山西大学附中
2017～2018学年高二第二学期3月模块诊断
数 学 试 题（理科）
考查内容：必修二 选修2-1
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1. 若直线的倾斜角为，则（ ）
A.等于 B.等于 C.等于 D.不存在
2．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知空间向量， ，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则 .
其中真命题的序号为（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
5．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A.0个 B.至多一个 C.1个 D.2个
6.焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知三棱柱的侧棱与底面边长都
相等，在底面上的射影为的中点，则异面
直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8．椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为， 两点的坐标分别为， ，则（ ）
A. B． C． D．
9.已知平面区域，.
若命题“”为真命题，则实数m 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10．一个几何的三视图如图所示，则表面积为（ ）
A. B. 或
C. 或 D.
11.如图，P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．离心率为的椭圆 D．离心率为3的双曲线
12.如图，在三棱锥 中，，，
则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“若，则”的否命题是__________.
14. 已知在斜二测画法下的平面直观图是边长为的正三角形，那么在原的面积为__________.
15.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的交点，若为正三角形，则双曲线的离心率是 ．
16.已知直线上总存在点，使得过点作的圆： 的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）命题方程表示双曲线；命题不等式的解集是. 为假， 为真，求的取值范围.
18．（本小题满分12分）三棱柱中，分别是、上的点，且，。设，，.
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若，，，求MN的长.。
19．(本小题满分12分)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程.
20．（本小题满分12分）已知曲线
（1）求曲线在点 处的切线方程；
（2）求与直线平行的曲线的切线方程．
21.（本小题满分12分）如图，在等腰梯形中，，， ，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：；（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.
22．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
山西大学附中
2017～2018学年高二第二学期3月模块诊断
理科数学评分细则
考查内容：必修二 选修2-1
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.C 2.B 3. A 4. D 5.D. 6.B 7.D 8．B 9.B 10.B. 11. C． 12.A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）
解：真 ，
真 或 ∴
真假 假真
∴范围为
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
。…………6分
（Ⅱ）
，
，…………12分
19．(本小题满分12分)
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4．
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2．…………6分
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0．………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵，∴，求导数得，
∴切线的斜率为，
∴所求切线方程为，即．………6分
（2）设与直线平行的切线的切点为，
则切线的斜率为．
又∵所求切线与直线平行，∴，
解得，代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为或，
即或．………12分
21.（本小题满分12分）
解：（1）证明：在梯形中，
∵，，，∴，……………1分
∴，
∴，∴， ……………2分
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面 ∴ ……………4分
（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，
令，则，……5分
∴.……………6分
设为平面的一个法向量，
由，得，
取，则， ……………7分
∵是平面的一个法向量， ……………8分
∴. ……………9分
∵，∴当时，有最小值， ……………10分
当时，有最大值， ……………11分
∴ ……………12分
22．（本题满分12分）
解：（1）∵椭圆离心率为，∴，∴. 1分
又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得. 2分
所以. 4分 ∴椭圆方程为，即. 5分
（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数. 6分
证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，
由 得. 7分
设，则 8分
∵
∴ 9分
=
=
=
= 10分
设常数为t，则. 11分
整理得对任意的k恒成立，
解得，
即在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数. 12分
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