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‎2014-2015南通市高三数学一模试卷（有答案）‎ 试题Ⅰ 注　意　事　项 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4．作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1． 已知集合，，，则 ▲ ．‎ ‎2． 若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为 ▲ ．‎ ‎3． 已知函数在处的导数为，则实数的值是 ▲ ．‎ ‎4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》‎ ‎(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml；‎ ‎“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：‎ 根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．‎ ‎5． 要得到函数的函数图象，可将函数的图象向右至少平移 ▲ 个单位．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，“直线，与曲线相切”的充要条件是 ‎“ ▲ ”．‎ 开始 结束 ‎（第7题）‎ ‎7． 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ．‎ ‎8． 在△ABC中，若，则 ▲ ．‎ ‎9． 已知是上的奇函数，且时，，则不等 ‎ 式的解集为 ▲ ．‎ ‎10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．‎ ‎11．已知平面向量，，满足，，，的夹角等 于，且，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，过点、分别作x 轴的垂线与抛物线分别交于点，直线与 x轴交于点，这样就称 确定了．同样，可由确定，…，若，，则 ▲ ．‎ ‎13．定义：{x，y}为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 ▲ ．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 ‎ 明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 已知函数． ‎ ‎（1）求的最小正周期和值域；‎ ‎（2）若为的一个零点，求的值．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ ‎ 如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为，且 ‎（第16题）‎ D A B C ‎（）．‎ ‎（1）若，求二面角C—BD—的大小；‎ ‎（2）当变化时，线段上是否总存在一点 E，使得A//平面BED？请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎17．（本题满分15分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，设A、B是双曲线上的两点，是线段AB的中点，‎ 线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点．‎ ‎（1）求直线AB与CD的方程；‎ ‎（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．‎ ‎18．（本题满分15分）‎ ‎ 某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）‎ ‎（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？‎ ‎（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）‎ ‎ （参考数据：，，，）‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分16分）‎ ‎ 已知函数的导函数是二次函数，且的两根为．若的极大值与极小值 ‎ 之和为0，．‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）若函数在开区间上存在最大值与最小值，求实数的取值范围．‎ ‎（3）设函数，正实数a，b，c满足，证明：．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ ‎ 设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，‎ 其中为常数. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：数列为等比数列；‎ ‎（3）证明：“数列，，成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“， ‎ ‎ 且”．‎ 试题Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若 ‎ 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ D A B C E O ‎·‎ ‎（第21—A题）‎ A．（几何证明选讲）‎ 如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切 半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的 中点，求BC的长．‎ ‎ ‎ B．（矩阵与变换）‎ 已知矩阵的属于特征值的一个特征向量为，求实数、的值．‎ ‎ ‎ C．（极坐标与参数方程）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点在曲线（为参数，为正常数），求的 值．‎ ‎ ‎ D．（不等式选讲）‎ ‎ 设均为正数，且，求证：‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 ‎ 字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．已知函数，，求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎23．（1）已知，且，求证：；‎ ‎（2）设数列，，，…满足，（i1，2，3，…）．‎ 证明：对任意的正整数n，是 关于的一次式．‎ 南通市数学一模试卷 参考答案 ‎1. ； 2. 3； 3. 2； ‎4. 0.09‎； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ；‎ ‎9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 3．‎ 答案解析 ‎1．