三角形三边关系定理的巧用
安徽 李庆社
三角形三边关系的定理“三角形两边之和大于第三边”即对于△ABC，其三边为a，b，c．根据定理应有a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a．如果我们要确定三条线段能否组成三角形，必须满足a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a．三者缺一不可，一定不能仅仅根据其中“任意”两边之和大于第三边就断定该三条边组成三角形，但是如果把三条线段长分别代入以上三个不等式，既显得麻烦，又比较费时间，这个定理的应用有一定技巧，今介绍给初学几何的学生，希望能有帮助．
怎样应用三角形三边关系定理呢？
1、如果已知c是a、b、c三线段中最大的线段，那么只要满足a+b＞c就可以断定三线段能构成三角形，而不必再考虑a+c＞b和b+c＞a了．
例1下列有三组线段，判定哪组的三线段构成三角形？
(1)a=3，b=8，c=4．(2)a=5，b=6．c=11．(3)a=10，b=5，c=6．
解(1)因为三线段中b最大，且a+c=3+4=7＜8=b所以该三线段a，b，c不能构成三角形．
(2)因为三线段c最大，且a+ b= 11=c所以这三线段a．b，c不能构成三角形．
(3)因为三角形中a最大，且b+c=11＞10=a所以这三线段a，b，c能构成三角形．
=____．
分析：求值式需要先研究被开方式的底数和绝对值内的式子的正、负情况，再去掉根号和绝对值符号，就可求出结果．
解：∵a、b、c是△ABC的三边，由三角形三条边的关系，有
a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，
即a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0．
｜b-c-a｜=-(b-c-a)，
｜c-a-b｜=-(c-a-b)．
∴求值式=[-(a-b-c)]+[-(b-c-a)]+[-(c-a-b)]=a+b+c．
2、在等腰三角形中，应考虑三边的特殊性，要区别腰与底的关系，在已知两边求三角形的周长时要讨论解的情况．
例3一个等腰三角形的两条边长分别是10cm和5cm，求这个三角形的周长．
分析：在给出的条件中，没有确定等腰三角形的腰和底，所以10cm长的边既可能是底，也可能是腰，于是本题有两解．
解(1)当腰长10cm时，则底长5cm时，等腰三角形的周长是25cm．
(2)当底长10cm时，则腰长5cm，然而两腰之和等于底边(5+5=10)，所以此三角形不存在．
答：这个三角形的周长是25cm．
3、若三线段能构成三角形且已知其中两线段的长．求第三线段的取值范围时，要把三边关系定理与其推论(三角形两边的差小于第三边)同时运用．
例4已知三角形的两边长为 8cm，20cm，求第三边长x的取值范围？
解：根据三角形三边关系定理及推论得：
20-8＜x＜20+8
12＜x＜28
答：第三边长x的取值范围在12cm到28cm之间(不包括12cm和28cm)．
例5已知如图：D、E是△ABC内两点．
求证 AB+AC＞BD+DE+EC．
证明：把线段DE向两边延长交AB于F点，交AC于G点．
根据三角形两边之和大于第三边得
AF+AG＞FG即AF+AG＞FD+DE+EG，
又FB+FD＞BD，EG+GC＞EC
∴AF+AG+FB+FD+EG+GC＞FD+DE+EG+BD+EC
又∵AF+FB=AB，AG+GC=AC，
∴AB+AC+ED+EG＞FD+DE+EG+BD+EC，
即AB+AC＞BD+DE+EC．
练习：
(答：2(a+b+c))
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