北师大版九年级数学上册期末测试题含答案

北师大版九年级数学上册期末测试题含答案 期末测试题（一） 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是(　　) A. 3y2＋2y＋1＝0　 B.1 2x2＝1－3x C. 1 10a2－1 6a＋2 3＝0　　 D．x2＋x－3＝x2 2．如图放置的几何体的左视图是(　　) (第 2 题) 3．下列命题为真命题的是(　　) A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．若反比例函数 y＝k x的图象经过点(m，3m)，其中 m≠0，则反比例函数的图象在(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．已知关于 x 的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是(　　) A．k≤－2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2 且 k≠1 6．有三张正面分别标有数－2，3，4 的不透明卡片，它们除数不同外，其他全部相同．现 将它们背面朝上洗匀后，从中任取两张，则抽取的两张卡片上的数之积为正偶数的概率是(　　) A.4 9 B. 1 12 C.1 3 D.1 6 7．如图，在△ABC 中，已知点 D，E 分别是边 AC，BC 上的点，DE∥AB，且 CE∶EB＝2∶3， 则 DE ∶AB 等于(　　) A．2∶3 B．2∶5 C．3∶5 D．4∶5 (第 7 题)　 　 (第 8 题)　　 (第 9 题)　　 (第 10 题) 8．如图，在菱形纸片 ABCD 中，∠A＝60°，P 为 AB 的中点，折叠该纸片使点 C 落在点 C′ 处，且点 P 在 DC′上，折痕为 DE，则∠CDE 的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．60° 9．设△ABC 的一边长为 x，这条边上的高为 y，y 与 x 之间的反比例函数关系如图所示．当 △ABC 为等腰直角三角形时，x＋y 的值为(　　) A．4 B．5 C．5 或 3 2 D．4 或 3 2 10．如图，在△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM 是 AC 边上的中线，点 D，E 分别在边 AC 和 BC 上，DB＝DE，DE 与 BM 相交于点 N，EF⊥AC 于点 F，有以下结论： ①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE0.所以图象 在第一、三象限． 5．D　6.C　7.B　8.C 9．D　点拨：由题意得 xy＝4，当等腰直角三角形 ABC 的斜边长为 x 时，x＝2y，所以 2y2＝ 4，解得 y＝ 2或 y＝－ 2(不合题意，舍去)，所以 x＝2 2，所以 x＋y＝3 2；当等腰 直角三角形 ABC 的一条直角边长为 x 时，x＝y，所以 y2＝4，解得 y＝2 或 y＝－2(不合题 意，舍去)，所以 x＝2，所以 x＋y＝4.故 x＋y 的值为 4 或 3 2.故选 D. 10．C　点拨：①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°－x，从而可得到∠DBE＝∠DEB＝180°－(90° －x)－45°＝45°＋x，∠DBM＝∠DBE－∠MBE＝45°＋x－45°＝x，从而可得到∠DBM＝∠ CDE，所以①正确． ②可证明△BDM≌△DEF，然后可证明S△DNB＝S 四边形NMFE，所以S△DNB＋S△BNE＝S 四边形NMFE＋S△BNE， 即 S△BDE＝S 四边形 BMFE.所以②错误． ③可证明△DBC∽△NEB，所以CD BD＝BN EN，即 CD·EN＝BN·BD.所以③正确． ④由△BDM≌△DEF，可知 DF＝BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知 BM＝1 2AC，所以 DF＝1 2AC，即 AC＝2DF.所以④正确．故选 C. 二、11.－2　12.8 cm 13．5　点拨：综合左视图和主视图知，这个几何体有两层，底层最少有 2＋1＝3(个)小正 方体，第二层有 2 个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有 3＋2＝5(个)． 14．50　点拨：设药物燃完后 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝k x，把点(10，8)的坐标代入 y ＝k x，得 8＝ k 10，解得 k＝80，所以药物燃完后 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝80 x .当 y＝1.6 时，由 y＝80 x 得 x＝50，所以从消毒开始，经过 50 min 后教室内的空气才能达到安全要求． 15．4 或40 13　16.500 17．9　点拨：由题易知 OC＝3，点 B 的坐标为(5，4)．则▱ABCO 的面积为 12.设直线 BC 对 应的函数表达式为 y＝k′x＋b，则{3k′＋b＝0， 5k′＋b＝4， 解得{k′＝2， b＝－6. ∴直线 BC 对应的函数表达式为 y＝2x－6.∵点 A(2，4)在反比例函数y＝k x的图象上，∴k＝ 8.∴反比例函数的表达式为 y＝8 x.由{y＝2x－6， y＝ 8 x 解得{x＝4， y＝2 或{x＝－1， y＝－8 (舍去)．