中档大题规范练4 概率与统计.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 中档大题规范练4　概率与统计 ‎1.(2016·北京)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：‎ A班 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ B班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C班 ‎3‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎10.5‎ ‎12‎ ‎13.5‎ ‎(1)试估计C班的学生人数；‎ ‎(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明).‎ 解　(1)C班学生人数约为100×＝100×＝40.‎ ‎(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1，2，…，5，‎ 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1，2，…，8.‎ 由题意可知P(Ai)＝，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝，j＝1，2，…，8.‎ P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.‎ 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，‎ E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2 ∪A5C3∪A5C4.‎ 因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.‎ ‎(3)μ1＜μ0.‎ ‎2.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；‎ ‎(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？‎ ‎(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的均值.‎ 解　(1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，‎ 故中位数为(176＋178)＝177.‎ ‎(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为×12＝2，不合格人数为×18＝3.‎ ‎(3)X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2 ‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎3.安排5个大学生到A，B，C三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的.‎ ‎(1)求5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率；‎ ‎(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列.‎ 解　(1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A校支教”为事件M，‎ 则有C·23＝80(种)，∴P(M)＝.‎ 即5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率为. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)由题意得：ξ＝1，2，3， ξ＝1⇒5人去同一所学校，‎ 有C＝3(种)，∴P(ξ＝1)＝＝，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4，1或3，2有C·(C＋C)·A＝90(种)，‎ ‎∴P(ξ＝2)＝＝＝，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3，1，1或2，2，1有(＋)·A＝150(种)，∴P(ξ＝3)＝＝.‎ ‎∴ξ 的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A点投中的概率都是，在B点投中的概率都是，且在A，B两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜.‎ ‎(1)求甲投篮总得分ξ的分布列和均值；‎ ‎(2)求甲获胜的概率.‎ 解　(1)设“甲在A点投中”为事件A，“甲在B点投中”为事件B，根据题意，ξ的可能取值为0，2，3，5，则 P(ξ＝0)＝P( )＝(1－)×(1－)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A)＝×(1－)＝，‎ P(ξ＝3)＝P(B)＝(1－)×＝，‎ P(ξ＝5)＝P(AB)＝×＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ P E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋5×＝2.‎ ‎(2)同理，乙的总得分η的分布列为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ P 甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥.因此，所求事件的概率为 P＝P(ξ＝2)×P(η＝0)＋P(ξ＝3)×P(η