湖南省双峰县第一中学集体备课教案高一数学人教版必修三：§1.3.2 秦九邵算法.doc

www.ks5u.com 双峰一中高一数学必修三教案 ‎ ‎ 课题 ‎§1.3.2 秦九邵算法 课型 新课 教学目标 ‎（一）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。（二）模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。‎ ‎（三）通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。充分认识信息技术对数学的促进。‎ 教学过程 教学内容 备注 一、‎ 自主学习 阅读教材P37-P39思考以下问题：‎ ‎(1)秦九邵算法的运算原理 ‎(2) 秦九邵算法的程序框图和程序 二、‎ 质疑提问 ‎1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合. 2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.‎ 三、‎ 问题探究 知识探究：秦九邵算法 思考1 21325算法1：需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法算法2：需要5次乘法，5次加法 秦九韶算法思考2 18556‎ 思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？‎ f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0‎ ‎=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=…‎ ‎=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.‎ 思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ ‎ 第一步，计算v1=anx+an-1. ‎ 第二步，计算v2=v1x+an-2.‎ 第三步，计算v3=v2x+an-3.‎ ‎ …‎ 第n步，计算vn=vn-1x+a0.‎ 思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ ‎ 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？‎ vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)‎ 例1 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？‎ 例2 求多项式，在x=a时的值. ‎ 四、‎ 课堂检测 ‎1、如果执行右面的程序框图，那么输出的 （　　 ）‎ ‎ ‎ 否 是 A．22 B．‎46 ‎ C． D．190 ‎ 答案 C ‎2、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的 ‎ 值是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】对于，而对于，则 ‎ ‎，后面是，不 ‎ 符合条件时输出的．‎ 答案 A ‎ ‎3、阅读上（右）图的程序框图，则输出的S= ( ) ‎ A 26 B ‎35 C 40 D 57‎ ‎【解析】当时，；当时，；当 ‎ 时，；当时，；当时，‎ ‎；当时，，故选择C。‎ 答案　　Ｃ ‎4、程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。 ‎ ‎【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……‎ 答案 127‎ 点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。‎ ‎5、已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5‎ 时的函数的值。‎ 解析：把多项式变形为：f(x)= 2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7‎ ‎=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7‎ 计算的过程可以列表表示为：‎ 多项式x系数 ‎2‎ ‎－5‎ ‎－4‎ ‎3‎ ‎－6‎ ‎7‎ 运算 运算所得的值 ‎10‎ ‎25‎ ‎105‎ ‎540‎ ‎2670‎ ‎+‎ 变形后x的"系数"‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎21‎ ‎108‎ ‎534‎ ‎2677‎ ‎*5‎ 最后的系数2677即为所求的值 算法过程：‎ v0=2‎ v1=2×5－5=5‎ v2=5×5－4=21‎ v3=21×5+3=108‎ v4=108×5－6=534‎ v5=534×5+7=2677‎ 五、‎ 小结评价 一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.‎