2019-2020 学年度高一年级第一学期期中考试
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1.若 ，则集合 的真子集共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 n 元集合有 2n﹣1 个真子集，结合集合{6，7，8}共有 3 个元素，代入可得答案．
【详解】因 A＝{6，7，8}共 3 个元素
故集合 A＝{6，7，8}共有 23﹣1＝7 个真子集
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握 n 元集合有 2n 个子集，有 2n﹣1 个真
子集，是解答的关键．
2. 的定义域是( )
A. (－2，0)∪(1，2) B. (－2，0]∪(1，2)
C. (－2，0)∪[1，2) D. [－2，0]∪[1，2]
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式 即得函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，则 ,解得 x∈(－2，0)∪[1，2)，
即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)．
为
{ }6,7,8A = A
3 5 7 8
( )2
2
1 log 42
xy xx
−= − −
2
1 02
0
4 0
x
x
x
x
− ≥
≠
− >
2
1 02
0
4 0
x
x
x
x
− ≥
≠
− >
故选：C
【点睛】本题主要考查函数 定义域的求法，考查分式不等式和二次不等式的解法，意在考
查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3.函数 的零点所在区间为（ ）
A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数在区间端点处的函数值的符号，利用零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意知，函数 ，
因为 ， ，
所以 ，
又根据基本初等函数的单调性，可得函数函数 为定义域上的单调递增
函数，所以函数 在区间 上存在零点，故选 B.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的零点存在定理，
以及基本初等函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.设 , ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.
【 详 解 】 因 为 ， ，
，
所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查利用指、对数函数 单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单
的
的
2( ) log 2 4f x x x= + −
2( ) log 2 4f x x x= + −
2(1) log 2 2 1 4 2 0f = + × − = − < 2(2) log 2 2 2 4 1 0f = + × − = >
( ) ( )1 2 0f f⋅ <
2( ) log 2 4f x x x= + −
2( ) log 2 4f x x x= + − (1,2)
4 0.48, 8a log b log= = 0.42c = ( )
b c a< < c b a< < c a b< < b a c< <
4 2
3 3log 8 log 22 2a = = = 0.4 0.4log 8 log 1 0b = < =
0.4 0.5 32 2 2 2c = < = <
b c a< A x → +∞ ( ) 0f x < ,B D
1
2x = 1 22 012 31 4
e
ef = = > −
A
x → +∞ 0ex > 21 0x− < x∴ → +∞ ( ) 0f x < ,B D
C
( ) ( )2
2log 3 2f x x x= − +
3, 2
−∞
3 ,2
+∞
( )2,+∞ ( ),1−∞
( )f x详解】函数 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 定义域为
又因函数 是复合函数，
其外层函数 为增函数，
所以要使 为增函数，则内层 是增函数，
则
所以可得 单调增区间为
故选： .
【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，属于简单题.
8.已知函数 对任意两个不相等的实数 ，都满足不
等式 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 题 意 知 函 数 为 增 函 数 ， 根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 法 则 可 知
在 上单调递减，且 ，即可求解.
【详解】因为 ，所以 在 上是增函数，
令 ，而 是减函数，所以 在 上单调递减，
且 在 上恒成立，
【 ( ) ( )2
2log 3 2f x x x= − +
2 3 2 0x x− + > 1x < 2x >
( )f x ( ) ( ),1 2,−∞ ∪ +∞
( ) ( )2
2log 3 2f x x x= − +
2logy t=
( )f x 2 3 2t x x= − +
3
2x >
( )f x ( )2,+∞
C
2
1
3
( ) log ( )f x x ax a= − −
1 2
1, ( , )2x x ∈ −∞ −
2 1
2 1
( ) ( ) 0f x f x
x x
- >-
a
[ 1, )− +∞ ( , 1]−∞ − 1[ 1, ]2
− 1[ 1, )2
−
( ) ( )2
1
3
logf x x ax a= − −
2u x ax a= − − 1, 2
−∞ −
2 0u x ax a= − − >
( ) ( )2 1
2 1
0f x f x
x x
− >−
( ) ( )2
1
3
logf x x ax a= − − 1, 2
−∞ −
2u x ax a= − − 1
3
logy u= 2u x ax a= − − 1, 2
−∞ −
2 0u x ax a= − − > 1, 2
−∞ − 所以 ，解得 .
