中考数学总复习解题技巧指导完美讲义

1 中考数学总复习解题技巧指导完美讲义 第 1 讲、依据特征作图——填空压轴（讲义） 1. 在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 P 在线段 AB 上．若将△DAP 沿 DP 折叠，使点 A 落在 矩形对角线上的 A′处，则 AP 的长为_____________． 2. 已知点 A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接 AC，BC 得到矩形 AOBC，点 D 在边 AC 上，将 边 OA 沿 OD 折叠，点 A 的对应点为 A′，若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1:3， 则点 A′的坐标为____________． 3. 如图，矩形 ABCD 中，AD=4，AB=7，点 E 为 DC 上一动点，△ADE 沿 AE 折叠，点 D 落在 矩形 ABCD 内一点 D′处，若△BCD′为等腰三角形，则 DE 的长为______________． 4. 在矩形 ABCD 中，AB=6，AD= 2 3 ，E 是 AB 边上一点，AE=2，F 是直线 CD 上一动点，将 △AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为 A′，当 E，A′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为 2 ________________． 5. 如图是矩形纸片 ABCD，AB=16 cm，BC=40 cm，M 是边 BC 的中点，沿过 M 的直线翻折．若 点 B 恰好落在边 AD 上，则折痕长度为_________cm． 6. 如图，在矩形 ABCD 中， 2 2AB  ，AD=4，点 E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，过 点 D 作 DF⊥AE 于点 F，连接 CF．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为_____________． 3 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是 BC 边上的动点，设 BP=x，若 能在 AC 边上找到一点 Q，使 ∠BQP=90°，则 x 的取值范围是_____________． 8. 如图，∠AOB=45°，点 M，N 在边 OA 上，OM=x，ON=x+4，点 P 是边 OB 上的点．若使 P， M，N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是_____________________________． 9. 在三角形纸片 ABC 中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30 cm，将该纸片沿过点 B 的直线折 叠，使点 A 落在斜边 BC 上的一点 E 处，折痕记为 BD（如图 1），剪去△CDE 后得到双 层△BDE（如图 2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的 平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为___________cm． 图 1 图 2 4 10. 在□ABCD 中，AD=BD，BE 是 AD 边上的高，∠EBD=20°，则∠A 的度数为______________． 11. 在□ABCD 中，CD 长为 6．点 E 是线段 AB 上一点，沿直线 DE 折叠，使点 A 落在线段 DC 上．延长 DE 交直线 BC 于点 F，若△FCD 的面积为9 3 ，则∠ADC=_____________． 12. 在平行四边形 ABCD 中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB= 2 3 ，将△ABC 沿 AC 翻折至△AB′C， 使点 B′落在平行四边形 ABCD 所在的平面内，连接 B′D．若△AB′D 是直角三角形， 则 BC 的长为______________． 5 【参考答案】 1. 9 4 或 3 2 2. ( 7 ，3)，( 15 ，1)或( 2 3 ，-2) 3. 4 3 3 或 32 4 15 7  4. 6 2 7 或 6 2 7 5. 10 5 或8 5 6. 2， 2 2 或 4 2 2 7. 3≤x≤4 8. 0， 4 2 4 或 4＜x＜ 4 2 9. 80 3 3 或 40 10. 55°或 35° 11. 120°或 60° 12. 6 或 4 6 第 2 讲、依据特征作图——动态几何（讲义） 1. 如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠C，点 P 在边 AB 上． （1）判断四边形 ABCD 的形状并加以证明． （2）若 AB=AD，以过点 P 的直线为轴，将四边形 ABCD 折叠，使点 B，C 分别落在点 B′， C′处，且 B′C′经过点 D，折痕与四边形的另一交点为 Q． ①在图 2 中作出四边形 PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）； ②如果∠C=60°，那么 AP PB 为何值时， B′P⊥AB． 图 1 图 2 2. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上的一个动点，连接 BE，作点 A 关于 BE 的对称点 F， 且点 F 落在矩形 ABCD 的内部，连接 AF，BF，EF，过点 F 作 GF⊥AF 交 AD 于点 G，设 AD nAE  ． （1）当点 F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示 AD AB 的值； （2）若 AD=4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值． 3. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB=3，AD=2，∠A=60°，点 E 为 AB 中点，过点 E 作 l ⊥AB，垂足为点 E，点 M 是直线 l 上的一点． 