易得，则；‎ ‎2. ；‎ ‎3. 易得，则，即；‎ ‎4. “饮酒驾车” 发生的频率等于；‎ ‎5. 将向右至少平移个单位得；‎ ‎6. 易得，且，即；‎ ‎7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是；‎ ‎8. 设，则，，且，利用 可 ‎ 求得，所以；‎ ‎9. 易得，，故所求解集为；‎ ‎10. 法1 设正四棱锥的底面边长为，则体积，记，‎ ‎ ，利用导数可求得当时，，此时；‎ 法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则， ‎ ‎（第11题图）‎ ‎ ，记，利用导数可求得当时，，此时；‎ ‎15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 ‎ 能力．‎ ‎（1）易得 ‎ ＝，（5分）‎ ‎ 所以周期，值域为；（7分）‎ ‎（2）由得，（9分）‎ ‎ 又由得 ‎ 所以故，（11分）‎ ‎ 此时，‎ ‎ ．（14分）‎ ‎16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．‎ ‎（第16题图）‎ D A B C O E 解：（1）连结，交于点，连结，‎ ‎ 菱形ABCD中，，‎ ‎ 因三角形BCD沿BD折起，所以，‎ ‎ 故为二面角C—BD—的平面角，（5分）‎ ‎ 易得，而，‎ ‎ 所以，二面角C—BD—的大小为；（7分）‎ ‎ （2）当变化时，线段的中点E总满足A//平面BED，下证之：（9分）‎ ‎ 因为E，O分别为线段，AC的中点， 所以，（11分）‎ ‎ 又平面BED，平面BED， 所以A//平面BED. （14分）‎ ‎17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．‎ 解：（1）设A，则， 代入双曲线得 ‎ 解得或 即的坐标为、，‎ ‎ 所以：，：；（7分）‎ ‎ （2）A、B、C、D四点共圆，下证之：（9分）‎ ‎ 证明：由与联立方程组可得 ‎ 的坐标为、，（11分）‎ ‎ 由三点A、B、C可先确定一个圆①，（13分）‎ ‎ 经检验适合①式，所以A、B、C、D四点共圆．（15分）‎ ‎ （注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）‎ ‎18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．‎ ‎ 解：（1）设文科阅卷人数为，且，‎ ‎ 则阅卷时间为（5分）‎ ‎ 而故，‎ ‎ 答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）‎ ‎ （2）文科阅卷时间为：，（11分）‎ ‎ 理科阅卷时间为：，（14分）‎ ‎ 答：全省阅卷时间最短为天．（15分）‎ ‎19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形 ‎ 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力．‎ ‎（第19题图）‎ ‎ 解：（1）设，‎ ‎ 则可设，其中为常数.‎ ‎ 因为的极大值与极小值之和为0，‎ ‎ 所以，即，‎ ‎ 由得，‎ ‎ 所以；（5分）‎ ‎ （2）由（1）得，且 ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 列表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）‎ ‎ 又，故， 所以，且， ‎ ‎ 解得；（10分）‎ ‎ （3）题设等价与，且a，b，c0，‎ ‎ 所以a，b，c均小于．‎ ‎ 假设在a，b，c中有两个不等，不妨设ab，则ab或ab．‎ ‎ 若ab，则由得即，‎ ‎ 又由得ca．‎ ‎ 于是abca，出现矛盾．‎ ‎ 同理，若ab，也必出现出矛盾．‎ ‎ 故假设不成立，所以．（16分）‎ ‎20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活 ‎ 运用基本量进行探索求解、推理分析能力．‎ 解：（1）n = 1时，由得p = 0或2，（2分）‎ ‎ 若p = 0时，，‎ ‎ 当时，，解得或，‎ ‎ 而，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）‎ ‎ （2）当p = 2时， ①，则②，‎ ‎ ②①并化简得 ③，则 ④，‎ ‎ ④③得（），又易得，‎ ‎ 所以数列{an}是等比数列，且；（10分）‎ ‎ （3）充分性：若x = 1，y = 2，由知，，依次为，，，‎ ‎ 满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；（12分）‎ ‎ 必要性：假设，，成等差数列，其中x、y均为整数，又 ‎，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 化简得 ‎ 显然，设，‎ ‎ 因为x、y均为整数，所以当时，或，‎ 故当，且当，且时上式成立，即证． （16分） ‎ ‎21．A．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．‎ 解：连接OD，则OD⊥DC，‎ 在Rt△OED中，OBOD，‎ 所以∠ODE30°，（5分）‎ 在Rt△ODC中，∠DCO30°，由DC2得ODDCtan30°，‎ 所以BC．（10分） ‎ B．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．‎ 解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=，（5分）‎ ‎ 所以解得.（10分）‎ C．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．‎ 解：由（为参数，为正常数），消去参数得，（8分）‎ ‎ 将点代入得.（10分）‎ D．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．‎ 证明：因为a1，a2，a3均为正数，且，‎ 所以，（8分）‎ ‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎ 所以.（10分）‎ ‎22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．‎ 证明：由得，（2分）‎ 令，则，‎ 当时，，在上为增函数；‎ 当x＞0时，，在上为减函数，‎ 所以在x=0处取得极大值，且，（6分）‎ 故（当且仅当时取等号），‎ 所以函数为上的减函数，（8分）‎ 则，即的最大值为0．（10分）‎ ‎23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．‎ ‎ （1）证明：左边，‎ ‎ 右边，‎ ‎ 所以；（3分）‎ ‎ （2）证明：由题意得数列，，，…为等差数列，且公差为.（5分）‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以对任意的正整数n，是关于的一次式．（10分）‎