绝密★启用前
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试
数学（理科）
本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部是
A． B．2 C． D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
则下列结论中表述不正确的是
A.从2000年至2016年，该地区环境基础
设施投资额逐年增加；
B.2011年该地区环境基础设施的投资额比
2000年至2004年的投资总额还多；
C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
5. 函数的图象大致为
1
1
-1
-1
x
y
A．
1
1
-1
-1
x
y
B．
1
1
-1
-1
x
y
C．
1
1
-1
-1
x
y
D．
6. 若满足约束条件，则的最小值为
A． 1 B．2 C．-2 D．-1
7．若，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
8．若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则
A． B． C． D．
9．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，
则该几何体侧面积的最大值为
A． B． C． D．
10．已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为
A． B． C． D．
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为
A． B．2 C． D．3
12. 如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，
为上的动点，则的最小值为
A. B． C．5 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为_______；
14．若向量、不共线，且，则_______；
15. 已知函数，若，则实数的取值范围是 ；
16. 已知，则 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分
17.（12分）
已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．
18.（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形
ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.
（1）证明：PC⊥平面BOH；
（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．
19.（12分）
某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
16
（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；
（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.
（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？
（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．
20.（12分）
已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.
21.（12分）
已知函数（，）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求k的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.
（1）求曲线C和射线的极坐标方程；
（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．
23. [选修45：不等式选讲] (10分）
已知函数，
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）当时不等式恒成立，求的取值范围．
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学
（理科）参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
D
A
D
A
D
C
B
B
C
解析：8.依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得，得, 则,故.
9. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）
10. 依题意得
.
11. 依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为，由此得，，故．
12. 由题设知△为等腰直角三角形，又平面，
故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，
得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且
仅当三点共线，由题设知∠,
由余弦定理得.
二、填空题
题序
13
14
15
16
答案
224
3
解析：
15. 因函数为增函数，且为奇函数，，，
解得.【学生填或或都给满分】
16. 依题意可得,其最小正周期,且故
三、解答题
17.解：（1）当时，，----------------------------------------------------------------------------1分
由得（），
两式相减得，又，
∴（）， ------------------------------------------------------------------------------3分
又，∴（）， --------------------------------------------------------4分
显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，
∴； --------------------------------------------------------------------------------6分
（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，--------8分∴， --------------------------------------------------------------------9分
又--------------------------------------------10分
∴
．--------------------------------------------------------------------12分
18.解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，
∴ BO⊥AC，---------------------------------------------1分
又平面PAC⊥平面ABC，
且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴ BO⊥平面PAC，-------------------------------------3分
∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，
∴ PC⊥平面BOH；------------------------------------5分
（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，
如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角
坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，
，，
∴ ，，，，
，，， -----------------------------------7分
设平面ABH的法向量为，
则， ∴，取x=2，得，----------------------9分
由（1）知是平面BHO的法向量，易知，------10分
设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，
则，
∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．------------------------------------------------------------12分
【其它解法请参照给分】
19.解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，
恰有一人优秀的概率为；--------------------------------------------3分
（2）（i）的分布列为
5
10
15
20
P
，----------------------------------------------6分
的分布列为
4
8
12
26
P
，
∵，∴公司应选培训方式一；----------------------------------------------------9分
（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，
则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．-------------------------12分
20. 解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:
，------------------------------------------------------------------------------------1分
令得，由圆A与y轴的交点分别为、
可得，解得，-------------------------------------------------------3分
故所求椭圆的方程为.----------------------------------------------------------------4分
（2）解法1：由得，可知PA的斜率存在且不为0，
设直线---------------① 则-------------②----------------------6分
将①代入椭圆方程并整理得，可得，
则，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分
类似地可得，----------------------------------------------------------9分
由直线方程的两点式可得：直线的方程为 ，------------------------------11分
即直线过定点，该定点的坐标为.---------------------------------------------------------12分
【解法2：若直线l垂直于x轴，则AP不垂直于AQ，不合题意，
可知l的斜率存在，又l不过点(0,1)，设l的方程为，
又设点，则,
由得，
由，消去y得，----------------------------6分
，当即时，
-------① ---------②-----------------------------------------7分
又，，--------------------------8分
于是有，-----------③---------------------9分
将①②代入③得
整理得：,--------------------------------------------------------------------------------------11分
满足，这时直线的方程为，直线过定点.------------------12分】
（21）解：（1）．--------------------------1分
①若，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．----------------------3分
②若，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
∴当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．-------------------5分
（2）（），
当时，上不等式成立，满足题设条件；-----------------------------------------------------6分
当时，，等价于，
设，则，
设（），则，
∴在上单调递减，得．-------------------------------------9分
①当，即时，得，，
∴在上单调递减，得，满足题设条件；--------------------10分
②当，即时，，而，
∴，，又单调递减，
∴当，，得，
∴在上单调递增，得，不满足题设条件；
综上所述，或．--------------------------------------------------------------------------12分
22. 解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，
由，，得，
所以曲线C的极坐标方程为，[或] ---------------------------3分
的极坐标方程为； --------------------------------------------------------------------5分
（2）依题意设，则由（1）可得，
同理得，即，-------------------------------------------------7分
∴
∵∴，∴， -----------------9分
△OAB的面积的最小值为16，此时，
得，∴． --------------------------------------------------------------------------10分
23.解：（1）①当时，，
解得，---------------------------------------------------------------------------------------------1分
②当时，，
解得，----------------------------------------------------------------------------------------2分
③当时，
解得，----------------------------------------------------------------------------------------------3分
综上知，不等式的解集为.-----------------------------------5分
（2）解法1：当时，，---------------6分
设，则，恒成立，
只需， -------------------------------------------------------------------------------------8分
即，解得----------------------------------------------------------------------10分
【解法2：当时，，------------------------------------------------6分
，即，即----------------------------------7分
①当时，上式恒成立，；-----------------------------------------------------------8
分
②当时，得恒成立，
只需，
综上知，． --------------------------------------------------------------------------------10分】
微信/支付宝扫码支付