7 （1）若平面内存在点 N，使得以 A，D，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共 有______个． （2）连接 MA，MD，若∠AMD 不小于 60°，且设符合题意的点 M 在直线 l 上可移动的距 离为 t，求 t 的范围． 4. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中， AB=4，∠C=90°．点 D 在线段 AC 上，AD=2CD，点 E，F 在△ABC 的边上，且满足 △DAF 与△DEF 全等，过点 E 作 EG⊥AB 于点 G，求 线段 AG 的长． 【参考答案】 1. （1）四边形 ABCD 为平行四边形，证明略； 8 （2）①作图略；② 3 1 2 AP PB  时，B′P⊥AB． 2. （1） AD nAB  ； （2）n 的值为 16 或8 4 2 ． 3. （1）5； （2）0≤t≤ 39 3 ． 4. 线段 AG 的长为 8 3 ， 2 32 3  或 4． 9 第 3 讲、函数图象的分析与作图（讲义） 1. 已知在平面直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(2，2)，对称轴是 直线 x=1，顶点为 B． （1）求这条抛物线的表达式和点 B 的坐标； （2）点 M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，连接 AM，用含 m 的代数 式表示∠AMB 的正切值； （3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C 在 x 轴上．原抛物线上一点 P 平移后的对应点为点 Q，如果 OP=OQ，求点 Q 的坐标． 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(0，1)，取一点 B(b，0)，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线 l1，过点 B 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l2 的交点为 P． （1）当 b=3 时，在图 1 中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）小慧多次取不同数值 b，得出相应的点 P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现： 这些点 P 竟然在一条曲线 L 上． ①设点 P 的坐标为(x，y)，试求 y 与 x 之间的关系式，并指出曲线 L 是哪种曲线； ②设点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别是 d1，d2，求 d1+d2 的范围，当 d1+d2=8 时，求点 P 的 坐标； ③将曲线 L 在直线 y=2 下方的部分沿直线 y=2 向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线， 若直线 y=kx+3 与这条“W”形状的新曲线有 4 个交点，直接写出 k 的取值范围． 10 图 1 3. 已知二次函数 y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为 4，且抛物线过点 7 9( )2 4 ， ，点 P(t，0) 是 x 轴上的动点，抛物线与 y 轴交点为 C，顶点为 D． （1）求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2）求|PC-PD|的最大值及对应的点 P 的坐标； （3）设 Q(0，2t)是 y 轴上的动点，若线段 PQ 与函数 y=a|x|2-2a|x|+c 的图象只有一个 公共点，请直接写出 t 的取值． 11 4. 如图，抛物线 L： 1 ( )( 4)2y x t x t     （常数 t＞0）与 x 轴从左到右的交点为 B， A，过线段 OA 的中点 M 作 MP⊥x 轴，交双曲线 ky x  （k＞0，x＞0）于点 P，且 12OA MP  ． （1）求 k 的值； （2）当 t=1 时，求 AB 的长，并求直线 MP 与 L 对称轴之间的距离； （3）把 L 在直线 MP 左侧部分的图象（含与直线 MP 的交点）记为 G，用 t 表示图象 G 最高点的坐标； （4）设 L 与双曲线有个交点的横坐标为 x0，且满足 4≤x0≤6，通过 L 位置随 t 变化的 过程，直接写出 t 的取值范围． 12 【参考答案】 1. （1）抛物线的表达式为 y=-x2+2x+2；点 B(1，3)； （2）tan∠AMB= 1 2m  ； （3）点 Q 的坐标为 2 6 3( )2 2  ， ， 2 6 3( )2 2  ， ． 2. （1）作图略； （2）① 21 1 2 2y x  ，曲线 L 是抛物线； ②d1+d2≥ 1 2 ；P1(3，5)，P2(-3，5)； ③k 的取值范围为 3 3 3 3k   ． 3. （1）二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3；顶点 D(1，4)； （2）|PC-PD|的最大值为 2 ，对应的点 P 坐标为(-3，0)； （3） 3 2 ≤t＜3， 7 2t  或 t≤-3． 4. （1）k 的值为 6； （2）直线 MP 与 L 对称轴之间的距离为 3 2 ； （3）图象 G 最高点的坐标为 2 ( )2 8 t t t ， ； （4）t 的取值范围为 5≤t≤8 2 ，7≤t≤8 2 ． 13 第 4 讲、依据背景转化（讲义） 1. 已知点 A(-1，1)，B(4，6)在抛物线 y=ax2+bx 上． （1）求抛物线的解析式． （2）如图 1，点 F 的坐标为(0，m)（m＞2），直线 AF 交抛物线于另一点 G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为 H．设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH，AE，求证：FH∥ AE． （3）如图 2，直线 AB 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点．点 P 从点 C 出发，沿射线 CD 方 向匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速 运动，速度为每秒 1 个单位长度．