故选 C.
【点睛】本题主要考查了复合函数的增减性，对数函数的性质，属于中档题.
9.已知 ，若正实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断 是 上的增函数，原不等式等价于 ，分类讨论，利用
对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为 与 都是 上的增函数，
所以 是 上的增函数，
又因为
所以 等价于 ，
由 ，知 ,
当 时， 在 上单调递减，故 ，从而 ；
当 时， 在 上单调递增，故 ，从而 ，
综上所述， 的取值范围是 或 ，故选 C.
【点睛】解决抽象不等式 时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应
该注意考查函数 的单调性．若函数 为增函数，则 ；若函数 为减函数，
则 ．
2
1
2 2
1 1 02 2
a
a a
≥ − − − − − ≥
11 2a− ≤ ≤
1( ) 4 4xf x x−= + −e a 3(log ) 14af < a
3
4a > 30 4a< < 4
3a >
30 4a< < 1a > 1a >
1( ) 4 4xf x x−= + −e R 3log 14a
<
1xy e −= 4 4y x= − R
1( ) 4 4xf x x−= + −e R
1 1(1) 4 4 1f e −= + − =
( )3(log ) 1 14af f< = 3log 14a
<
1 loga a= 3log log4a a a<
0 1a< < logay x= ( )0, ∞+ 3
4a < 30 4a< <
1a > logay x= ( )0, ∞+ 3
4a > 1a >
a 30 4a< < 1a >
( ) ( )f a f b<
( )f x ( )f x a b< ( )f x
a b>10.已知函数 ，若定义在 上的奇函数 ，有
，则 （ ）
A. 2 B. 0 C. -1 D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
先 构 造 函 数 并 得 出 是 奇 函 数 ， 则
，则 ， .
【详解】设 ，
则 ，∴ 是奇函数，
，
又 是奇函数，∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和应用，尤其是构造函数并判断其奇偶性是本题
的关键，属中等难度题.
11.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 与时间 月)的关系 有以下叙述:
1 2019( ) ln 11 2019
x
x
a xf x a x
− += + −+ − R ( )g x
( )2(1) log 25g f= +
2
1log 5f
( 1)g − =
1 2019( ) ( ) 1 ln1 2019
x
x
a xh x f x a x
− += + = ++ − ( )h x
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2f x f x h x h x− + = − + − = − (1) 2g = − ( 1) (1) 2g g− = − =
1 2019( ) ( ) 1 ln1 2019
x
x
a xh x f x a x
− += + = ++ −
1 2019 1 2019( ) ln ln ( )1 2019 1 2019
x x
x x
a x a xh x h xa x a x
−
−
− − − +− = + = − = −+ + + − ( )h x
2 2 22
1(1) (log 25) (log ) (2log 5) ( 2log 5)5g f f f f= + = + −
2 2(2log 5) 1 ( 2log 5) 1 2h h= − + − − = −
( )g x ( 1) (1) 2g g− = − =
( )2m t( t: y a ,=①这个指数函数的底数是 2;
②第 5 个月时,浮萍的面积就会超过
③浮萍从 蔓延到 需要经过 1.5 个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到 所经过的时间分别为 则 .其中正确的是
A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤
【答案】D
【解析】
由函数图象可知,该函数过点(1,2),所以 a=2,则 ,故①正确;当 t=5 时,y=32>30,故②正
确;当 t=2 时,y=4,当 时,t=log212,因为 log212-2-1.5>0,所以浮萍从 蔓延到
需要经过的时间超过 1.5 个月,故③错误;第一个月增加 1,第二个月增加 2,第三个月增
加 4, 因 此 ④ 错 误 ; 浮 萍 蔓 延 到 所 经 过 的 时 间 分 别 为 , 则
,即 ,所以 ,故⑤正确.因此正确的是①②⑤.