∴点 D 的坐标为(4，2)． ∴△ABD 的面积为1 2×2×3＝3. ∴四边形 AOCD 的面积是 9. 18．12　点拨：易知 EF∥BD∥HG， 且 EF＝HG＝1 2BD＝3. 同理可得 EH∥AC∥GF 且 EH＝GF＝1 2AC＝4. 又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG. ∴四边形 EFGH 是矩形． ∴四边形 EFGH 的面积＝EF×EH＝3×4＝12. 故答案是 12. 三、19.解：(1)x2－6x－6＝0， x2－6x＋9＝ 15， (x－3)2＝ 15， x－3＝ ± 15， ∴x1＝3＋ 15，x2＝3－ 15. (2)(x＋2)(x＋3)＝1， x2＋5x＋6＝1， x2＋5x＋5＝0， ∵a＝1，b＝5，c＝5， ∴b2－4ac＝52－4×1×5＝5. ∴x＝－5 ± 5 2 . ∴x1＝－5＋ 5 2 ，x2＝－5－ 5 2 . 20．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12＋8k＞0，∴k＞－1 8. 又∵k≠0， ∴k 的取值范围是 k＞－1 8，且 k≠0. (2)由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－1 k，x1·x2＝－2 k. ∵(x1＋x2)2＋x1·x2＝3， ∴(－ 1 k ) 2 －2 k＝3，即 3k2＋2k－1＝0， 解得 k＝1 3或 k＝－1. 由(1)得 k＞－1 8，且 k≠0， ∴k＝1 3.21．解：(1)画树状图如下： (第 21 题) 由树状图可知共有 12 种等可能的结果， 其中在函数 y＝－x＋5 的图象上的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， ∴点(x，y)在函数 y＝－x＋5 的图象上的概率为 4 12＝1 3. (2)不公平． 理由：∵x，y 满足 xy＞6 的点有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共 4 种结果， x，y 满足 xy＜6 的点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共 6 种结果， ∴P(小明胜)＝ 4 12＝1 3，P(小红胜)＝ 6 12＝1 2. ∵1 3≠1 2， ∴游戏不公平． 公平的游戏规则为：若 x，y 满足 xy≥6，则小明胜，若 x，y 满足 xy＜6，则小红胜．(规 则不唯一) 22．解：(1)如图，线段 EF 就是此时旗杆 DE 在阳光下的投影． 作法：连接 AC，过点 D 作 DF∥AC，交直线 BE 于点 F，则线段 EF 即为所求． (2)∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE. 又∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴△ABC∽△DEF.∴AB DE＝BC EF. ∵AB＝3 m，BC＝2 m，EF＝6 m，∴ 3 DE＝2 6. ∴DE＝9 m. 即旗杆 DE 的高度为 9 m. (第 22 题) 23．解：(1)∵点 A 的坐标为(0，1)，点 B 的坐标为(0，－2)， ∴AB＝1＋2＝3，即正方形 ABCD 的边长为 3， ∴点 C 的坐标为(3，－2)． 将点 C 的坐标代入 y＝k x可得，k＝－6， ∴反比例函数的表达式为 y＝－6 x. 将 C(3，－2)，A(0，1)的坐标分别代 y＝ax＋b，得{3a＋b＝－2， b＝1， 解得{a＝－1， b＝1， ∴一次函数的表达式为 y＝－x＋1. (2)设 P(t，－ 6 t)， ∵△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， ∴1 2×1×|t|＝3×3， 解得 t＝±18. ∴点 P 的坐标为(18，－ 1 3)或(－18， 1 3). 24．(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.又∵DP＝DP， ∴△ADP≌△CDP. ∴PA＝PC. 又∵PA＝PE，∴PC＝PE. (2)解：由(1)知△ADP≌△CDP， ∴∠DAP＝∠DCP. ∵PA＝PE， ∴∠DAP＝∠E. ∴∠FCP＝∠E. 又∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°， ∴∠CPE＝∠EDF＝90°. (3)解：AP＝CE.理由如下： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP. 又∵DP＝DP， ∴△ADP≌△CDP. ∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP. 又∵PA＝PE， ∴PC＝PE，∠DAP＝∠DEP. ∴∠DCP＝∠DEP. 又∵∠PFC＝∠DFE， ∴∠CPF＝∠EDF. ∵在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝120°. ∴∠EDC＝60°. ∴∠CPE＝∠EDF＝60°. 又∵PC＝PE， ∴△PCE 是等边三角形． ∴PE＝CE. 又∵PA＝PE， ∴AP＝CE. 25．(1)证明：在题图①中作 EG∥AB 交 BC 于点 G， 则∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∴∠EGC＝∠C.∴EG＝EC. ∵BD＝CE，∴BD＝EG. 又∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE， ∴△BFD≌△GFE. ∴DF＝EF. (2)解：DF＝1 nEF. 证明：在题图②中作 EG∥AB 交 BC 于点 G，则∠D＝∠FEG.由(1)得 EG＝EC. ∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG， ∴△BFD∽△GFE.∴BD EG＝DF EF. ∵BD＝1 nCE＝1 nEG，∴DF＝1 nEF. (3)解：成立． 证明：在题图③中作 EG∥AB 交 CB 的延长线于点 G， 则仍有 EG＝EC，△BFD∽△GFE. ∴BD EG＝DF EF. ∵BD＝1 nCE＝1 nEG， ∴DF＝1 nEF. 期末测试题（二） 一、单选题（共 10 题；共 30 分） 1.下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 6 푥 （x＞0）的图象交于 A（m，6），B（3，n）两 点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，下列结论：①一次函数解析式为 y=﹣2x+8； ②AD=BC；③kx+b﹣ 6 푥 ＜0 的解集为 0＜x＜1 或 x＞3；④△AOB 的面积是 8，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 3.某反比例函数的图象经过点（-1，6），则此函数图象也经过点 ( ). A. (2, - 3) B. ( -3, - 3) C. (2,3) D. ( -4,6) 4.一个口袋中装有 10 个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋 中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出 10 个球，求出其中红球数 与 10 的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程 20 次，得到红球与 10 的比值 的平均数为 0.4，根据上述数据，估计口袋中大约有（　　）个黄球． A. 30 B. 15 C. 20 D. 12 5.下列结论中正确的是（ ） A. 有两条边长是 3 和 4 的两个直角三角形相似 B. 一个角对应相等的两个等腰三角形相似 C. 两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 D. 有一个角为 60°的两个等腰三角形相似 6.如果矩形的面积为 6cm2 ， 那么它的长 ycm 与宽 xcm 之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 y=x-5，令 x=1 2 ， 1，3 2 ， 2，5 2 ， 3，7 2 ， 4，9 2 ， 5，可得函数图象上 的十个点．在这十个点中随机取两个点 P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），则 P，Q 两点在同 一反比例函数图象上的概率是（　　) A. 1 9 B. 4 45 C. 7 45 D. 2 5 8.下列图形中，面积最大的是（ ） A. 边长为 6 的正三角形； B. 长分别为 3、4、5 的三角形； C. 半径为 3的圆； D. 对角线长为 6 和 8 的菱形； 9.如图，A（1，2）、B（-1，-2）是函数 y＝ 2 푥的图象上关于原点对称的两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC 的面积记为 S，则（　　) A. S=2 B. S=4 C. S=8 D. S=1 10.等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，D 是 AC 上的一点，AD=BD，则以下结论中正确的有 （　　）①△BCD 是等腰三角形；②点 D 是线段 AC 的黄金分割点；③△BCD∽△ABC；④BD 平分∠ABC． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（共 10 题；共 33 分） 11.如图，已知 푙1 ∥ 푙2 ∥ 푙3 ，如果 AB： 퐵퐶 = 2 ：3, 퐷퐸 = 4 ，则 EF 的长是 ________ ． 12.关于 x 的一元二次方程 x2﹣2kx+k2﹣k=0 的两个实数根分别是 x1、x2 ， 且 x12+x22=4， 则 x12﹣x1x2+x22 的值是________． 13.如图，现有一张矩形纸片 ABCD，其中 AB=4cm，BC=6cm，点 E 是 BC 的中点．将纸片沿 直线 AE 折叠，使点 B 落在梯形 AECD 内，记为点 B′，那么 B′、C 两点之间的距离是 ________ cm． 14.如图，在矩形 ABCD 中，AB：BC=3：5．以点 B 为圆心，BC 长为半径作圆弧，与边 AD 交 于点 E，则 퐴퐸 퐸퐷 的值为________．15.已知实数 m、n 满足 m2﹣4m﹣1=0，n2﹣4n﹣1=0，则 푚 푛 + 푛 푚 =________． 16. 如 图 ， 在 ▱ABCD 中 ， BE⊥AB 交 对 角 线 AC 于 点 E ， 若 ∠1=20° ， 则 ∠2 的 度 数 为 ________． 17. 如 图 ， AB⊥AC ， AD⊥BC ， 已 知 AB=6 ， BC=9 ， 则 图 中 线 段 的 长 BD=________ ， AD=________ ，AC=________ 18.