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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 石景山区2018—2019学年第一学期高三期末试卷 数 学（文）‎ 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.‎ 已知集合，，则＝‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2.‎ 设是虚数单位，复数，则对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 是 否 开始 结束 a > 20‎ 输出n出fdnjfnnn ‎3.‎ 阅读右边的程序框图，运行相应的程 序，则输出的值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4.‎ 下列函数中为偶函数的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.‎ 某四面体的三视图如图所示，该四面 体的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.‎ 已知向量，则下列关系正确的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7.‎ 在中，，则的值是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8.‎ 关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.‎ 已知角的终边经过点，则 __________．‎ ‎10.‎ 若变量满足约束条件则的最小值等于_________．‎ ‎11.‎ 若直线与圆相交于两点，且 ‎（为坐标原点），则r =__________．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12.‎ 写出“”成立的一个充分不必要条件___________________________．‎ ‎13.‎ 已知抛物线的准线为，与双曲线的两条渐近线分别交于 两点，则线段的长度为_____________．‎ ‎14.‎ ‎2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了 让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．‎ 按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下:‎ 月份 ‎……‎ 纳税 所得额 起征额 应纳 税额 适用 税率 速算 扣除数 税款 税后 工资 ‎9‎ ‎……‎ ‎6000‎ ‎3500‎ ‎2500‎ ‎10%‎ ‎105‎ ‎145‎ ‎5855‎ ‎10‎ ‎……‎ ‎6000‎ ‎5000‎ ‎1000‎ ‎3%‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎5970‎ ‎（相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额–起征额，‎ 税款=应纳税额适用税率–速算扣除数，‎ 税后工资=纳税所得额–税款 ）‎ ‎（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为___元；‎ ‎（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为____元．‎ 附录：‎ 原税率表（执行至2018年9月）‎ 新税率表（2018年10月起执行）‎ 应纳税额 税率 速算 扣除数 应纳税额 税率 速算 扣除数 不超过1500元 ‎3%‎ ‎0元 不超过3000元 ‎3%‎ ‎0元 ‎1500元至4500元 ‎10%‎ ‎105元 ‎3000元至12000元 ‎10%‎ ‎210元 ‎4500元至9000元 ‎20%‎ ‎555元 ‎12000元至25000元 ‎20%‎ ‎1410元 ‎9000元至35000元 ‎25%‎ ‎1005元 ‎25000元至35000元 ‎25%‎ ‎2660元 ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15. （本小题13分）‎ 函数的部分图象如图所示. ‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数在区间上的最小值.‎ ‎16. （本小题13分）‎ ‎ 已知为等差数列的前项和，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，为数列的前项和，是否存在，使得=？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17. （本小题13分）‎ 年月，某校高一年级新入学有名学生，其中名女生，名男生．学校计划为家远的高一新生提供间女生宿舍和间男生宿舍，每间宿舍可住2名同学．‎ 该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取20名女生家庭居住地与学校的距离数据（单位：）如下：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.4‎ ‎4‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎4.3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎4‎ ‎1.6‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎5.5‎ ‎5.7‎ ‎（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若女生甲家庭居住地与学校距离为，她是否能住宿？说明理由；‎ ‎（Ⅱ）通过计算得到女生家庭居住地与学校距离的样本平均值为，男生家庭居住地与学校距离的样本平均值为，则所有样本数据的平均值为多少？‎ ‎（Ⅲ）已知某班有4名女生安排在两间宿舍中，其中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率．‎ ‎18. （本小题14分）‎ 如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，为正三角形，且，，分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎19. （本小题14分）‎ ‎ 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，过原点的直线交椭圆于、两点. 若，求证： 为定值.‎ ‎20. （本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若有极小值，求实数的取值范围．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 石景山区2018-2019学年第一学期高三期末 数学（文）试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B C A A C B C 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9． ； 10． ； 11． ； ‎ ‎12．；（答案不唯一） 13. ； 14. ，．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）由图可得 ‎ ‎ ，所以. ‎ 当时，，可得， ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ . ‎ ‎. ‎ 当，即时，有最小值为. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16.（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 则， ‎ 又，所以，. ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以为等比数列. ‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 假设存在，使得=.‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以，即，所以满足题意. ‎ ‎17.（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）能住宿. ‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取男生样本数为16人.‎ 所有样本数据平均值为. ‎ ‎（Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为，其他住宿女生为.‎ ‎ 考虑的室友，共有三种情况，‎ ‎ 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为. ‎ ‎ 解法二：记住宿的双胞胎为，其他住宿女生为.‎ 随机分配宿舍，共有 三种情况，‎ 满足题意得有一种情况，‎ 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18.（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连结， ‎ ‎ ∵四边形是边长为的正方形，为的中点，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∵为的中点，且，‎ ‎ ∴，又∥，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴四边形为平行四边形， ‎ ‎ ∴， ‎ 又平面，平面，‎ ‎∴∥平面． ‎ ‎（Ⅱ）证明：∵∥，，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 在正方形中，且，‎ ‎ ∴平面， ‎ ‎ ∵平面，‎ ‎ ∴， ‎ ‎ 又为正三角形，为的中点，‎ ‎ ∴‎ ‎ 又 ‎ ∴平面． ‎ ‎（Ⅲ）∵∥，‎ ‎ ∴∥平面，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ∵平面，‎ ‎ ∴为三棱锥的高， ‎ ‎ ∵为正三角形，为的中点，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴． ‎ ‎19.（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，. ‎ 由，得. ‎ ‎∴椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，‎ 则. ‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，‎ 设直线的斜率为，依题意，‎ 则直线的方程为，直线的方程为.‎ 设，，，，‎ 由得，‎ 则，， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎. ‎ 由整理得，则.‎ ‎. ‎ ‎∴.‎ 综合（1）（2），为定值. ‎ ‎20.（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，. ‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以在处的切线方程为. ‎ ‎ （Ⅱ）有极小值函数有左负右正的变号零点. ‎ ‎ ‎ 令，则 令，解得.‎ 的变化情况如下表：‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ① 若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意. ‎ ② 若，即时，，.‎ 所以，使得；‎ 且当时，，当时，.‎ 所以当时，的变化情况如下表：‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 所以. ‎ ‎【若有不同解法，请酌情给分】‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费