点晴：本题考查的是函数模型的应用。解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读
懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的
过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地
求解．
12.设函数 在 上存在导函数 ， ，有 ，在 上
有 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数 ，进而研究其单调性和奇偶性，
230m ;
24m 212m
2 2 22m 3m 6m、 、 1 2 3t t t ,、 、 1 2 3t t t+ =
2ty =
2 12ty = = 24m
212m
2 2 22m 3m 6m、 、 1 2 3t t t、 、
31 22 2,2 3,2 6tt t= = = 31 22 2 2tt t× = 1 2 3t t t+ =
( )f x R ( )f x′ x R∀ ∈ ( ) ( ) 3f x f x x− − = ( )0, ∞+
( ) 22 3 0f x x′ − > ( ) ( ) 22 3 6 4f m f m m m− − ≥ − + − m
[ ]1,1− ( ],1−∞
[ )1,+∞ ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞
31( ) ( ) 2g x f x x= −将 变形为 ，再利用 的单调性解不
等式即可.
【详解】令 ，
，有 ， 。
所以 为 R 上的偶函数，又在 上有 ，
所以 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，所以 ，
即 ， ，解之得， .
故选：B.
【点睛】本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现
数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.函数 的图象恒过定点 ，点 在幂函数 的图象上，则
________.
【答案】9
【解析】
【分析】
令真数为 1,可得定点 的坐标,用待定系数法设出幂函数解析式,代入 的坐标,可得幂函数
解析式,从而可得 .
【详解】令 ,得 此时 ,故 ,
设幂函数解析式 ,
依题意有 ,即 ,解得 ,
所以 ,
所以 .
故答案为:9
( ) ( ) 22 3 6 4f m f m m m− − ≥ − + − ( 2) ( )g m g m− ≥ ( )g x
31( ) ( ) 2g x f x x= −
x R∀ ∈ ( ) ( ) 3f x f x x− − = 3 3 31 1( ) ( ) ( ) ( )2 2g x f x x f x x x g x∴ − = − + = − + =
( )g x ( )0, ∞+ ( ) 22 3 0f x x′ − >
23( ) ( ) 02g x f x x′ ′= − > ( )g x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
( ) ( ) 22 3 6 4f m f m m m− − ≥ − + − 3 31 1( 2) ( 2) ( )2 2f m m f m m− − − ≥ −
( 2) ( )g m g m− ≥ 2m m∴ − ≥ 1m £
( )log 1 4ay x= − + P P ( )f x ( )3f =
P P
(3)f
1 1x − = 2x = 4y = (2,4P )
( )f x xα=
(2) 4f = 2 4α = 2α =
2( )f x x=
2(3) 3 9f = =【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,幂函数概念,待定系数法,属于基础题.
14.设 ，则 ______．
【答案】-1
【解析】
由题意，得 ；故填 .
15.若函数 对于任意实数 x 恒有 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
将等式 变为 ，两式联立解方程组即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
两式联立解之得： ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式，属中等难度题.
16.某中学为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究的学习能力，他们以函数
为基本素材研究该函数的相关性质，某研究小组 6 位同学取得部分研究成果如
下：
①同学甲发现：函数 的零点为 ；
②同学乙发现：函数 是奇函数；
③同学丙发现：对于任意的 都有 ；
④同学丁发现：对于任意的 ，都有 ；
⑤同学戊发现：对于函数 定义域中任意的两个不同实数 ， ，总满足
2
2 , 0( )
log , 0
x xf x
x x
≤= >
( ( 1))f f − =
1 1 1
2( 1) 2 0, ( ( 1)) (2 ) log 2 1f f f f− − −− = > − = = = − 1−
( )f x 3 ( ) 2 ( ) 5 1 f x f x x− − = + ( )f x =
( ) 1f x x= +
3 ( ) 2 ( ) 5 1 f x f x x− − = + ( ) ( )3 2 5 1f x f x x− − = − +
( ) ( )3 2 5 1f x f x x− − = +
( ) ( )3 2 5 1f x f x x− − = − +
( ) 1f x x= +
( ) 1f x x= +
1( ) lg1
xf x x
−= +
( )f x (0,0)
( )f x
( 1,1)x∈ −
2
2 2 ( )1
xf f xx
= +
, ( 1,1)a b∈ − ( ) ( ) 1
a bf a f b f ab
+ + = +
( )f x 1x 2x；
⑥同学己发现：求使 的 x 的取值范围是 ．
其中正确结论的序号为________．
【答案】② ③ ④
【解析】
【分析】
①与②按零点的概念和奇函数的定义直接判断，③与④代入等式推理论证，⑤判断函数的单
调性即可，⑥解不等式即可.
