人教版数学七年级上册1.2.4《绝对值》 习题及答案
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人教版数学七年级上册1.2.4《绝对值》 习题及答案

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时间:2022-07-19

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资料简介
..-例1求以下各数的绝对值:(1)-38;(2)0.15;(3)a(a<0);(4)3b(b>0);(5)a-2(a<2);(6)a-b.分析:欲求一个数的绝对值,关键是确定绝对值符号的这个数是正数还是负数,然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号,(6)题没有给出a与b的大小关系,所以要进展分类讨论.解:(1)|-38|=38;(2)|+0.15|=0.15;(3)∵a<0,∴|a|=-a;(4)∵b>0,∴3b>0,|3b|=3b;(5)∵a<2,∴a-2<0,|a-2|=-(a-2)=2-a;说明:分类讨论是数学中的重要思想方法之一,当绝对值符号的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时,要化去绝对值符号,一般都要进展分类讨论...word.zl- ..-例2判断以下各式是否正确(正确入“T〞,错误入“F〞):(1)|-a|=|a|;()(2)-|a|=|-a|;()(4)假设|a|=|b|,那么a=b;()(5)假设a=b,那么|a|=|b|;()(6)假设|a|>|b|,那么a>b;()(7)假设a>b,那么|a|>|b|;()(8)假设a>b,那么|b-a|=a-b.()分析:判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义,所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性.判数(或证明)一个结论是错误的,只要能举出反例即可.如第(2)小题中取a=1,那么-|a|=-|1|=-1,而|-a|=|-1|=1,所以-|a|≠|-a|.同理,在第(6)小题中取a=-1,b=0,在第(4)、(7)小题中取a=5,b=-5等,都可以充分说明结论是错误的.要证明一个结论正确,须写出证明过程.如第(3)小题是正确的.证明步骤如下:..word.zl- ..-此题证明的依据是利用|a|的定义,化去绝对值符号即可.对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况.解:其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确,(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的.说明:判断一个结论是正确的与证明它是正确的选项是一样的思维过程,只是在证明时需要写明道理和依据,步骤都要较为严格、规.而判断一个结论是错误的,可依据概念、性质等知识,用推理的方法来否认这个结论,也可以用举反例的方法,后者有时更为简便.例3判断对错.(对的入“T〞,错的入“F〞)(1)如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0.()(2)如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0.()..word.zl- ..-(3)如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1.()(4)如果说“一个数的绝对值是负数〞,那么这句话是错的.()(5)如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数是负数.()解:(1)T.(2)F.-1的倒数也是它本身,0没有倒数.(3)F.正数的绝对值都等于它本身,所以绝对值是它本身的数是正数和0.(4)T.任何一个数的绝对值都是正数或0,不可能是负数,所以这句话是错的.(5)F.0的绝对值是0,也可以认为是0的相反数,所以少了一个数0.说明:解判断题时应注意两点:(1)必须“紧扣〞概念进展判断;(2)要注意检查特殊数,如0,1,-1等是否符合题意.例4(a-1)2+|b+3|=0,求a、b...word.zl- ..-分析:根据平方数与绝对值的性质,式中(a-1)2与|b+3|都是非负数.因为两个非负数的和为“0〞,当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立,所以由条件必有a-1=0且b+3=0.a、b即可求出.解:∵(a-1)2≥0,|b+3|≥0,又(a-1)2+|b+3|=0∴a-1=0且b+3=0∴a=1,b=-3.说明:对于任意一个有理数x,x2≥0和|x|≥0这两条性质是十分重要的,在解题过程中经常用到.例5填空:(1)假设|a|=6,那么a=______;(2)假设|-b|=0.87,那么b=______;(4)假设x+|x|=0,那么x是______数.分析:一个数的绝对值求这个数,那么这个数有两个,它们是互为相反数...word.zl- ..-解:(1)∵|a|=6,∴a=±6;(2)∵|-b|=0.87,∴b=±0.87;(4)∵x+|x|=0,∴|x|=-x.∵|x|≥0,∴-x≥0∴x≤0,x是非正数.说明:“绝对值〞是代数中最重要的概念之一,应当从正、逆两个方面来理解这个概念.对绝对值的代数定义,至少要认识到以下四点:(家教4.0,复习辅导“有理数〞例32结(1)—(4))例6判断对错:(对的入“T〞,错的入“F〞)(1)没有最大的自然数.()..word.zl- ..-(2)有最小的偶数0.()(3)没有最小的正有理数.()(4)没有最小的正整数.()(5)有最大的负有理数.()(6)有最大的负整数-1.()(7)没有最小的有理数.()(8)有绝对值最小的有理数.()解:(1)T.(2)F.数的围扩展后,偶数的围也随之扩展.偶数包含正偶数,0,负偶数(-2,-4,…),所以0不是最小的偶数,偶数没有最小的.(3)T.(4)F.有最小的正整数1.(5)F.没有最大的负有理数.(6)T.(7)T.(8)T.绝对值最小的有理数是0...word.zl- ..-例7比拟以下每组数的大小,在横线上填上适当的关系符号(“<〞“=〞“>〞)(1)|-0.01|______-|100|;(2)-(-3)______-|-3|;(3)-[-(-90)]_______0;(6)当a<3时,a-3______0;|3-a|______a-3.分析:比拟两个有理数的大小,需先将各数化简,然后根据法那么进展比拟.