点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒 时，QM=2PM，直接写出 t 的值． 图 1 图 2 14 2. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 的坐标为(0，2)，点 E 为线 段 AB 上的一动点（点 E 不与点 A，B 重合）．以 E 为顶点作∠OET=45°，射线 ET 交线 段 OB 于点 F，C 为 y 轴正半轴上一点，且 OC=AB，抛物线 22y x mx n    经过 A，C 两点． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）当△EOF 为等腰三角形时，求点 E 的坐标． （3）在（2）的条件下，设直线 EF 交 x 轴于点 D，P 为（1）中抛物线上一动点，直线 PE 交 x 轴于点 G，在直线 EF 上方的抛物线上是否存在一点 P，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的 (2 2 1) 倍？若存在，请直接．．写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 15 3. 抛物线 y=ax2-bx+4（a≠0）过点 A(1，-1)，B(5，-1)，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的函数表达式． （2）如图，⊙O1 过 A，B，C 三点，AE 为直径，点 M 为ACE ︵ 上的一动点（不与点 A，E 重 合），连接 MB，作 BN⊥MB 交 ME 的延长线于点 N，求线段 BN 长度的最大值． 16 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A(6，0)，B(0，8)，点 C 的坐标为(0，m)，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，点 D 为 x 轴上的一动点，连接 CD，DE， 以 CD，DE 为边作□CDEF． （1）当 0＜m＜8 时，求 CE 的长（用含 m 的代数式表示）； （2）点 D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF 为矩形，请求出所有满 足条件的 m 的值． 17 【参考答案】 1. （1）抛物线的解析式为 21 1 2 2y x x  ； （2）证明略； （3）t 的值为15 113 6  ，15 113 6  ，13 89 2  或13 89 2  ． 2. （1）抛物线的函数表达式为 22 2 2 2y x x    ； （2）E1(- 2 ，2- 2 )，E2(-1，1)； （3）P1(-1， 2 2 )，P2(0， 2 2 )． 3. （1）抛物线的函数表达式为 y=x2-6x+4； （2）BN 长度的最大值为3 13 ． 4. （1）CE 的长为 3(8 ) 5 m ； 18 （2）满足条件的 m 的值为 0， 6 7 ， 9 2  或 96 13  ． 第 5 讲、分析特征转化——整体思考（讲义） 1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0，-1)，顶点 C 在第一象限，直角顶点 B 在第四象限，且 AB∥x 轴．已知抛物线 21 2 12y x x    过 A， B 两点，顶点为 P． （1）求点 B，C 的坐标． （2）平移抛物线 21 2 12y x x    ，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q．若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前抛物线上的点，当以 M，P，Q 为顶点的三角形是 等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标． 19 2. 如图 1，二次函数 21 2 12y x x   的图象与一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 在第一象限内，点 C 是二次函数图象的顶点，点 M 是 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴的交点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 N，且 S△AMO:S 四边形 AONB=1:48． （1）求直线 AB 和直线 BC 的解析式； （2）如图 2，直线 AB 上有一点 K(3，4)，将二次函数 21 2 12y x x   沿直线 BC 平移， 平移的距离是 t（t≥0），平移后抛物线上点 A，C 的对应点分别为点 A′，C′．当△A′C′K 是直角三角形时，求 t 的值． 图 1 图 2 20 3. 已知抛物线 C1：y=x2．如图 1，平移抛物线 C1 得到抛物线 C2，C2 经过 C1 的顶点 O 和 A(2， 0)，C2 的对称轴分别交 C1，C2 于点 B，D． （1）求抛物线 C2 的解析式． （2）探究四边形 ODAB 的形状，并证明你的结论． （3）如图 2，将抛物线 C2 向下平移 m 个单位（m＞0）得到抛物线 C3，C3 的顶点为 G，与 y 轴交于点 M．点 N 是点 M 关于 x 轴的对称点，点 P 4( )3 3 m m ， 在直线 MG 上．当 m 为何 值时，在抛物线 C3 上存在点 Q，使得以 M，N，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？ 21 4. 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，顶 点为 D(0，4)，AB= 4 2 ，设点 F(m，0)是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转 180°，得到新的抛物线 C′． （1）求抛物线 C 的函数表达式． （2）若抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴右侧有两个不同的公共 点，求 m 的取值范围． （3）如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 P 在抛物 线 C′上的对应点为 P′，设 M 是 C 上的动点，N 是 C′上的动点，试探究四边形 PMP′N 能否成为正方形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由． 