1.2 利用二分法求方程的近似解
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．
三维目标
1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．
2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．
3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．
重点难点
用二分法求方程的近似解．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测．
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．
思路2.(事例导入)
有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
推进新课
①解方程2x－16＝0.
②解方程x2－x－2＝0.
③解方程x3－2x2－x＋2＝0.
④解方程(x2－2)(x2－3x＋2)＝0.
⑤我们知道，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？
⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？
⑦什么叫二分法？
⑧试求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.
⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果：
①x＝8.
②x＝－1，x＝2.
③x＝－1，x＝1，x＝2.
④x＝－，x＝，x＝1，x＝2.
⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x＝称为区间(a，b)的中点〕
⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．
⑦对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
⑧因为函数f(x)＝ln x＋2x－6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝ln x＋2x－6的对应值表．
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
－1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
由表可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x0，取区间(2,3)的中点x1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3)．
同理，可得表(下表)与图像(如图1)．
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
－0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.562 5
0.066
(2.5,2.562 5)
2.531 25
－0.009
(2.531 25,2.562 5)
2.546 875
0.029
(2.531 25,2.546 875)
2.539 062 5
0.010
(2.531 25,2.539 062 5)
2.535 156 25
0.001
由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值．
⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
图1
1°确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精度ε.
2°求区间(a，b)的中点c.
3°计算f(c)：
a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
b．若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，c)〕；
c．若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕．
4°判断是否达到精度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°～4°.
⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．
例1 求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解，精确到0.01.
解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．
经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．
取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．
如此下去，得到方程2x3＋3x－3＝0的实数解所在区间的表如下．
左端点
右端点
第1次
0
2
第2次
0
1
第3次
0.5
1
第4次
0.5
0.75
第5次
0.625
0.75
第6次
0.687 5
0.75
第7次
0.718 75
0.75
第8次
0.734 375
0.75
第9次
0.742 187 5
0.75
第10次
0.742 187 5
0.746 093 75
第11次
0.742 187 5
0.744 140 625
至此，可以看出，区间[0.742 187 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．
点评：利用二分法求方程近似解的步骤：
①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；
②利用二分法求近似解.
变式训练
利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个近似解．(精确到0.1)
活动：教师帮助学生分析：
画出函数f(x)＝x2－2x－1的图像，如图2所示．
从图像上可以发现，方程x2－2x－1＝0的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(－1,0)内．
根据图像，我们发现f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，这表明此函数图像在区间(2,3)上穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(2,3)上有唯一解．
图2
计算得f＝＞0，发现x1∈(2,2.5)(如图2)，这样可以进一步缩小x1所在的区间．
解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图像的简图，如图2.
因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，
所以在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1.
取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x1＜2.5.
再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5＜0，
所以2.25＜x1＜2.5.
如此继续下去，得f(2)＜0，f(3)＞0x1∈(2,3)，
f(2)＜0，f(2.5)＞0x1∈(2,2.5)，
f(2.25)＜0，f(2.5)＞0x1∈(2.25,2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.5)＞0x1∈(2.375,2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0x1∈(2.375,2.437 5)．
因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个近似解为2.4.
点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
例2 利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解．(精确到0.1)
活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．
分别画出y＝lg x和y＝3－x的图像，如图3所示．在两个函数图像的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图像可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．
图3
解：设f(x)＝lg x＋x－3，设x1为函数的零点即方程lg x＝3－x的解．
用计算器计算，得
f(2)＜0，f(3)＞0x1∈(2,3)，
f(2.5)＜0，f(3)＞0x1∈(2.5,3)，
f(2.5)＜0，f(2.75)＞0x1∈(2.5,2.75)，
f(2.5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.5,2.625)，
f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.562 5,2.625)．
因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为2.6.
例3 求方程ln x－2x＋3＝0在区间[1,2]内的根．(精确到0.1)
解：设f(x)＝ln x－2x＋3，则原方程的根为函数f(x)的零点．
设x1为函数的零点即方程ln x－2x＋3＝0的解．
因为f(1)＝1，f(2)＝－0.306 852 819，
所以f(1)f(2)＜0，即函数f(x)在[1,2]内有一个零点．根据二分法，用计算器得出以下表格：
x
y
1
1
2
－0.306 852 819
3
－1.901 387 711
4
－3.613 705 639
5
－5.390 562 088
6
－7.208 240 531
7
－9.054 089 851
8
－10.920 558 46
(步长为1)
x
y
1
1
1.5
0.405 465 108
2
－0.306 852 819
2.5
－1.083 709 268
3
－1.901 387 711
3.5
－2.747 237 032
4
－3.613 705 639
4.5
－4.495 922 603
(步长为0.5)
x
y
1
1
1.25
0.723 143 551
1.5
0.405 465 108
1.75
0.059 615 787
2
－0.306 852 819
2.25
－0.689 069 783
2.5
－1.083 709 268
2.75
－1.488 399 088
(步长为0.25)
x
y
1
1
1.125
0.867 783 035
1.25
0.723 143 551
1.375
0.568 453 731
1.5
0.405 465 108
1.625
0.235 507 815
1.75
0.059 615 787
1.875
－0.121 391 34
(步长为0.125)
x
y
1.5
0.405 465 108
1.562 5
0.321 287 102
1.625
0.235 507 815
1.687 5
0.148 248 143
1.75
0.059 615 787
1.812 5
－0.030 292 892
1.875
－0.121 391 34
1.937 5
－0.213 601 517
(步长为0.062 5)
由上述表格可以得到下表与图像(图4)：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
0.405 465 108
(1.5,2)
1.75
0.059 615 787
(1.75,2)
1.875
－0.121 391 34
(1.75,1.875)
1.812 5
－0.030 292 892
图4
因为f(1.75)＝0.059 615 787＞0，f(1.812 5)＝－0.030 292 892＜0，
所以区间[1.75,1.812 5]内的所有值若精确到0.1，都是1.8.
所以1.8是方程ln x－2x＋3＝0精确到0.1的实数解．
点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图像，初步确定解所在的区间，再用二分法求方程近似解．
②二分法，即逐渐逼近的方法．
③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易．
根据下表中的数据，可以断定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.0
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
分析：设f(x)＝ex－x－2，f(1)＜0，f(2)＞0，即f(1)f(2)＜0，∴x∈(1,2)．
答案：C
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？
(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)
答案：至少需要检查接点的个数为4.
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结．
①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用．
②思想方法：函数方程思想、数形结合思想．
习题4—1 A组1,3.
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．
[备用习题]
求方程x3－3x－1＝0的一个正的近似解？(精确到0.1)
解：设f(x)＝x3－3x－1，设x1为函数的零点，即方程x3－3x－1＝0的解．
作出函数f(x)＝x3－3x－1的图像(图5)．
图5
因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x3－3x－1＝0有一个解，记为x1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x1＜2.
再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x1＜2.
如此继续下去，得
f(1)＜0，f(2)＞0x1∈(1,2)，
f(1.5)＜0，f(2)＞0x1∈(1.5,2)，
f(1.75)＜0，f(2)＞0x1∈(1.75,2)，
f(1.875)＜0，f(2)＞0x1∈(1.875,2)，
f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0x1∈(1.875,1.937 5)，
因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，
所以，1.9是方程x3－3x－1的实数解．
(设计者：张新军)
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