析：（1）从材料所提供的解题过程来总结所用的数学思想方法；（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．解答：解：（1）根据“如图2、如图3、如图4”可知，该材料用到了“数形结合”是数学思想和“分类讨论”的数学思想；（2）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3．数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|=5．
（3）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．故答案是：（1）数形结合、分类讨论；（2）3、3、5；（3）|x+1|、1或﹣3．点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 8．已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点．①请在数轴上表示出数﹣a，﹣b对应的点的位置；②请按从小到大的顺序排列a，﹣a，﹣b，b，﹣1，0的大小．考点：有理数大小比较；数轴．719606分析：①根据数轴得出a＜﹣1＜0＜1＜b，得出﹣a＞0，﹣b＜0，且|﹣a|=|a|，|﹣b|=b，根据以上内容标出即可；②根据数轴上表示的数右边的总比左边的数大比较即可．解答：解：①在数轴上表示出数﹣a，﹣b对应的点的位置如图所示：；②a＜﹣b＜﹣1＜0＜b＜﹣a．点评：本题考查了数轴和有理数的大小比较、相反数等知识点，主要考查学生的画图能力和理解能力，注意：在数轴上表示的数右边的总比左边的数大． 9．化简：|2x+1|﹣|x﹣3|+|x﹣6|考点：绝对值．719606专题：分类讨论．分析：先分别令2x+1=0、x﹣3=0、x﹣6=0分别求出x的对应值，再根据x的取值范围利用绝对值的性质去掉绝对值符号即可．解答：解：∵由2x+1=0、x﹣3=0、x﹣6=0分别求得：x=﹣，x=3，x=6，当时，原式=﹣（2x+1）+（x﹣3）﹣（x﹣6）=﹣2x+2；当时，原式=（2x+1）+（x﹣3）﹣（x﹣6）=2x+4；当3≤x＜6时，原式=（2x+1）﹣（x﹣3）﹣（x﹣6）=10；当x≥6时，原式=（2x+1）﹣（x﹣3）+（x﹣6）=2x﹣2；∴原式=．点评：本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 10．若abc≠0，则++的所有可能值是什么？考点：绝对值．719606专题：计算题；分类讨论．
分析：由已知可得，a，b，c均不为零，因为题中没有指明a，b，c的正负，故应该分四种情况：（1）当a，b，c均大于零时；（2）当a，b，c均小于零时；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时；（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案．解答：解：∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0．∵（1）当a，b，c均大于零时，原式=3；（2）当a，b，c均小于零时，原式=﹣3；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=﹣1．∴++的所有可能值是：±3，±1．点评：此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键． 11．设，，，，比较a、b、c、d的大小．考点：有理数大小比较．719606专题：计算题．分析：将各式转化为整数部分加小数部分（真分数）的形式，然后比较整数部分即可．解答：解：∵a==10006+；b==10001+；c==10000+；d==9995+．∴a＞b＞c＞d．点评：此题考查了有理数大小的比较方法，根据此题的特点，要将各数值化为整数部分加小数部分的形式即可进行比较． 12．试比较﹣，﹣，﹣，﹣这四个数的大小．考点：有理数大小比较．719606分析：观察这四个分数的分子与分母可发现，这四个分数可以化为同分子的分数，然后根据同分子的正分数，分母大的分数比较小来比较它们的大小即可．解答：解：∵﹣==﹣1+﹣======﹣1∵（同分子的正分数，分母大的分数比较小）∴．
点评：解答本题时是借助不等式的性质（不等式的两边同时加上同一个数，不等式的符号方向不变）来比较有理数的大小的．
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