【详解】①不正确；在②中， ，所以函数 为奇函
数 ， ② 正 确 ； 在 ③ 中 ， 对 于 任 意 ， 有
又 ，所以③是正确的；在④中，对于任意的 ，有
，
又 ，所以④是正确的；在⑤中，对于函数
的定义域中任意的两个不同实数 ， ，总满足 ，即说明 是单调
递增函数，但 是减函数，所以⑤不正确；在⑥中，函数的定
义域为 ，结合 得 x 的取值范围是 ，所以⑥不正确.
综上可知，其中正确结论的序号为② ③ ④．
故答案为：② ③ ④．
【点睛】本题主要考查与对数型复合函数有关的零点、奇偶性、单调性、不等式及恒等式的
证明问题，知识面广、综合性强，属较难题.
( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− >−
( ) 0f x > (0,1)
( ) ( )1 1lg lg1 1
x xf x f xx x
+ −− = = − = −− +
( )f x
( 1,1)x∈ −
2 22
2 2 2
2
212 2 1 ( 1)1( ) lg lg21 2 1 ( 1)1 1
x
x x x xxf lg xx x x x
x
− − + −+= = =+ + + ++ +
2
2
1 ( 1)2 ( ) 2lg lg1 ( 1)
x xf x x x
− −= =+ + , ( 1,1)a b∈ −
( ) ( ) 1 1 1 1 1) lg1 1 1 1 1
a b a b a b abf a f b lg lg lg(a b a b a b ab
− − − − − − ++ = + = × =+ + + + + + +
1 11( ) lg1 11 1
a b
a b a b ababf lg a bab a b ab
ab
+−+ − − ++= =++ + + ++ +
( )f x
1x 2x
( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− >− ( )f x
( ) 1 2lg( 1 )1 1
xf x lg x x
−= = − ++ +
( 1,1)− ( ) 0f x > ( 1,0)−三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17.（1）计算：（1） ；
（2） ．
【答案】（1） （2）21
【解析】
【分析】
根据指数和对数的运算性质直接计算即可.
【详解】解：
（2）
【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质，属基础题.
18.已知全集为 ，函数 的定义域为集合 ，集合 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先求集合 ,再求其补集，再求 即可；
（2）由 ，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，则需讨论
( )2.5 2 2
1log 6.25 lg ln( ) log log 16100 e e+ + +
( )1 220 3 1 0.52 30.25 2 2019 ( 2) 10(2 3) 10 3
− − − − − × × − + − − ×
7
2
( )2.5 2 2
1log 6.25 lg ln( ) log log 16100 e e+ + +
3
2 2 2
2.5 2
3 7log 2.5 lg10 ln log 4 2 2 22 2e−= + + + = − + + =
( ) ( )1 2 120 3 0.52 30.25 2 2019 ( 2) 10 2 3 10 3
−− − − − × × − + − − ×
11
2 2 2 22 1(0.5) ( 2 1) ( 2) 10 10 3
2 3
− − = − − × × − + × − × −
12 4 10(2 3) 10 34
= − × + + −
2 1 20 10 3 10 3= − + + −
21=
R ( ) ( )lg 1f x x= − A ( ){ }| 1 6B x x x= − >
( )RA C B
{ }| 1 2C x m x m= − + < < ( )( )RC A C B⊆ m
( ) { }| 2 1RA C B x x= − ≤ ( )( )3 2 0x x− + > { }| 3 2B x x x= > < −或
{ }| 2 3RC B x x= − ≤ ≤ ( ) { }| 2 1RA C B x x= − ≤
2( ) 2 3 4f x x mx m= + + +
12
( 1) 0
0
b
a
f
− > −
− >
∆ >
【详解】（1）
（2）由题意：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，主要有以下常见的结论：
设 ，方程
（1）两根都大于 ，
（2）两根都小于 ，
（3）一根大于 m，一根小于 ，
（4）两根都在区间 上 .
20.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养
鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度 （单
位：尾/立方米）的函数.当 时， 的值为 2 千克/年；当 时， 是 的一
次函数；当 时，因缺氧等原因， 的值为 0 千克/年.
