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[A 基础达标]
1．下列命题：
①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；
④数列{2n＋1}是等差数列．
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③④ D．③④
解析：选C.②③④正确，①中公差为－2.
2．已知{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝( )
A．2 B．
C．1 D．
解析：选C.因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为d2的等差数列
D．公差为4d的等差数列
解析：选C.由于dan－dan－1＝d(an－an－1)＝d2(n≥2，n∈N＋)，故选C.
4．若一个等差数列的首项a1＝1，末项an＝41(n≥3)，且公差为整数，则项数n的取值个数是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B.由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，解得d＝.又d为整数，n≥3，则n＝3，5，6，9，11，21，41，共7个．故选B.
5．已知等差数列{an}的首项a1＝，第10项是第一个比1大的项，则公差d的取值范围是( )
A．d＞ B．d＜
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C.＜d＜ D．＜d≤
解析：选D.设{an}的通项公式为an＝＋(n－1)d，
由题意得即解得＜d≤.
6．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝15，2a6＝a3＋7，且ak＝13，则k＝____________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
所以a4＋a7＋a10＝15，即a1＋6d＝5，①
2a6＝a3＋7，即a1＋8d＝7，②
联立解①②组成的方程组得
所以an＝n－2，又因为ak＝13，
令k－2＝13.所以k＝15.
答案：15
7．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列为等差数列，则a5＝________．
解析：由题意，，成等差数列，
所以2×＝＋，解得a5＝.
答案：
8．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图像与x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
又Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．
答案：1或2
9．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
解：由题意知，
所以解得
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
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10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N＋)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 017.
解：(1)证明：因为xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，所以＝＝＋，
所以－＝(n≥2且n∈N＋)，
所以是等差数列．
(2)由第一问知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
所以＝＝.
所以x2 017＝.
[B 能力提升]
11．(2018·“江淮十校”联考)古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金( )
A.斤 B．斤
C．2斤 D．斤
解析：选D.由题意可知等差数列{an}中
，
即，
解得d＝－，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝.故选D.
12．首项为－24的等差数列{an}，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是________．
解析：设等差数列的公差为d，则通项公式an＝－24＋(n－1)d，由
解得
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