图 1 图 2 22 【参考答案】 1. （1）B(4，-1)；C(4，3)； （2）点 M 的坐标为(4，-1)，(1 5 2 5)  ， ，(-2，-7)，或 (1 5 2 5)  ， ． 2. （1）lAB：y=x+1；lBC：y=2x-5； （2）当△A′C′K 是直角三角形时，t 的值为 0， 4 5 ， 2 5 2 或 2 5 2 ． 3. （1）抛物线 C2 的解析式为 y=x2-2x； （2）四边形 ODAB 为正方形，证明略； （3）当 m 的值为 3 8 或15 8 时，在抛物线 C3 上存在点 Q，使得以 M，N，P，Q 为顶点的四 边形为平行四边形． 4. （1）抛物线 C 的函数表达式为 21 42y x   ； （2）2＜m＜ 2 2 ； （3）能，m 的值为 3 17  或 6． 23 第 6 讲、分析特征转化——逆向思考（讲义） 1. 如图，已知抛物线 2 73 4y x x   的顶点为 D，并与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C． （1）求点 A，B，C，D 的坐标． （2）取点 E( 3 2  ，0)和点 F(0， 3 4  )，直线 l 经过 E，F 两点，点 G 是线段 BD 的中点． ①判断点 G 是否在直线 l 上，请说明理由． ②在抛物线上是否存在点 M，使点 M 关于直线 l 的对称点在 x 轴上？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 24 2. 如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 21 3y x bx c    的图象与坐标轴交于 A，B， C 三点，其中点 A 的坐标为(-3，0)，点 B 的坐标为(4，0)，连接 AC，BC．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从 点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到 达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒，连接 PQ． （1）填空：b=_________，c=__________； （2）如图 2，点 N 的坐标为( 3 2  ，0)，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直 线 NH 的对称点 Q′恰好落在线段 BC 上时，求出点 Q′的坐标． 图 1 图 2 3. 如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，直线 l： 3 34y x   过点 C，交 x 轴于点 E．点 Q 在 x 轴的正半轴上运动，过 Q 作 y 轴的平行线，交直线 l 于点 M，交抛物线于点 N．连接 CN，将△CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 M′．探究：是 否存在点 Q，使得 M′恰好落在 y 轴上？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说 明理由． 备用图 25 4. 如图，曲线 l 是由函数 6y x  在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45°得到 的，过点 A ( 4 2 4 2) ， ，B (2 2 2 2)， 的直线与曲线 l 相交于点 M，N，求△OMN 的面积． 26 5. 如图 1，直线 4 3y x n   交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C(0，4)． 抛物线 22 3y x bx c   经过点 A，交 y 轴于点 B(0，-2)．点 P 为抛物线上一个动点， 过点 P 作 x 轴的垂线 PD，过点 B 作 BD⊥PD 于点 D，连接 PB，设点 P 的横坐标为 m． （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长； （3）如图 2，将△BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC， 当点 P 的对应点 P′落在坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标． 27 【参考答案】 1. （1）A( 1 2  ，0)，B( 7 2 ，0)，C(0， 7 4  )，D( 3 2 ，-4)； （2）①G 在直线 l 上，理由略； ②存在，M1( 3 2 ，-4)，M2( 1 6 ， 20 9  )． 2. （1） 1 3 ；4； （2）Q′( 6 7 ， 22 7 )． 3. 存在，Q1( 3 2 ，0)，Q2(4，0)． 4. △OMN 的面积为 8． 28 5. （1）抛物线的解析式为 22 4 23 3y x x   ； （2）线段 PD 的长为 1 2 或 7 2 ； （3）P1( 5 ， 4 5 4 3   )，P2( 5 ， 4 5 4 3  )，P3( 25 8 ， 11 32 )． 29 第 7 讲、拆解转化（讲义） 1. 在平面直角坐标系中，直线 3 14y x   交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 A，抛物线 21 2y x bx c    经过点 B，与直线 3 14y x   交于点 C(4，-2)． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，横坐标为 m 的点 M 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 M 作 ME∥y 轴交直线 BC 于点 E，以 ME 为直径的圆交直线 BC 于另一点 D，当点 E 在 x 轴上时，求△DEM 的周 长； （3）将△AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转 90°，得到△A1O1B1，点 A，O， B 的对应点分别是 A1，O1，B1，若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1 的坐标． 30 2. 