若关于 x 的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2=0 是一元二次方程，则 a 的值为________． 19.如图，在平面直角坐标系中，点 A（ 3 ， 0），点 B（0，1），作第一个正方形 OA1C1B1 且点 A1 在 OA 上，点 B1 在 OB 上，点 C1 在 AB 上；作第二个正方形 A1A2C2B2 且点 A2 在 A1A 上， 点 B2 在 A1C2 上，点 C2 在 AB 上…，如此下去，则点 Cn 的纵坐标为________ ． 20.如图，在平面直角坐标系中，直线 푦 = - 3 3 푥 + 3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点， 点 C 是线段 AB 的中点，连接 OC，然后将直线 OC 绕点 C 逆时针旋转 30°交 x 轴于点 D，再 过 D 点作直线 DC1∥OC，交 AB 与点 C1 ， 然后过 C1 点继续作直线 D1C1∥DC，交 x 轴于点 D1 ，并不断重复以上步骤，记△OCD 的面积为 S1 ，△DC1D1 的面积为 S2 ，依此类推， 后面的三角形面积分别是 S3 ， S4…，那么 S1=________，若 S=S1+S2+S3+…+Sn ， 当 n 无限大时，S 的值无限接近于________．三、解答题（共 9 题；共 57 分） 21.如图，在由边长为 1 的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1 及 △A2B2C2； （1）若点 A、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3），请画出平面直角坐标系并指出点 B 的坐标； （2）画出△ABC 关于 y 轴对称再向上平移 1 个单位后的图形△A1B1C1； （3）以图中的点 D 为位似中心，将△A1B1C1 作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到 △A2B2C2 ． 22.如图是一个粮仓（圆锥与圆柱组合体）的示意图，请画出它的三视图． 23.已知，如图，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AE=CF．求证：BE=DF．24.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严 打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价 200 元/瓶，经过连续两次降价后，现在 仅卖 98 元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率． 25.甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了 60 次，出现向上点数 的次数如表： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 10 7 9 16 10 （1）计算出现向上点数为 6 的频率． （2）丙说：“如果抛 600 次，那么出现向上点数为 6 的次数一定是 100 次．”请判断丙 的说法是否正确并说明理由． （3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为 3 的倍数的概率． 26.如图，已知四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，CE 与 DE 交于点 E.请探索 CD 与 OE 的位置关系，并说明理由.27.如图，在平面直角坐标系中，AO⊥BO，∠B=30°，点 B 在 y= 3 푥 的图象上，求过点 A 的 反比例函数的解析式． 28.如图，AD 是△ABC 的中线，AE∥BC，BE 交 AD 于点 F，且 AF=DF． （1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形； （2）当 AB、AC 之间满足　퐴퐵 = 퐴퐶　时，四边形 ADCE 是矩形； （3）当 AB、AC 之间满足　퐴퐵 = 퐴퐶,퐴퐵 ⊥ 퐴퐶时，四边形 ADCE 是正方形． 29.【问题情境】 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是线段 BG 上的动点，AE⊥EF，EF 交正方形外角∠DCG 的平 分线 CF 于点 F． 【探究展示】 （1）如图 1，若点 E 是 BC 的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF． （2）如图 2，若点 E 是 BC 的上的任意一点（B、C 除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF 是否仍然成 立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图 3，若点 E 是 BC 延长线（C 除外）上的任意一点，求证：AE=EF． 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】D 二、填空题 11.【答案】6 12.【答案】4 13.【答案】18 5 14.【答案】4 15.【答案】2 或﹣18 16.【答案】110° 17.【答案】4；2 5；3 5 18.【答案】3 19.【答案】(3 - 3 2 )푛 20.【答案】 3 4 ；9 3 20 三、解答题 21.【答案】解：（1）如图所示，B（﹣4，2）； （2）如图所示：△A1B1C1 即为所求； （3）如图所示：△A2B2C2 即为所求．