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丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）2017.01
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，那么等于
（A）
（B）
（C）
（D）
2．已知，则下列不等式一定成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
4．已知直线，和平面，如果，那么“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
5．在等比数列中，，9，则等于
（A）9
（B）72
（C）9或72
（D） 9或72
6． 如果函数的两个相邻零点间的距离为，那么的值为
（A）1
（B）1
（C）
（D）
7. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．
节气
冬至
小寒
大寒
立春
雨水
惊蛰
春分
清明
谷雨
立夏
小满
芒种
夏至
(大雪)
(小雪)
(立冬)
(霜降)
(寒露)
(秋分)
(白露)
(处暑)
(立秋)
(大暑)
(小暑)
晷影长
（寸）
135
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为
（A）72.4寸
（B）81.4寸
（C）82.0寸
（D）91.6寸
8. 对于任何集合S，用表示集合S中的元素个数，用表示集合S的子集个数. 若集合A，B满足条件：2017，且，则等于
（A）2017
（B）2016
（C）2015
（D）2014
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. i是虚数单位，复数= ．
10. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，如果，那么椭圆C的离心率为 ．
11．在的展开式中，常数项是 （用数字作答）．
12．若满足 则的最大值为 ．
13．如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△时，顶点B运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，的最大值为 ．
14．已知为偶函数，且时，（表示不超过x的最大整数）．设，若，则函数有____个零点；若函数三个不同的零点，则的取值范围是____．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
如图，在△ABC中，D是BC上的点，，，，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求边AB的长.
16.（本小题共14分）
如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面⊥平面，，分别为棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，
求四棱锥的体积．
17.（本小题共14分）
数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：
中学
甲
乙
丙
丁
人数
为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．
（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？
（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；
（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．
18.（本小题共13分）
已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.
19.（本小题共13分）
已知抛物线：的焦点为F，且经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）为坐标原点，直线，与直线分别交于，两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
20. （本小题共13分）
已知无穷数列满足.
（Ⅰ）若，写出数列的前4项；
（Ⅱ）对于任意，是否存在实数M，使数列中的所有项均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当为有理数，且时，若数列自某项后是周期数列，写出的最大值.（直接写出结果，无需证明）
丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）参考答案及评分参考
2017．01
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
D
A
C
B
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10． 11． 15
12．4 13．； 14．2；
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）在△中，由余弦定理，得
……………….2分
……………….4分
因为，所以. ……………….6分
（Ⅱ）因为，所以. ……………….8分
在△中，由正弦定理，得 ， ……………….10分
即，所以边的长为. ……………….13分
16.（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）取中点，连接，，
因为是正方形，所以，.
因为分别是,中点，所以,.
又因为且，
所以，，
所以四边形是平行四边形, ………….3分
所以.
又因为平面，平面
所以平面． ……………….5分
（Ⅱ）因为平面⊥平面，
平面平面，
，平面，
所以平面． ……………….6分
如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．
设，则 ． ………………7分
因为⊥底面，所以平面的一个法向量为. ……………….8分
设平面PFB的一个法向量为，
,
则
即
令x=1，得，所以． ……………….10分
由已知，二面角的余弦值为，
所以得 ， ……………….11分
解得a =2,所以． ……………….13分
因为是四棱锥的高，
所以其体积为． ……………….14分
17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为，
所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分
（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，
从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有种， ………………5分
来自同一所中学的取法共有． ………………7分
所以．
答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为． ………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．
依题意得，的可能取值为， ………………9分
， ，． ……………12分
所以的分布列为：
0
1
2
……………….14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为，所以
. ……………….2分
因为，所以. ……………….4分
因为与的图象在（0,0）处有相同的切线，所以，所以. …….5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ,
令，，
则． ……………….6分
(1)当时，，，所以在[1,2]上是增函数，
故的最小值为； ……………….7分 (2)当时，由得，， ……………….8分
①若，即，则，，所以在[1,2]上是增函数，
故的最小值为. ……………….9分
②若，即，则，，，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
故的最小值为； ……………….11分
③若，即，则，，所以在上是减函数，
故的最小值为
. ……………….12分
综上所述，当时，的最小值为，
当时，的最小值为，
当时，的最小值为. ……………….13分
19.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）把点代入抛物线的方程，得，解得，
所以抛物线的方程为. ……………….4分
（Ⅱ）因为，所以直线为，焦点的坐标为
设直线的方程为，，，
则直线的方程为,直线的方程为. ……………….5分
由得，同理得． ……………….7分
所以，，则． ……………….9分
由得，所以， ……………….11分
则．
所以，的值是定值，且定值为0. ……………….13分
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ） ……………….4分
（Ⅱ）存在满足题意的实数, 且的最小值为1.
解法一：猜想，下面用数学归纳法进行证明.
（1）当时,，结论成立.
（2）假设当时结论成立，即，
当时,
,所以,
即,所以,
故.
又因为,
所以,
所以时结论也成立.
综上,由（1）,（2）知,成立
所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1
故的最小值为1.
解法二：当时，若存在满足,且.
显然，则
时，与矛盾；
时，与矛盾；
所以
所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1
故
的最小值为1. ……………………10分
（Ⅲ） ………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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