如图，已知抛物线 21 1 ( 1)4 4 4 by x b x    （b 是实数且 b＞2）与 x 轴的正半轴交于 点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C． （1）点 B 的坐标为________，点 C 的坐标为________（用含 b 的代数式表示）． （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且△PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请 说明 理由． （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△QCO，△QOA 和△QAB 中的任 意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如 果不存在，请说明理由． 31 3. 如图，已知二次函数 y=x2+(1-m)x-m（其中 0＜m＜1）的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，P 为对称轴 l 上一点，且 PA=PC． （1）∠ABC 的度数为________． （2）求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）． （3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q，B，C 为顶点的三角形 与△PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？若存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；若 不存在，请说明理由． 32 4. 已知抛物线 y=ax2+bx+c，其中 2a=b＞0＞c，且 a+b+c=0． （1）直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根； （2）证明：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A 在第三象限； （3）直线 y=x+m 与 x，y 轴分别相交于 B，C 两点，与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A，D 两点．设抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴与 x 轴相交于点 E．如果在对称轴左侧的抛物线上 存在点 F，使得△ADF 与△BOC 相似，并且 S△ADF= 1 2 S△ADE，求此时抛物线的表达式． 33 【参考答案】 1. （1）抛物线的解析式为 21 5 12 4y x x    ； （2）△DEM 的周长为 64 15 ； （3）A1 的坐标为( 7 12  ， 29 288 )或( 3 4 ， 31 96 )． 2. （1）(b，0)；(0， 4 b )； （2）存在，点 P 的坐标为(16 5 ，16 5 )； （3）存在，点 Q 的坐标为(1， 2 3 )或(1，4)． 3. （1）45°； （2）P( 1 2 m  ，1 2 m )； （3）存在，点 Q 的坐标为( 2 5  ，0)或(0， 2 5 )． 34 4. （1）x=1； （2）证明略； （3）此时抛物线的解析式为 y=x2+2x-3． 35 第 8 讲、类比结构构造——类比探究（讲义） 1. 我们定义：如图 1，在△ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到 AB′，把 AC 绕点 A 逆时针旋转β得到 AC′，连接 B′C′．当α+β=180°时，我们称 △AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边 B′C′上的中线 AD 叫做△ABC 的 “旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图 2、图 3 中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中 线”． ①如图 2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD=_____BC； ②如图 3，当∠BAC=90°，BC=8 时，则 AD 的长为_________． 猜想论证： （2）在图 1 中，当△ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图 4，四边形 ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD= 2 3 ，DA=6．在四边 形内部是否存在点 P，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明， 并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 图 4 图 3 36 2. 【探索发现】 如图 1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积 最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE，EF 剪下时，所得的矩形的面积最 大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比 值为________． 【拓展应用】 如图 2，在△ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P，N 分别在边 AB， AC 上，顶点 Q，M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为__________（用含 a，h 的 代数式表示）． 【灵活应用】 如图 3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了 一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图 4，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm，BC=108 cm，CD=60 cm， 且 4tan tan 3B C  ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M，N 在边 BC 上且面积最 大的矩形 PQMN，求该矩形的面积． 