2017—2018学年度第二学期期末考试
高二数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个符合题目要求的选项．）
1.（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意运用复数的乘法法则展开求出结果
【详解】
故选B
【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘法运算，属于基础题，注意不要在数字运算上出错
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合，然后利用并集的定义即可求得答案
【详解】，
，
，
则
故选A
【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，属于基础题
3.设命题为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
全称命题的否定为特称命题，即可得到答案
【详解】命题是全称命题
根据全称命题否定的定义可得为
故选
【点睛】本题主要考查了含有全称量词命题的否定，属于基础题
4.设非零向量满足，则（ ）
A. B.∥ C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量垂直结合向量的模进行判定
【详解】已知，
对于A，题目中没有给出向量的模，故不一定成立，故错误，排除A
对于B，故∥错误，排除B
对于C，题目中没有给出向量的模故无法判断模的大小，所以不成立故排除C
对于D，由向量加法、减法法则可知，故D正确
故选D
【点睛】本题考查了向量之间的关系，较为简单
5.抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将抛物线方程转化为标准方程，然后利用抛物线的准线为即可求得答案
【详解】抛物线方程为，
则
可得
抛物线的准线为
故选C
【点睛】本题主要考查了求抛物线的准线方程，由抛物线的标准方程即可得到结果，较为简单
6.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱，底面为直角边长为的直角三角形．故选C．
考点：空间几何体的三视图、直观图．
【此处有视频，请去附件查看】
7.等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）
A. 52 B. 54 C. 56 D. 58
【答案】A
【解析】
分析：由题意，根据等差数列的性质先求出，再根据数列中项的性质求出S13的值．
详解：因为等差数列，且， ，即 ．
又，
所以．
故选A.．
点睛：本题考查等差数列的性质，熟练掌握性质，且能做到灵活运用是解答的关键．
8.有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是黑色的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由古典概率求出结果
【详解】记事件A为“两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色”，则，故选D
【点睛】本题主要考查了古典概率及其计算公式，属于基础题。
9.如图是计算值的一个程序框内，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算法的功能确定循环的次数为，确定跳出循环体的值为，的值为，由此可得判断框内应该填的条件。
【详解】算法的功能是计算值，循环的次数为
跳出循环体的值为，的值为，
故判断框内应该填的条件为或
故选B
【点睛】本题主要考查了补全程序框图，由已知的算式结合程序的循环次数来求出结果，较为基础
10. 在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是 （ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
【答案】B
【解析】
考点：两角和与差的正弦函数．
分析：根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B-A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．
解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．
∴cosAsinB-sinAcosB=0．
∴sin（B-A）=0，
∵A和B是三角形的内角，
∴B=A．
故选B
11.如图是两组各7名同学体重（单位：）数据的茎叶图，设1、2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为，那么（ ）（注:标准差
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由茎叶图分别计算出两组数的平均数和标准差，然后比较大小
【详解】读取茎叶图得到两组数据分别为：
(1)
(2)
，
，
，
，
则
故选
【点睛】本题给出茎叶图，需要求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识，样本特征数的计算等知识，属于基础题。
12.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将已知条件进行转化，然后分类讨论的取值范围，然后分离参量，运用导数求出最值得到实数的取值范围
【详解】可以考虑研究已知条件的否定“对任意的”恒成立，即在R上恒成立
①当时，该不等式显然成立
②当时，，设，显然在上单调递减，
且当时，，则
③当时，恒成立，由②可知，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，有最大值，
则,则
综上，则实数的取值范围是
故选
【点睛】本题主要考查了不等式的知识，考查了转化与化归的思想，运算求解的能力，本题中的存在问题可以转化为任意问题，通过否定即可解决，属于中档题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的最大值为__________.
【答案】
【解析】
．
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．
14.若变量满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】
试题分析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，当直线移动到时，取得最大值，由，所以，此时.
考点：简单的线性规划.
