2020届广东深圳市宝安中学高三理科数学2月月考试题

2020 届广东省深圳市宝安中学高三理科数学 2 月月考试题 一、单选题（每题 5 分） 1.已知复数 （ ），则“ ”是“z 为纯虚数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.设 ， ，则 （ ） A.i B. C. D. 3.设向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 4.黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形）例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组 成，如图所示，在一个黄金三角形 中， ，根据这些信息，可得 （ ） A. B. C. D. 5.设函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） ( ) ( )2 1 2z a a i= − + − a R∈ 1a = 3 4 4 3 iz i −= + ( ) 2 1f x x x= − + ( )f z = i− 1 i− + 1 i+ ( )cos , 1a α= − ( )2,sinb α= a b⊥  tan 4 πα + =   1 3 − 1 3 1− 3− 36° 108° ABC 5 1 2 BC AC −= sin 234° = 1 2 5 4 − 3 5 8 +− 1 5 4 +− 4 5 8 +− ( ) 2 1f x x= − 3 ,2x  ∈ +∞  ( ) ( ) ( )24 1 4xf m f x f x f mm   − ≤ − +  A. B. C. D. 6.已知实数 x，y 满足 ，若 恒成立，那么 k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知 ， ，且 ，则 M 的最小值为（ ） A. B. C.2 D. 8.已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分 别为 M，N.若 为直角三角形，则 （ ） A. B.3 C. D.4 9.已知函数 （ ）在区间 上单调，且 ， ，则 的最大值为（ ） A.7 B.9 C.11 D.13 10. 已 知 数 列 满 足 ： ， （ ） . 若 （ ）， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ） 1 1, ,2 2    −∞ − ∪ +∞      2 2, ,2 2    −∞ − ∪ +∞       3 3, ,2 2    −∞ − ∪ +∞       ( ] [ ), 1 1,−∞ − ∪ +∞ 1 24 2 4 2 , 2 4 0, 3 3 0, x y x y x y x y − − + ≥ +  − + ≥  − − ≤ ( )1 1y k x≥ + − 1 ,32      4, 3  −∞   [ )3,+∞ 1, 2  −∞   0 2 2x< < 0 2 2y< < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2M x y x y x y x y= − + + + − + − + − + − + − 2 2 2 3 4 2 3 2 13 x y− = OMN MN = 3 2 2 3 ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0ω > 7 2,12 3 π π     14f π  =   3 04f π  =   ω { }na 1 1a = 1 2 n n n aa a+ = + n ∗∈N ( )1 12 1n n b n a λ+  = − ⋅ +    *n∈N 1b λ= − { }nb λA. B. C. D. 11. 已 知 偶 函 数 的 定 义 域 为 ， 其 导 函 数 为 ， 当 时 ， 有 成立，则关于 x 的不等式 的解为（ ） A. B. C. D. 12.如图，点 F 是抛物线 的焦点，点 A、B 分别在抛物线 及圆 的实线部分 上运动，且 总是平行于 x 轴，则 的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分） 13.在 的展开式中， 的系数为______. 14.设数列 是正项数列，若 ，则 ______. 15. 在 同 一 个 平 面 内 ， 向 量 ， ， 的 模 分 别 为 1 ， 1 ， ， 与 的 夹 角 为 ， 且 ， 与 的夹角为 ，若 （m， ），则 ______. 16.在内切圆圆心为 M 的 中， ， ， ，在平面 内，过点 M 作动直线 l， 现将 沿动直线 l 翻折，使翻折后的点 C 在平面 上的射影 E 落在直线 上，点 C 在直线 l 上 2 3 λ > 3 2 λ > 3 2 λ < 2 3 λ < ( )f x ,2 2 π π −   ( )f x′ 0 2x π< < ( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + < ( ) 2 cos4f x f x π < ⋅   ,4 2 π π     , ,2 4 4 2 π π π π   − − ∪       ,0 0,4 4 π π   − ∪       ,0 ,4 4 2 π π π   − ∪       2 8y x= 2 8y x= ( )2 22 16x y− + = AB FAB∆ ( )8,12 ( )6,10 [ ]6,8 [ ]8,13 ( )52 2x x y+ + 5 2x y { }na 2 1 2 3na a a n n+ + + = + 1 2 2 3 1 naa a n + + + =+ OA OB OC 2 OA OC α tan 7α = OB OC 45° OC mOA nOB= +   n R∈ m n+ = ABC∆ 3AB = 4BC = 5AC = ABC ABC∆ ABM AB的射影为 F，则 的最小值为______. 三、解答题：共 70 分. 17.（12 分）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 . （1）求角 B 的大小； （2） ，求 的值. 18.（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，且 ，平面 平面 ， ，点 E 为线段 的中点，点 F 是线段 上的一个动点. （1）求证：平面 平面 ； （2）设二面角 的平面角为 ，试判断在线段 上是否存在这样的点 F，使 ，若 存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 19.（12 分）已知两动圆 ： 和 ： （ ），把它们 的公共点的轨迹记为曲线 C，若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M，且曲线 C 上两点 A，B 满足： . （1）求曲线 C 的轨迹方程： （2）证明直线 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求 面积 S 的最大值. 20.（12 分）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各 EF CF ABC∆ ( )( )2 2 22 2 cosa c a b c abc C− − + = 3sin 1 3 cos 02A C  + − + =    b a P ABCD− ABCD 1AD PD= = PCD ⊥ ABCD 120PDC∠ = ° PC AB DEF ⊥ PBC C DE F− − θ AB tan 2 3θ = AF FB 1F ( )2 2 23x y r+ + = 2F ( ) ( )2 223 4x y r− + = − 0 4r< < 0MA MB⋅ =  AB ABM个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承 包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 y（单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数 r 的大小，并判断管理时间 J 与土地使用面积 x 是否线性相关？ （2）是否有 的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取 3 人，记取到 不愿意参与管理的男性村民的人数为 x，求 x 的分布列及数学期望. 参考公式： ， ， 其中 .临界值表： P（ ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 21.（12 分）已知函数 ， .若曲线 和曲线 都过点 ，且在点 P 处有相同的切线 . （1）求 a，b，c，d 的值； 99.9% ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 n i i n n i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0K k≥ 0k 635 25.2≈ ( ) 2f x x ax b= + + ( ) ( )xg x e cx d= + ( )y f x= ( )y g x= ( )0,2P 4 2y x= +（2）若 时， ，求 k 的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22.（本小题满分 10 分）已知直线 l 经过点 ，倾斜角 ，在极坐标系下，圆 C 的极坐标方程为 . （1）写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程； （2）设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之积. 23.（本小题满分 10 分）已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 a 的取值 2x ≥ − ( ) ( )f x kg x≤ 1 ,12P     6 πα = 2 cos 4 πρ θ = −   ( ) 1 1f x x ax= + − − 1a = ( ) 1f x > ( )0,1x∈ ( )f x x>