图 1 图 2 图 3 图 4 备用图 37 3. 折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片 ABCD（AB＞BC）（如图 1），使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF， 把纸片展平（如图 2）． 第二步，如图 3，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折痕经过点 B，得到 折痕 BG，折出 PB，PC，得到 △PBC． 图 1 图 2 图 3 （1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图 4，小明画出了图 3 的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC．他发现，在矩形 ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图 5 中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过 程． 图 4 图 5 （3）已知矩形一边长为 3 cm，另一边长为 a cm．对于每一个确定的 a 的值，在矩形中 38 都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的 a 的取值范围． 【问题解决】 （4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为 4 cm 和 1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm． 4. 已知四边形 ABCD 的一组对边 AD，BC 的延长线交于点 E． （1）如图 1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB． （2）如图 2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= 3 5 ，CD=5，AB=12，△CDE 的面积为 6，求四 边形 ABCD 的面积． （3）如图 3，另一组对边 AB，DC 的延长线相交于点 F．若 cos∠ABC=cos∠ADC= 3 5 ，CD=5， CF=ED=n，直接写出 AD 的长（用含 n 的式子表示）． 图 1 图 2 图 3 39 【参考答案】 1. （1）① 1 2 ；②4； （2）AD= 1 2 BC，证明略； （3）存在，“旋补中线”长为 39 ． 2. 【探索发现】 1 2 ； 【拓展应用】 1 4 ah ； 【灵活应用】该矩形的面积为 720； 【实际应用】该矩形的面积为 1 944 cm2． 3. （1）证明略； （2）先将△BPC 按点 B 逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1 以 B 为位似中 心放大，使点 C1 的对应点 C2 落在边 CD 上，得到△BP2C2； （3）略； （4） 16 5 ． 4. （1）证明略； （2）四边形 ABCD 的面积为 75 18 3 ； 40 （3）AD 的长为 5 25 6 n n   ． 第 9 讲、依据特征构造——补全模型（讲义） 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC= 2 3 ，∠BAC=120°，点 D，E 都在 BC 上，∠DAE=60°，若 BD=2CE，则 DE 的长为_____． 2. 如图，在矩形 ABCD中，将∠ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边 B′C′ 交 CD 边于点 G．连接 BB′，CC′，若 AD=7，CG=4，AB′=B′G，则 CC BB   的值是________． 3. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将 AB 边绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AD，将 AC 边绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CE，AE 与 BD 交于点 F．若 DF= 2 ，EF= 2 2 ，则 BC 边的长为____________． 41 4. 如图，已知△ABC 是等边三角形，直线 l 过点 C，分别过 A，B 两点作 AD⊥l 于点 D，作 BE⊥l 于点 E．若 AD=4，BE=7，则△ABC 的面积为____________． 5. 如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，连接 BD，AE． （1）如图 1，证明：BD=AE． （2）如图 2，如果 D 在 AC 边上，BD 交 AE 于点 F，连接 CF，过 E 作 EH⊥CF 于点 H，若 FB-FA=6，CF=4DF，求 CH 的长． 42 图 1 图 2 6. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点， 交 y 轴于点 C，直线 y=x-3 经过 B，C 两点． （1）过点 C 作直线 CD⊥y 轴交抛物线于另一点 D，点 P 是直线 CD 下方抛物线上的一个 动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PE 交 CD 于点 F，交 BC 于 点 M，连接 AC，过点 M 作 MN⊥AC 于点 N，设点 P 的横坐标为 t，线段 MN 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）； （2）在（1）的条件下，连接 PC，过点 B 作 BQ⊥PC 于点 Q（点 Q 在线段 PC 上），BQ 交 CD 于点 T，连接 OQ 交 CD 于点 S，当 ST=TD 时，求线段 MN 的长． 