2017届高三摸底考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ）
A．-6 B． C． D．2
3.设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A． 27 B．36 C．45 D．54
4.下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”
B．若命题，则
C．中，是的充要条件
D．若向量满足，则与的夹角为钝角
5.某几何体的三视图如上图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6.若用下边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）
A． B．
C． D．
7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．1
9. 若函数y＝（a＞0，且a≠1）的值域为{y｜0＜y≤1}，则函数y＝的图像大致
是
10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
11.已知满足，，，则（ ）A． B． C． D．
12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ．
14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．
15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有 ．
16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面
，则与平面所成角的正切值的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17． 设是递增的等差数列，为其前项和，且满足，是 的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足 ，求数列的通项公式．
18．雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
12
7
3
3
（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；
（2）若从年龄在∪[，+∞）．
21 【解答】解：（1）f′（x）=3﹣a﹣=，
当a≥3时，有f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（1，3）上单调递减；
当a＜3时，令f′（x）=0，得x=，若函数y=f（x）在区间（1，3）单调，
则≤1或≥3，解得：a≤1或≤a＜3，
综上，a的范围是（﹣∞，1]∪[，+∞）；
（2）x→0时，g（x）→+∞，
∴g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＜0在区间（0，）上恒成立不可能，
故要使函数g（x）在（0，）无零点，只需对任意的x∈（0，），g（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，
令l（x）=2﹣，x∈（0，），
则l′（x）=，
令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），
则m′（x）=＜0，
故m（x）在（0，）上递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，
从而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，
∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，
故要使a＞2﹣恒成立，只需a∈．
（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，
只要证9（a+b）2≤（ab+9）2，
即证：9（a+b）2﹣（ab+9）2=9（a2+b2+2ab）﹣（a2•b2+18ab+81）=9a2+9b2﹣a2•b2﹣81=（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，
而由a，b∈M，可得﹣3≤a≤3，﹣3≤b≤3，
∴（a2﹣9）≤0，（9﹣b2）≥0，∴（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，
故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．
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