专题32 整式及其运算
聚焦考点☆温习理解
一、单项式：
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式．
二、多项式：
由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项．
三．整式：
单项式和多项式统称为整式．
四．同类项：
多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
五．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)
(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)
(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)
(4)同底数幂相除：am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)
六．整式乘法
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．
单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma+mb；
多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac+ad+bc+bd
七．乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
八．整式除法
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单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、整式的加减运算
【例1】（2016广西来宾第1题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．3x﹣2x=1 D．
【答案】D．
【解析】
考点：合并同类项．
【点睛】整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果．
【举一反三】
（2016浙江台州第4题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：A．，故此选项错误；
B．，正确；
C．，故此选项错误；
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D．，故此选项错误；
故选B．
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
考点典例二、同类项的概念及合并同类项
【例2】（2016湖南常德第6题）若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C.
【解析】
试题分析：已知﹣x3ya与xby是同类项，根据同类项的定义可得a=1，b=3，则a+b=1+3=4．故答案选C．
考点：同类项.
【点睛】 (1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．
【举一反三】
（2016江苏苏州第3题）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1
C．a2•a4=a8 D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
【答案】D.
【解析】
考点：1合并同类项；2同底数幂的乘法；3幂的乘方与积的乘方.
考点典例三、幂的运算
【例3】（2016湖北黄石第5题）下列运算正确的是
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析：选项A，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，错误；选项B，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减,可得，错误；选项C，，错误；选项D，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，正确.故答案选D.
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考点：同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方.
【点睛】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
【举一反三】
1. （2016湖南岳阳第2题）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1
【答案】B.
【解析】
试题分析：选项A，a2与a3不是同类项，不能合并，错误；选项B，（a2）3=a6，正确；选项C，a2•a3=a5，错误；选项D，3a﹣2a=a，错误，故答案选B．
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
2. （2016山东威海第4题）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2=x5 B．a3•a4=a12 C．（﹣x3）2÷x5=1 D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2=﹣xy
【答案】D．
【解析】
考点：整式的运算.
考点典例四、整式的乘除法.
【例4】（2016浙江宁波第19题）（本题6分）先化简，再求值：，其中
【答案】原式=；当时，原式=5.
【解析】
试题分析：先利用平方差公式和单项式乘多项式乘法法则去掉括号，在合并同类项后代入求值即可.
试题解析：原式=；
当时，原式=6-1=5.
考点：整式的化简求值.
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【点睛】此题考查了平方差公式、单项式乘多项式及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【举一反三】
（2016湖南怀化第3题）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1
【答案】C.
【解析】
考点：完全平方公式；平方差公式.
考点典例五、整式的混合运算及求值
【例5】（2016山东济宁第16题）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．
【答案】原式=2a2+b2，当a=﹣1，b=时，原式==4．
【解析】
试题分析：先根据单项式乘以多项式，完全平方公式化简，再去括号后合并同类项化简，把a与b的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，
当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4．
考点：整式的化简求值.
【点睛】注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．
【举一反三】
1. (2016湖北襄阳第17题)(本小题满分6分)
先化简，再求值：(2x+1)(2x-1)-（x+1)(3x-2)，其中x=一1．
【答案】原式,当x=-1时，原式
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【解析】
考点：整式的化简与求值
2. （2016福建泉州第19题）先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=．
【答案】原式=﹣3x2+4，当x=时，原式=﹣2．
【解析】
考点：整式的化简求值．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016浙江宁波第2题）下列计算正确的是
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据合并同类项法则可得,选项A，，选项A错误；选项B，，选项B错误；根据幂的乘方运算法则可得选项C，，选项C错误；根据同底数幂乘法法则可得选项D，，正确，故答案选D．
考点：合并同类项法则；同底数幂乘法法则；幂的乘方运算.
2. （2016湖北黄石第5题）下列运算正确的是
A. B. C. D.
【答案】D.
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【解析】
考点：同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方.
3. （2016山东威海第7题）若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【答案】D．
【解析】
试题分析：由x2﹣3y﹣5=0可得x2﹣3y=5，所以6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16，故答案选D．
考点：整体思想.
4. （2016山东济宁第2题）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3=x5 B．x6+x6=x12 C．（x2）3=x5 D．x﹣1=x
【答案】A.
【解析】
试题分析：选项A，根据同底数幂的乘法可得原式=x5，正确；选项B，根据合并同类项法则可得原式=2x6，错误；选项C，根据幂的乘方可得原式=x6，错误；选项D，根据负整数指数幂法则原式=，错误，故答案选A.
考点：负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方.
5. （2016湖南娄底第3题）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6B．5a﹣2a=3a2C．（a3）4=a12D．（x+y）2=x2+y2
【答案】C.
【解析】
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考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
6. （2016贵州铜仁第3题）单项式的系数是（ ）
A． B．π C．2 D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：单项式的系数是：．故选D．
考点：单项式．
7. （2016福建泉州第2题）（x2y）3的结果是（ ）
A．x5y3 B．x6y C．3x2y D．x6y3
【答案】D．
【解析】
试题分析：利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则可得（x2y）3=x6y3．故选D．
考点：幂的乘方与积的乘方．
8. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第2题）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（ ）
A．﹣x6 B．x6 C．x5 D．﹣x5
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可得（﹣x）3（﹣x）2=（﹣x）3+2=﹣x5．故选D．
考点：同底数幂的乘法．
二、解答题
9. （2016湖南衡阳第19题）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．
【答案】原式=2a2+2ab，当a=﹣1，b=时，原式=1．
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【解析】
考点：整式的化简求值．
10. （2016湖北宜昌第17题）先化简，再求值：4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x）．其中x=．
【答案】原式=4x﹣1，当x=时，原式=﹣．
【解析】
试题分析：直接利用整式乘法运算法则计算，再去括号，进而合并同类项，把已知代入求出答案．
试题解析：原式=4x2+（2x﹣4x2﹣1+2x）=4x2+4x﹣4x2﹣1=4x﹣1，
当x=时，原式=4×﹣1=﹣．
考点：整式的化简求值.
11．（2016辽宁大连第18题）先化简，再求值：（2a+b）2﹣a（4a+3b），其中a=1，b=．
【答案】原式=ab+b2，当a=1，b=时，原式=+2．
【解析】
试题分析：先利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则进行计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式=4a2+4ab+b2﹣4a2﹣3ab=ab+b2，
当a=1，b=时，原式=+2．
考点：整式的化简求值.
12. （2016湖南湘西州第20题）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣b（a﹣b），其中，a=﹣2，b=1．
【答案】原式=a2﹣ab，当a=﹣2，b=1时，原式=6．
【解析】
试题分析：先运用平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求值．
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试题解析：：原式=a2﹣b2﹣ab+b2=a2﹣ab，当a=﹣2，b=1时，原式=4+2=6．
考点：整式的化简求值.
13. （2016江苏常州第19题）先化简，再求值，其中x=．
【答案】﹣5x+1．
【解析】
考点：多项式乘多项式．
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