22.【答案】 23.【答案】证明：证法一：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝9０°． 在△ABE 和△CDF 中 ∵ { 퐴퐸 = 퐶퐹 ∠퐴 = ∠퐶 퐴퐵 = 퐶퐷 ， ∴△ABE≌△CDF（ＳAＳ）， ∴BE＝DF（全等三角形对应边相等） 证法二：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， 又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF 即 ED＝BF， 而 ED∥BF， ∴四边形 BFDE 为平行四边形 ∴BE＝DF（平行四边形对边相等）．利用全等三角形对应边相等求证 24.【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是 x，由题意得： 200(1 - 푥)2 = 98 解得： 푥1 = 1.7 （不合题意舍去）， 푥2 = 0.3 =30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是 30%． 25.【答案】解：（1）出现向上点数为 6 的频率=1 6； （2）丙的说法不正确， 理由：（1）因为实验次数较多时，向上点数为 6 的频率接近于概率，但不说明概率就等 一定等于频率； （2）从概率角度来说，向上点数为 6 的概率是1 6的意义是指平均每 6 次出现 1 次； （3）用表格列出所有等可能性结果： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有 36 种等可能性结果，其中点数之和为 3 的倍数可能性结果有 12 个 ∴P（点数之和为 3 的倍数）=12 36=1 3． 26.【答案】解：DC⊥OE. 证明如下:∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形 OCED 为平行四边形， ∵四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC、BD 交于点 O， ∴OD=OC， ∴四边形 OCED 是菱形， ∴DC⊥OE 27.【答案】解：作 AD⊥x 轴于 D，BE⊥x 轴于 E，如图，设 B（m， 3 푚 ） 在 Rt△ABO 中，∵∠B=30°， ∴OB= 3 OA， ∵∠AOD=∠OBE， ∴Rt△AOD∽Rt△OBE， ∴ 퐴퐷 푂퐸 = 푂퐷 퐵퐸 = 푂퐴 푂퐵 ，即 퐴퐷 푚 = 푂퐷 3 푚 = 1 3 ， ∴AD= 3 3 푚 ，OD= 3 푚 ， ∴A 点坐标为 ( - 3 푚 ， 3 3 푚) ， 设点 A 所在反比例函数的解析式为 푦 = 푘 푥 ， ∴k= - 3 푚 ⋅ 3 3 푚 = - 1 ， ∴点 A 所在反比例函数的解析式为 푦 = - 1 푥 ． 28.【答案】（1）证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=CD， ∵AE∥BC， ∴∠AEF=∠DBF， 在△AFE 和△DFB 中， {∠퐴퐸퐹 = ∠퐷퐵퐹 ∠퐴퐹퐸 = ∠퐵퐹퐷 퐴퐹 = 퐷퐹 ， ∴△AFE≌△DFB（AAS）， ∴AE=BD， ∴AE=CD， ∵AE∥BC， ∴四边形 ADCE 是平行四边形；（2）当 AB=AC 时，四边形 ADCE 是矩形； ∵AB=AC，AD 是△ABC 的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵四边形 ADCE 是平行四边形， ∴四边形 ADCE 是矩形， 故答案为：AB=AC； （3）当 AB⊥AC，AB=AC 时，四边形 ADCE 是正方形， ∵AB⊥AC，AB=AC， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴AD=CD，AD⊥BC， 又∵四边形 ADCE 是平行四边形， ∴四边形 ADCE 是正方形， 故答案为：AB⊥AC，AB=AC． 29.【答案】（1）证明：取 AB 的中点 M，连结 EM，如图 1： ∵M 是 AB 的中点，E 是 BC 的中点， ∴在正方形 ABCD 中，AM=EC， ∵CF 是∠DCG 的平分线， ∴∠BCF=135°， ∴∠AME=∠ECF=135°， ∵∠MAE=∠CEF=45°， 在△AME 与△ECF 中， ， ∴△AME≌△ECF（SAS）， ∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF； （2）证明：取 AB 上的任意一点使得 AM=EC，连结 EM，如图 2： ∵AE⊥EF，AB⊥BC， ∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°， ∴∠MAE=∠CEF， ∵AM=EC， ∴在正方形 ABCD 中，BM=BE， ∴∠AME=∠ECF=135°， 在△AME 与△ECF 中， ， ∴△AME≌△ECF（SAS）， ∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF； （3）证明：取 AB 延长线上的一点 M 使得 AM=CE，如图 3： ∵AM=CE，AB⊥BC， ∴∠AME=45°， ∴∠ECF=AME=45°， ∵AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， ∵MA⊥AD，AE⊥EF， ∴∠MAE=∠CEF， 在△AME 与△ECF 中， ， ∴△AME≌△ECF（SAS）， ∴AE=EF．