4.4 解直角三角形的应用
教学目标
1.使学生理解直角三角形的意义；
2.使学生能够用直角三角形的三个关系式解直角三角形；
3.通过列方程解直角三角形，培养学生运用代数方法解几何问题的能力；
4.培养学生运用化归的思想方法将未知的问题转化为已知的问题去解决.
教学重点和难点
正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形是重点；选择适当的关系式解直角三角形是难点.
教学过程设计
一、直接运用三个关系解直角三角形
1.定义.
由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形.
2.解直角三角形依据.
图6-32，直角三角形ABC的六个元素(三条边，三个角)，a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，除直角C外，其余五个元素之间的关系如下：
(1)三边之间的关系：
a2＋b2＝c2(勾股定理)
(2)锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝90°.
(3)边角之间的关系：
sinA＝；
cosA＝；
tanA＝；
cotA＝；
这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素
.(1)是已知两边求第一边；(2)是已知一锐角求另一角；(3)是已知两边求锐角，已知一边一角求另一边.
这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素.
3.例题分析.
例1 △ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,且b＝3,∠A＝30°，解这个直角三角形.
分析：①未知元素是∠B，a，c；
②∠B最容易求，∠B＝90°－∠A；
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③由tanA＝，可以求a；
④由cosA＝，可以求c；
解：①∠B＝90°-∠A=90°－30°＝60°；
②因不tanA＝，
所以a＝b·tanA＝3×tan30°＝；
③因为cosA＝，
问：(1)用cotA是否可以求出a?从而说明要优选关系式.
(2)求c边还可以用什么方法?(答：也可以用勾股定理求得)
练习1 在△ABC中，∠C＝90°，c＝2,∠B＝30°,解这个直角三角形.
(答：∠A＝60°，a＝，b＝1.)
例2 在△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B、c边.
分析：此题解法灵活性很强.求c边可根据求得，也可先用正(余)切求出∠A(或∠B)，再用正余弦求得c边。
利用“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”求c边也很方便.
指出：优选关系式是关键，并让学生讨论每种解法在计算中的优劣.
例3 在△ABC中，∠C＝90°，b＝35，c＝45，(cos39°＝0.7778)，解直角三角形.
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分析：已知元素是b、c，未知元素∠A、∠B和a，题中已给条件cos39°＝0.7778，很自然考虑到cosA＝，因此可将∠A求得.(可让学生讨论找出解题途径)
4.从特殊到一般归纳总结：
由以上所述，引导学生归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型：
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；
已知直边求直边，正切余切理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；
已知直边求斜边，用除还需正余弦，
计算方法要选择，能用乘法不用除.
练习2 在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件解
直角三角形.
练习3 填空：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
(1)c＝10,∠B＝45°,则a＝ ，b＝ ，S△
(2)a＝10,S△＝,则b＝ ,∠A＝
;
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二、将条件化归为运用三个关系式解直角三角形
例4 △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，
(1)a＝4,，sinA＝，求b,c,tanB；
(2)a＋C＝12，b＝8，求a，c，cosB
分析：我们知道，在直角三角形的三条边和两锐角这五个元素中，若已知关于这些元
素的两个独立条件，其中至少有一个条件是边，则此直角三角形可解.但此题中的两小题均未给出一边一角或两边的两个独立条件.但(1)中，由sinA＝＝可设a＝2t,c＝5t,
又因不a＝4，所以t＝2,所以a＝4,c＝10,将条件转化为一直角边，一斜边的两个独立条件，
(2)中利用勾股定理c2－a2＝82，再由已知a＋c＝12,构成关于a,c的二元二次方程组，得到a，c.本题是将条件经过转化，归结不四种类型之一，从而得到所求.
解(1)：因为sinA＝＝，所以设a＝2t,c＝5t,
因为a＝4,所以2t＝4,t＝2，所以c＝10,
所以tanB＝
(2)解方程组
得. 所以
练习4 已知在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，
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例5 如图6-33，△ABC中，∠C=90°，AC＝12，∠A的平分线AD＝8，求 △ABC的面积
。
分析：根据三角形面积公式S＝AC·BC，已知AC＝12，只需求BC.但在直角△ABC中，除直角外只有一个条件AC，还要求出另一个边或角.观察已知发现，直角△ABD可解，然后再求∠BAC.
解：在Rt△ABD中，cos∠DAC＝
所以∠DAC＝30°
因为AD平分∠A，所以∠BAC＝60°，
所以∠B＝30°，所以AB＝2AC＝24，
练习5 如图6-34，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，且BD＝2，求△ABC的周长
解：因为BD平分∠ABC，所以∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°，
Rt△DBC中，CD＝BD＝×2＝1，
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所以△ABC周长为3+33
例6 如图6-35，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长
(采取讲练结合方法教学)
分析：通过作高，将解斜三角形的问题化归为解直角三角形的问题
略解：作CD⊥AB于D，则CD＝2，
三、小结
1先由教师向学生提出问题：学习了哪些内容?解题过程中运用了哪些数学思想方法?
2在学生回答的基础上教师归纳出以下几点：
(1)解直角三角形的意义
(2)直接运用直角三角形的边边关系、角角关系、边角关系解四种类型(已知一锐角
一直角边；一锐角一斜边；一直角边一斜边；两直角边)的题
(3)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形
四、作业
课本P129习题4.4
五、板书设计(略)
六、教学反思
这份教案也可按以下思路进行设计：
一、从一般到特殊总结出直角三角形的性质
二、从特殊到一般归纳总结出解直角三角形的四种类型及其基本思考方法
1例题分析：
例1例2例3(选用原教案)
2从特殊到一般归纳总结
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由教师引导学生根据上面题目的类型及其解答过程总结出以下三个问题：
(1)解直角三角形的意义及其根据
(2)解直角三角形的四种类型(用原教案材料)
(3)通过优化方法，突出基本思考方法
3变式练习，巩固所学知识
(选用上面教案的练习题)
三、将条件化归为运用三个关系式解直角三角形(运用原教案内容)
四、小结(略)
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