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莆田一中2017-2018学年下学期期初考试试卷
高二数学文科 选修1-1 1-2 4-5
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线的实轴长是( )
A. B. 2 C. D. 4
2．下列命题中，真命题是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若且，则
3.若函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．命题；命题，
则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，
那么 （ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．设条件，条件，其中为正常数，若是的必要不充分条件，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，若函数有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
9．已知函数在处取得极值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，
则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
11．设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得∥，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12．在研究直线与双曲线是否有公共点的过程中，某学生做了如下演算：由方程组消去得到形如的方程，当时，方程恒有一解；当时，恒成立。若该学生的演算过程是正确的，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______ ．
14．在数列{an}中，a1＝1，且Sn、Sn＋1、2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，通过计算S2、S3、S4，猜想Sn＝__________.
15．已知点A(x1，lgx1)，B(x2，lgx2)是函数f(x)＝lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1,2x1)，B(x2,2x2) 是函数g(x)＝2x的图象上的不同两点，则类似地有__________成立．
16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”设函数，请你根据这一发现，计算______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．
18.（本小题满分12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件 “旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19．（本小题满分12分）
已知函数，其中为常数．
（1）当时，求的极值；
（2）若是区间内的单调递减函数，求实数的取值范围．
20．已知点是⊙：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使，
若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分12分）
已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，
证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
22.（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，若方程在上总有两个不等的实根，
求的最小值．
莆田一中2017-2018学年下学期文科数学期初考试答案
1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6. A 7.A 8.A 9.D 10. C 11.D 12.D
9.D 依题得：即，由二倍角公式得，代入得答案为2.
10. C 解：当x＞0时，有＞0，即有y=在区间（0．+∞）上单调递增，且=0，所以当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，根据函数f（x）是奇函数，
得到x＜﹣2时，f（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．
综上所述，当x＞2或者﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．
11.D 设上切点为，上切点为，依题得，有，易得
12.D 依题得直线恒过定点（3，0），且定点（3，0）在双曲线右顶点或右顶点的右边，即，所以，又因为，所以
13. 14. Sn＝.15. 16. 2012
17.【解析】（1）f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，
∴x＜﹣5或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞1}；…………………5分
（2）令H（x）=2f（x）+g（x）=，G（x）=ax，
2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方．
故直线G（x）=ax的斜率a满足﹣4≤a＜，即a的范围为[﹣4，）．…………………10分
18．解：旧养殖法箱产量低于50kg的频率为5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) =0.62，因此，事件A的概率估计值为0.62 .…………………4分
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.…………………8分
（3）箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.…………………12分
19. 解析：（1）当时，，
所以在区间 内单调递减， 在内单调递增 ，于是 有极小值， 无极大值.…………………6分
（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在区间内小于等于0即，解得实数的取值范围是.…………………12分
20．解：（1）设，依题意，则点的坐标为
∴ ………………………1分
又 ∴ ………………………2分
∵ 在⊙上，故 ∴ ………………………3分
∴ 点的轨迹方程为 ………………………4分
（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足
，则是线段MN的中点，
且有…7分 又 在椭圆上
∴ 两式相减，得 ……10分
∴ ∴ 直线MN的方程为
∴ 椭圆上存在点．满足，此时直线的方程为 ……12分
21.解析：（I）由抛物线的定义得．
因为，即，解得，所以抛物线的方程为．
（II）因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，解得或，从而．
又， 所以，，
所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，
故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
22．解：（Ⅰ） ，． ……3分
（Ⅱ）当时，． （）．所以即.
又因为，所以等价于． …………4分
令，则.解，得；解，得；解，得．
所以在单调递增，在单调递减，所以，……6分
故实数的取值范围是.……7分
（Ⅲ）当时，即，．
令，则.
方程在上总有两个不等的实根等价于
函数的图象与轴在上有两个不同的交点． ……8分
（ⅰ）当时，因为，所以，所以函数在单调递减，
从而函数在内的零点最多一个，不符合题意. …9分
（ⅱ）当时，因为，
解，得；解，得；解，得.
所以函数在单调递减，在单调递增.
当时，在单调递减，函数在区间内的零点最多一个，不符…10分
②当时，因为当趋于时，的值趋于正无穷大，
所以当且仅当时函数在有两个零点．
由得，即对恒成立. 等价于.
再令，则.
解得；解得；解得.
所以函数在单调递增，在单调递减.
所以，故的解为．
由得即对恒成立.所以，
所以的解为．所以的解为.…13分 综合①②得.
综合（ⅰ）（ⅱ）得满足题意要求的实数的最小值为． …………12分
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