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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(银川一中第三次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，是的共轭复数，则＝
A． B． C．1 D．－1
3．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是
2
3
4
甲
乙
9 4
m
2
5 n
1 3
2
A．24 B．8 C． D．
4．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，
平均数也相同，则图中的m,n的比值
A． B． C．2 D．3
5．已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则
A．4 B．8 C．16 D．25
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数
书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今
仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了
利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入
的值为3，则输出v的值为
A. B.
C. D.
7．在中，角所对应的边分别是，
若，则角等于
A． B． C． D．
8．给出下列四个命题：
①若样本数据的方差为16，则数据的方差为64；
②“平面向量夹角为锐角，则＞0”的逆命题为真命题；
③命题“，均有”的否定是“，使得≤”；
④是直线与直线平行的必要不充分条件．
其中正确的命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
A
B
C
D
9．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为
10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是
一个等边三角形，则这个几何体的体积为
A． B．
C． D．
11．已知抛物线的焦点为，
点为上一动点，，,且的最小值为，则等于
A．4 B． C. 5 D．
12．定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知，则__________．
14．若实数，满足，则的最大值是__________.
15．如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们
称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成
的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概
率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则 .
16．二项式的展开式中的系数为，则________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列中，，其前n项的和为，且满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，.
18．（本小题满分12分）
某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，3，…，8，其中为标准，为标准．已知甲车间执行标准，乙车间执行标准生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲车间的等级系数的概率分布列如下表，若的数学期望E(X1)=6.4，求，的值；
X1
5
6
7
8
P
0.2
（2）为了分析乙车间的等级系数，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数的概率分布列和均值；
（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，已知与分别是边长为1与
2的正三角形，，四边形为直角梯
形，且，，点为的
重心，为中点，平面，为
线段上靠近点的三等分点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
如图，是圆：内一个定点，
是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交
于点．
（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；
（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）令，讨论的单调区间；
（2）若，正实数满足，证明．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆和圆的极坐标方程；
（2）过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值．
23． （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数的最小值为.
（1）求的值以及此时的的取值范围；
（2）若实数，，满足，证明：.
宁夏银川一中2018届高三第三次模拟数学(理科)参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
C
B
D
B
D
A
B
D
二、填空题：
13． 14．1 15. 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：（1）当时，，
，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，，
当时，
从而.
18.解（1），即①·········2分
又，即②·········3分
联立①②得，解得．·········4分
（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数的分布列如下：
3
4
5
6
7
8
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
·······7分
，
即乙车间的等级系数的均值为．·········9分
（3）．·········12分
19.（1）解：在中，连延长交于，因为点为的重心
所以，且为中点，又，
所以，所以；··········2分
又为中点，所以，又，
所以，
所以，，，四点共面，··········4分
又平面，平面，
所以平面．··········5分
（2）由题意，平面，所以，平面平面，且交线为，
因为，所以平面，
又四边形为直角梯形，，，所以，所以平面
因为，，所以平面平面，
又与分别是边长为1与2的正三角形，
故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，··········7分
因为，所以，，，
设平面的法向量，则，取，··········8分
平面的法向量，··········9分
所以二面角的余弦值，
，··········10分
又，
；
直线与所成角的余弦值为．··········12分
20.解（1）由题意得，
根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，·········2分
，，，轨迹方程为．·········4分
（2）由题意知（为点到直线的距离），
设的方程为，联立方程得，
消去得，
设，，则，，·········6分
则，·········8分
又，·········9分
，·········10分
令，由，得，
，，易证在递增，，
，面积的最大值．·········12分
21.（1），所以，
当时，因为，所以，即在单调递增，
当时，，令，得，所以当时，，单调递增，当时，单调递减，综上，当时，函数单调递增区间为，无递减区间；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，，由可得
+，即，令，则，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，又由可知，故．
22．解：（Ⅰ）由圆的参数方程（为参数），
得，-----------1分 所以，
又因为圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，
可得 ，，则圆的方程为---------3分
所以由得圆的极坐标方程为，
圆的极坐标方程为--------------5分
（Ⅱ）由已知设，
则由 可得，，
由（Ⅰ）得，
所以------8分
所以当时，即时，有最大值9-----------------10分
23．（Ⅰ）依题意，得 ，故的值为4. ------3分
当且仅当，即时等号成立，即的取值范围为.------5分
（Ⅱ）因为，故.
因为，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，
所以 ，故，
当且仅当时等号成立. -----10分
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