（1）当 时，求 关于 的函数表达式.
（2）当养殖密度 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最
大值.
2
1 3 3 1
( 1) 0 1 2 3 4 0 13, 1(3) 0 9 6 3 4 0 9
0 4 4(3 4) 0
m m
f m m mf m m
m m
− < − < − < − + + > ⇒ ⇒ ∈ − − > + + + >
∆ > − + >
1 12
( 1) 0 1 2 3 4 0 ( 5, 1)
0 0
b
ma
f m m m
− > − − > − − > = − + + > ⇒ ∈ − −
∆ > ∆ >
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + > 2 0ax bx c+ + =
0
2
( ) 0
bm ma
f m
∆ ≥
⇔ − >
>
0
2
( ) 0
bm ma
f m
∆ ≥
⇔ −
( ) 0m f m⇔ <
( , )m n
0
2
( ) 0
( ) 0
bm na
f m
f n
∆ ≥
< − >
v x
0 4x< ≤ v 4 20x< ≤ v x
20x > v
0 20x< ≤ v x
x【答案】（1） （2）当养殖密度 为 10 尾/立方米时，鱼的
年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米.
【解析】
【分析】
（1）由题意：当 时， ．当 时，设 ，利用函数单调性及最
值列方程组可求出 ，进而能求出函数 ；
（2）依题意并由（1），得 ，当 时，利用
的单调性，求出 ，当 时，利用 的二次函数的性质，可求出
，比较大小即可求出最大值．
【详解】（1）由题意得当 时， .
当 时，设 ，
由已知得 解得 所以 .
故函数
（2）设鱼的年生长量为 千克/立方米，依题意，由（1）可得
，
当 时， ， ；
当 时， ， .
所以当 时， 的最大值为 12.5，
2,0 4,
1 5 ,4 20,8 2
x x N
v
x x x N
∗
∗
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
x
0 4x< ≤ 2v = 4 20x< ≤ v ax b= +
,a b v
2
2 ,0 4,
( ) 1 5 ,4 20,8 2
x x x N
f x
x x x x N
∗
∗
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
0 4x< ≤ ( )f x
( ) ( )max 4f x f= 4 20x< ≤ ( )f x
( ) ( )max 10f x f=
0 4x< ≤ 2v =
4 20x< ≤ v ax b= +
20 0,
4 2,
a b
a b
+ =
+ =
1 ,8
5 ,2
a
b
= −
=
1 5
8 2v x= − +
2,0 4,
1 5 ,4 20,8 2
x x N
v
x x x N
∗
∗
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
( )f x
2
2 ,0 4,
( ) 1 5 ,4 20,8 2
x x x N
f x
x x x x N
∗
∗
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
0 4x< ≤ ( ) 2f x x= ( )0 4x< ≤ ( ) ( )max 4 2 4 8f x f= = × =
4 20x< ≤ ( ) ( )221 5 1 25108 2 8 2f x x x x= − + = − − + ( ) ( )max 10 12.5f x f= =
0 20x< ≤ ( )f x即当养殖密度 为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米.
【点睛】本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，
注意函数在生产生活中的实际应用．
21.若定义在 D 上的函数 f（x）满足：对任意 x∈D，存在常数 M>0，都有-M ( )mina h x<
( )maxh x ( )minh x
( )f x x 0≥ ( ) ( )x
2f x x log 2 1 1= + + −
( )f x
[ ]x 1,0∈ − ( ) ( )f x 1
x
1 1g x ( ) m 2m2 2
−= + ⋅ − ( )g x
1
4
( ) ( )
( )
x
2
x
2
x log 2 1 1, x 0
f x
x log 2 1 1, x 0−
+ + − ≥=
− + +
x 0≥ ( ) ( )x
2f x x log 2 1 1.= + + − ( )f x
x 0− > ( ) ( ) ( )x
2f x x log 2 1 1 f x−− = − + + − = −
x 0< ( ) ( )x
2f x x log 2 1 1−= − + +
( ) ( )
( )
x
2
x
2
x log 2 1 1, x 0
f x
x log 2 1 1, x 0−
+ + − ≥=
− + +
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