遂宁市高中2019级第三学期教学水平监测
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
2．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
3．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为…,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是
A．7 B． 8 C．9 D． 10
4．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是
A． B．
C． D．
5．已知直线，平面，且，给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则.
其中正确的命题是
A．①④ B．③④ C．①② D．②③
6．供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为， ， ， ， 五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是
A．月份人均用电量人数最多的一组有人
B．月份人均用电量不低于度的有人
C．月份人均用电量为度
D．在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在
一组的概率为
7．已知满足条件，则目标函数从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为
A．2 B．1 C． D．
8．已知矩形.将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是
A． B． C． D．与的大小有关
9．若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b的值为
A．4 B．-4 C．5 D．-5
10．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是
A． B． C． D．
11．如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是
A． B．
C． D．
12．在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最大值为
A．7 B．6 C．5 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉 ▲ 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用作答）
13题图 14题图
14．执行如右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 ▲ ．
15．若直线与函数的图象相交于 两点，且，则 ▲ .
16．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，
，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为
▲ .
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的三个顶点坐标分别是，， ．
（1）求边的高所在直线的点斜式方程；
（2）求边上的中线所在直线的一般式方程．
▲
18．（本小题满分12分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差
x (℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人数
y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.
（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
（参考公式: ，）
参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，
112+132+122+82=498.
▲
19．（本小题满分12分）
如图，四面体中，分别是的中点，
（1）求证：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
▲
20．（本小题满分12分）
遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．
（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．
（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请求出甲船先停靠的概率
▲
21. （本小题满分12分）
如图三棱柱中，侧面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
▲
22．（本小题满分12分）
已知圆心在轴上的圆与直线切于点.圆：．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知，圆与轴相交于两点（点在点的右侧）．过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
▲
遂宁市高中2019级第三学期教学水平监测
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×12=60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D B A C B C A D A B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．D 14．15 15． 16．6
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
（1） 边上的高所在的直线为直线 为垂足，由已知 得： ， ……………2分
而 ， ……………3分
而 ，所以直线 的方程为 ……………5分
（2） 边上的中线所在的直线为直线 为 中点，
由已知 ， 得： ， ……………6分
而 ，得： ， ……………8分
所以直线 的方程为 ，即 . ……………10分
18．（本小题满分12分）
（1）由数据求得 ……………2分
由公式求得 ……………4分
再由 ……………5分
所以 关于 的线性回归方程为 ……………6分
（2）当 时, , ； ……………8分
同样, 当 时, , ……………10分
所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ……………12分
19．（本小题满分12分）
（1）证明：连结 ， 、 分别是 、 的中点 ∥ ，
又 平面 ， 平面 ，
∥平面 ……………6分
（2）法一：连结 ，
在 中，
由已知可得
而
平面 .
以 分别为 轴，建立如图所示的直角坐标系
……………8分
设平面 的法向量 ，由 ， 则有
，令 ，得 ……………10分
又因为 ,所以
故直线 与平面 所成角的正弦值为： ……………12分
法二：设 到平面 的距离为 ，由 ,有
，得 ……………10分
故直线 与平面 所成角的正弦值为： ……………12分
20．（本小题满分12分）
（1）这种规则是不公平的
设甲胜为事件 ，乙胜为事件 ，基本事件总数为 种
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个： ， ， ，
， ， , , , , , , , ，
∴甲胜的概率 ……………3分
乙胜的概率 ， ……………5分
∴这种游戏规则不公平． ……………6分
（2）设甲船先停靠为事件 ,甲船到达的时刻为 ，乙船到达的时刻为 ，
可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为
，这是一个正方形区域，
面积 ，事件 所构成的区域为
，
，这是一个几何概型，
所以 ……………12分
21．（本小题满分12分）
（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，因为侧面 为菱形，
所以 ，且 为 及 的中点，又 ，
所以 平面 ．由于 平面 ，
故 ．又 ，故 ． ……………5分
（2）因为 ，且 为 的中点，
所以 ．又因为 ，
所以 ，故 ，
从而 两两相互垂直，
为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
为单位长，建立如图所示空间直角坐标系
因为 ，所以 为等边三角形，又 ，则 ， ． ……………6分
， ，
设 是平面 的法向量，则
，即 ，所以可取 ……………8分
设 是平面 的法向量，则 ，同理可取
……………10分 ……………11分
所以二面角 的余弦值为 ． ……………12分
22．（本小题满分12分）
（1）设圆心 的坐标为 ，由点 在直线 上，知： ……………1分
则 ，又 ， ，则 ……………3分
故 ，所以 ，即半径 .
故圆 的标准方程为 . ……………4分
（2）假设这样的 存在，在圆 中，令 ，得：
解得： ，又由 知
所以： ……………6分
由题可知直线 的倾斜角不为0，设直线 ： ，
∵点 在圆 内部∴有 恒成立
……………8分
因为 ，所以 ,即
，因为对任意的 都要成立，所以
由此可得假设成立，存在满足条件的 ，且 ……………12分
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