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小题提速练(一)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．{0,1} D．∅
解析：选C.N＝{－1,0,1}，故M∩N＝{0,1}．
2．已知复数z＝(b∈R)的实部和虚部相等，则|z|＝( )
A．2 B．3
C．2 D．3
解析：选D.令＝－b－3i，解得b＝3故|z|＝3.
3．“log2(2x－3)＜1”是“x＞”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.log2(2x－3)＜1，化为0＜2x－3＜2，解得＜x＜.∴“log2(2x－3)＜1”是“x＞”的充分不必要条件．
4．函数y＝x2＋ln|x|的图象大致为( )
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解析：选A.∵f(x)为偶函数，故排除B，C，当x→0时，y→－∞，故排除D，或者根据当x＞0时，y＝x2＋ln x为增函数，故排除D.
5．函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Acos ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B.由图象知A＝2，＝－＝，
∴T＝π，ω＝2，f(x)＝2cos(2x＋φ)，将代入得
cos＝1，－π＜φ＜0，
∴φ＝－，f(x)＝2cos＝2cos 2，故可将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象．
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6．圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋2＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值为( )
A．8 B．9
C．16 D．18
解析：选B.由圆的对称性可得，直线ax－2by＋2＝0必过圆心(－2,1)，所以a＋b＝1.所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即2a＝b时取等号，故选B.
7．已知变量x，y满足：则z＝()2x＋y的最大值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选D.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：
设m＝2x＋y得y＝－2x＋m，平移直线y＝－2x＋m，由图象可知当直线y＝－2x＋m经过点A时，直线y＝－2x＋m的截距最大，此时m最大．
由，解得即A(1,2)，代入目标函数m＝2x＋y得m＝2×1＋2＝4.
即目标函数z＝()2x＋y的最大值为zmax＝()4＝4.故选D.
8．如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝( )
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A．0 B．5
C．45 D．90
解析：选C.该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45，故选C.
9．在[－2,2]上随机地取两个实数a，b，则事件“直线x＋y＝1与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相交”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.如图，由已知基本事件空间Ω＝{(a，b)|}，为图中正方形内及边界上的点，事件“直线x＋y＝1与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相交”为A＝＝，为图中阴影部分上的点(不含正方形内的虚线段)．
所以P(A)＝＝＝.
10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.π＋2＋ B.π＋
C.π＋2＋ D．2π＋2＋
解析：选C.由该几何体的三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是底面半径为1、高为、母线长为2的半圆锥，右边是底面为等腰三角形(底边为2、高为2)、高为的三棱锥．所以此组合体左边的表面积S左＝S左底面＋S左侧面＝π×12＋π×1×2＝π，
组合体右边的侧面是两个全等的三角形(其中三角形的三边分别为2，，)，
设长为的边所对的角为α，
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则cos α＝＝，所以sin α＝，
则S右侧面＝×2×××2＝，
所以该几何体右边的表面积S右＝S右底＋S右侧面＝×2×2＋＝2＋，
故S表面积＝π＋2＋，故选C.
11．已知O为坐标原点，F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，A，B分别为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C上的一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|＝3|ON|，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选C.因为PF⊥x轴，所以设M(－c，t)．
则A(－a,0)，B(a,0)，AE的斜率k＝，则AE的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，则y＝，即E，BN的斜率k＝－，则BN的方程为y＝－(x－a)，令x＝0，则y＝，即N，因为|OE|＝3|ON|，所以3＝，即＝，则3(c－a)＝a＋c，即c＝2a，则离心率e＝＝2.故选C.
12．设函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选A.①当x≤0时，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，则x＝1，显然与x≤0矛盾，所以当x≤0时，y＝f(f(x))－1无零点．
②当x＞0时，分两种情况：当x＞1时，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，
令log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，解得x＝4；
当0＜x≤1时，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝2－1＝x－1，令x
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－1＝0，解得x＝1.
综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.故选A.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＞0的解集为________．
解析：由已知f(x)为二次函数且对称轴为y轴，
∴－＝0，a≠0，即b＝2a，∴f(x)＝ax2－4a.
再根据函数在(0，＋∞)单调递增，可得a＞0.
令f(x)＝0，求得x＝2或x＝－2，故由f(x)＞0，可得x＜－2或x＞2，故解集为{x|x＜－2或x＞2}．
答案：{x|x＜－2或x＞2}
14．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________．
解析：设该球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时a2＋＝R2，
∴R＝，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
＝＝.
答案：
15．有下列各式：1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.
解析：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3,7,15，故可猜想第n个式子中应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成，，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此不等式的一般形式为：
1＋＋＋…＋＞(n∈N*)．
答案：1＋＋＋…＋＞(n∈N*)
16．已知向量a，b，c，满足|a|＝4，|b|＝2，〈a·b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________．
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解析：如图，设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，则A(4,0)，B(2，2)，设C(x，y)，
∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1表示以(3,1)为圆心，1为半径的圆，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，因为圆心到A的距离为，所以|c－a|的最大值为＋1.
答案：＋1
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