解:(1)|-0.01|>-|100|;(2)-(-3)>-|-3|;(3)-[-(-90)]<0;(6)当a<3时,a-3<0,|3-a|>a-3...word.zl- ..-说明:比拟两个有理数大小的依据是:①在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,正数大于0,大于一切负数,负数小于0,小于一切正数,两个负数,绝对值大的反而小.②两个正分数,假设分子一样那么分母越大分数值越小;假设分母一样,那么分子越大分数值越大;也可将分数化成小数来比拟.例8比拟大小:分析:比拟两个负分数的大小,按法那么,先要求出它们的绝对值,并比拟绝对值的大小.(1)这两个数的绝对值是两个异分母的正分数,要比拟它们的大小,需通分;(2)用(1)的方法比拟这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的,此法不可取.通过比拟它们的倒数,可以快捷的到达目的...word.zl- ..-说明:两个有理数比拟大小,当它们都是负数时,必须通过比拟绝对值的大小来确定它们的大小.(1)一定要注意,因为是两个负数,所以它们的绝对值越大,对应点在数轴的左边离原点的距离就越远,因此它的值就越小.(2)比拟两个异分母正分数的大小时,如果通分很麻烦,可以考虑通过比拟它们倒数大小的方法间接到达目的.理论依据例9在数轴上画出以下各题中x的围:(1)|x|≥4;(2)|x|<3;(3)2<|x|≤5.分析:根据绝对值的几何意义画图.例如,|x|≥4的几何意义是:数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合;|x|<3的几何意义是:数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合...word.zl- ..-解:(1)|x|≥4,即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4,如图1.∴当x>0时,有x≥4;当x<0时,有x≤-4.(2)|x|<3,即数轴上x对应的点到原点的距离小于3,如图2.即有-3<x<3.(3)2<|x|≤5,即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5,如图3...word.zl- ..-即-5≤x<-2或2<x≤5.说明:在数轴上表示含绝对值的不等式时,最容易错的是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件的点的围.应当认真研究负数局部符合条件的点的围的画法,并真正做到“理解〞.例10(1)求绝对值不大于2的整数;(2)x是整数,且2.5<|x|<7,求x.分析:(1)求绝对值不大于2的整数,就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点.(2)因为2.5<|x|<7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数,所以,依绝对值定义应该是满足-7<x<-2.5,或2.5<x<7的所有整数.解:(1)先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的围.由图看出,绝对值不大于2的整数是:-2,-1,0,1,2..word.zl- ..-(2)符合2.5<|x|<7的所有整数,就是符合-7<x<-2.5或2.5<x<7的所有整数.由图看出,符合2.5<|x|<7的整数是:x=±3,±4,±5,±6.说明:因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义,所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义.此题也可以用代数定义求解.根据绝对值的几何定义,用数形结合的思想,把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决,是经常采用的方法.例11a、b、c所表示的数如下图:..word.zl- ..-(1)求|b|,|c|,|b+1|,|a-c|;*(2)化简|a-b|-|-a|+|c-1|+|c-b|.分析:由图知a<-1<b<0,0<c<1.根据以上条件,先确定绝对值符号的数是正数还是负数,然后再化简.解:由图知a<0,b<0,c>0,且b>-1,a<c,a<b,c<1,c>b,∴b+1>0,a-c<0,a-b<0,c-1<0,c-b>0(1)|b|=-b,|c|=c,|b+1|=b+1|a-c|=-(a-c)=c-a(2)|a-b|-|-a|+|c-1|+|c-b|=(b-a)-(-a)+(1-c)+(c-b)=b-a+a+1-c+c-b=1..word.zl- ..-说明:(1)a-b的相反数是-(a-b)=b-a.a+b的相反数是-(a+b)=-a-b.(2)|a-b|的几何意义是:数轴上表示数a、b的两个点之间的距离.不同的两个点之间的距离总是一个正数,等于“较大的数减较小的数〞的差.例12解方程:(1)|14-x|=6,求x;*(2)|x+1|+4=2x,求x.分析:解简单的含有绝对值符号的方程,一般都根据绝对值的代数定义,先化去绝对值符号,然后求解.(2)题需把原方程转化为|x+1|=2x-4的形式后,才便于应用绝对值的代数定义.解:(1)∵|14-x|=|x-14|=6∴x-14=±6当x-14=6时,x=20;当x-14=-6时,x=8.∴x=20或8...word.zl- ..-(2)∵|x+1|+4=2x∴|x+1|=2x-4∵|x+1|≥0,∴2x-4≥0,x≥2.∵x≥2,∴x+1>0,|x+1|=x+1.原方程变形为x+1+4=2x∴x=5.*例13化简|a+2|-|a-3|分析:要化简此式,关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号a+2和a-3在a取不同数值时它们的符号情况,才能正确地转化为不含绝对值的式子.为了能到达此目的,首先应判定|a+2|=0和|a-3|=0时a的取值,即a=-2和a=3,由此可知,a的取值可分为三种情况:即a<-2,-2≤a<3,a≥3.这时|a+2|和|a-3|就可依绝对值定义分别得到不同的去掉绝对值符号后的新形式了.解:由|a+2|=0和|a-3|=0得a=-2或a=3...word.zl- ..--2和3把数轴分为三局部(如图):当a<-2时,原式=-(a+2)-[-(a-3)]=-a-2+a-3=-5当-2≤a<3时,原式=a+2-[-(a-3)]=a+2+a-3=2a-1当a≥3时,原式=a+2-(a-3)=a+2-a+3=5说明:解含有绝对值符号的题目时,首先要将其转化为不含绝对值符号的形式.然后再进展整理或化简...word.zl- ..-..word.zl-

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