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天一大联考
2017-2018学年高中毕业班阶段性测试（三）
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，若是复数的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合，则的真子集个数为（ ）
A． 1 B． 3 C． 5 D．7
3.已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：
1
2
3
4
0.1
3.1
4
则（ ）
A． 0.8 B．1.8 C． 0.6 D． 1.6
4.下列说法中，错误的是（ ）
A．若平面平面，平面平面，平面平面，则
B．若平面平面，平面平面，则
C.若直线，平面平面，则
D．若直线平面，平面平面平面，则
5.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C. D．
6.运行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A．4 B． C. D．
7.已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围（ ）
A． B． C. D．
8.已知，则（ ）
A． 0 B． C. D．
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．27 B．36 C. 48 D．54
10.现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了3场，各踢了4场，踢了2场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，则在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是（ ）
A． 1 B． 2 C. 3 D．4
11.已知双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C. D．2
12.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知向量满足，若，则 ．
14.已知实数满足，则的取值范围为 ．
15. 如图所示，长方形中，分别是的中点，图中5个圆分别为以及四边形的内切圆，若往长方形中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为 ．
16.已知函数的部分图象如图所示， ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中，角所对的边分别是，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
18.已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19.已知多面体中，四边形为正方形，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求六面体的体积．
20. 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
男
女
总计
认为共享产品对生活有益
400
300
700
认为共享产品对生活无益
100
200
300
总计
500
500
1000
（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为共享产品的态度与性别有关系？
（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率．
参考公式：．
临界值表：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21. 已知椭圆，过点，且离心率为．过点的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．（其中，分别是直线的斜率）．
22. 已知函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5: ABBCD 6-10: CACDD 11、12：AC
二、填空题
13. -2或3 14. 15. 16. 2
三、解答题
17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，着重考查学生的数形结合能力以及化归与转化能力．
【解析】（1）由，可得，
∴， ∴，
又∵， ∴；
（2）若，则，由题意，，
由余弦定理得，
∴， ∴， ∴．
18.【命题意图】本题考查等比数列的定义、等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的前项和公式、分组求合法，考查转化与化归思想．
【解析】（1）因为，故，得；
设，所以， ∵， ∴， ∴，又因为，
所以数列是以1 为首项，公比为2的等比数列，故，
故；
（2）由（1）可知，，
故
．
19.【命题意图】本题考查线面平行、锥体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力．
【解析】（1）取中点，连接，
根据题意可知，四边形是边长为2的正方形，所以，
易求得，所以，于是；
而，所以平面，又因为，所以平面；
（2）连接，则，
由（1）可知平面平面，
所以，
所以．
20.【命题意图】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望，考查运算求解能力和应用意识．
【解析】（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，
故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；
（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，
从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：，共15种，其中满足条件的为共8种情况，故所求概率．
21.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力和转化与化归思想．
【解析】（1）依题意，，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）依题意，，易知当直线的斜率不存在时，不合题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入中，得，
设，由，得，
，
故
，
综上所述，为定值1．
22.【命题意图】本题考查导致与函数的单调性、最值，考查转化与化归思想与分类讨论思想．
【解析】（1）依题意，，
若，则函数在上单调递增，在上单调递减；
若，则函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，故，①
当时，显然① 不成立；
当时，①化为：；②
当时，①化为：；③
令，则
，
∴当时，时，，
故在是增函数，在是减函数， ∴，
因此②不成立，要③成立，只要，
∴所求的取值范围是．
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