【易错点睛】线性规划问题主要考查学生的作图能力和用图意识和数形结合的思想方法，属于基础题.作图时应先从整体上把握好约束条件中各直线的横截距和纵截距，选择合理的长度单位，同时每作一条直线及时标注方程并判断区域，避免最后混淆，作目标函数时要注意比较其斜率与约束条件中边界直线的斜率进行比较，准确判断其倾斜程度为正确找到最优点创造条件，最后就是注意“截距型”目标函数的截距与的符号是否一致，若符号相反，则截距最大，最小；截距最小，最大.
15.设曲线在点处的切线方程为，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：函数的定义域为，，由题意知
考点：导数的几何意义
16.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的离心率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而求得双曲线的离心率
【详解】抛物线的焦点坐标为
抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，
，
则
故答案为
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题
三、解答题（本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（一）必考题：共60分
17.在中，角，，的对边分别是，，，若，，成等差数列.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，由正弦定理边化角整理可得，据此可知，.
（2）由题意结合余弦定理整理计算可得，结合三角形的面积公式可得.
【详解】（1）∵，，成等差数列,
∴，
由正弦定理，，，为外接圆的半径，
代入上式得：，
即.
又，∴，
即.
而，∴，由，得.
（2）∵，
∴，又，，
∴，即，
∴.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
18.某机构有职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类）的调查，其结果如图：
本科
研究生
35岁以下
35
35～50岁
25
50岁以上
4
2
（1）随机抽取一人，是35岁以下的概率为，求的值；
（2）从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位研究生的概率．
【答案】(1)a=50,b=14 (2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，由此解得的值，再根据总数为130求出的值
（2）从50岁以上的6人中随机抽取两人，用列举法一一列举，共有15种等可能发生的基本事件，其中恰好只有一位研究生的概率的抽法共有8种，故可得答案
【详解】（1）由已知可得，解得
故
则
（2）从50岁以上的6人进行编号，四位本科生为：1，2，3，4，两位研究生为5，6
从这6人中随机抽取两人，共有15种等可能发生的基本事件，
分别为，共15种抽法
其中恰好只有一位研究生的概率的抽法共有8种，
分别为
故所求事件的概率为
【点睛】本题主要考查了古典概型以及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题。
19.如图，三棱柱中，底面为正三角形，且，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见证明；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)先根据线面垂直性质得到，然后再证明，依据面面垂直的判定定理证明平面平面
(2)假设存在点，利用等体积法，求出的长，然后看点是否在侧棱上
【详解】(1) 三棱柱中，平面
则
底面为正三角形，且是的中点
则
与是平面内两条相交直线
则
平面
平面平面
(2)假设在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，如下图所示：
，
底面为边长为3的正三角形，是的中点
,
,
代入已知条件，解得
即
在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，
【点睛】本题考查了面面垂直，在证明过程中运用面面垂直的判定定理即可证明，注意线面垂直性质的运用，在解答体积问题时运用了等体积法，需要掌握
20.已知函数
（1）求的极值；
（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值
（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利用基本不等式求得最值可得答案
【详解】（1）由已知可得
，
令，可得或
则当时，，当时，
在，上为增函数，在上为减函数
则
,
(2)
，
由题意可知恒成立，
即
时，，当且仅当时等号成立
故
则
【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题
21.在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.
（1）求的方程；
（2）平面上的点满足，直线，且与交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1），（2）．
【解析】
试题分析：（1）由题为求椭圆方程，则需找出，可由条件，先求出，再利用，
求出两曲线的交点坐标，利用椭圆的定义求出。得出方程.
（2）问题为算直线方程，需两个条件。由条件及可得：直线的斜率：，再设出直线的斜截式方程：与椭圆方程联立，结合条件，建立关于的方程，可得所求的直线方程。
试题解析：（1）的焦点F(1，0),，
代入抛物线方程，有，
椭圆的方程为
（2）点N满足，所以易知N与M关于原点对称，所以
设直线l方程：联立直线和椭圆方程得到：
设因为，所以
代入韦达定理有所以直线l方程为
考点：（1）椭圆与抛物线的几何性质及方程思想。（2）向量的几何意义及方程思想。
【此处有视频，请去附件查看】
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）
【解析】
分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．
详解：（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
23.设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．
详解：（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
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