43 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 1 22y x  与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物 线 21 2y x bx c    经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B． （1）求抛物线的函数表达式． （2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点． 44 ①连接 BC，CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△CDE 的面积为 S1，△BCE 的面积为 S2， 求 1 2 S S 的最大值． ②过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F，连接 CD，是否存在点 D，使得△CDF 中的某个角恰好 等于∠BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 1. 3 3 3 45 2. 74 5 3. 7 1 4. 37 3 3 5. （1）证明略； （2）CH 的长为15 4 ． 6. （1） 2 10 5d t ； （2）线段 MN 的长为 3 10 5 ． 7. （1）抛物线的函数表达式为 21 3 22 2y x x    ； （2）① 1 2 S S 的最大值为 4 5 ； ②存在，点 D 的坐标为(-2，3)，( 29 11  ， 300 121 )． 46 第 10 讲、依据特征构造——最值问题（讲义） 1. 如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 AB 交于 A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线 AC： 1 62y x   交 y 轴于点 C，点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF⊥x 轴交 AC 于点 F，交抛物线于 点 G． （1）求抛物线 y=-x2+bx+c 的表达式． （2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标． （3）①在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H 的坐标； ②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为⊙E 上一动点，求 1 2 AM+CM 的最小值． 47 2. 如图，抛物线 y=ax2+bx-a-b（a＜0，a，b 为常数）与 x 轴交于 A，C 两点，与 y 轴交于 点 B，直线 AB 的函数关系式为 8 16 9 3y x  ． （1）求该抛物线的函数关系式与点 C 的坐标． （2）已知点 M(m，0)是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D，E 两点，当 m 为何值时，△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形？ （3）在（2）问条件下，当△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时，动点 M 相应位 置记为点 M′，将 OM′绕原点 O 顺时针旋转得到 ON（旋转角在 0°到 90°之间）． i．探究：线段 OB 上是否存在定点 P（P 不与 O，B 重合），无论 ON 如何旋转， NP NB 始 终保持不变．若存在，试求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由． ii．试求出此旋转过程中，(NA+ 3 4 NB)的最小值． 48 3. 已知抛物线 y=a(x+3)(x-1)（a≠0），与 x 轴从左至右依次相交于 A，B 两点，与 y 轴 相交于点 C，经过点 A 的直线 3y x b   与抛物线的另一个交点为 D． （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与△ABC 相 似，求点 P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点（不含端点），连接 BE．一动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒 2 3 3 个单位的速度运动到点 D 后停止，则当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中 所用时间最少？ 49 4. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 B(-1，0)，D(-2，5)两点，与 x 轴另一交点为 A，点 H 是 线段 AB 上一动点，过点 H 的直线 PQ⊥x 轴，分别交直线 AD、抛物线于点 Q，P． （1）求抛物线的解析式． （2）是否存在点 P，使∠APB=90°？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，说明理 由． （3）连接 BQ，一动点 M 从点 B 出发，沿线段 BQ 以每秒 1 个单位的速度运动到 Q，再沿 线段 QD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 Q 的坐标是多少时，点 M 在整 个运动过程中的用时 t 最少？ 50 备用图 【参考答案】 1. （1）抛物线的表达式为 y=-x2-2x+4； （2）点 G 的坐标为(-2，4)； （3）①此时 E(-2，0)，H(0，-1)； ② 1 2 AM+CM 的最小值为 5 5 2 ． 2. （1）抛物线的函数表达式为 28 40 16 9 9 3y x x    ；C(1，0)； （2）当 m=-4 时，△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形； （3）i．存在，P 点坐标为(0，3)； ii．(NA+ 3 4 NB)的最小值为 3 5 ． 3. （1）抛物线的函数解析式为 23 2 3 3 3y x x    ； （2）点 P 的坐标为(-4， 15 3  )或(-6， 3 7 )； 51 （3）当点 E 的坐标为(1， 4 3 )时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少． 4. （1）抛物线的解析式为 y=x2-2x-3； （2）存在，点 P 的横坐标为1 3 或1 3 ； （3）当点 Q 的坐标为(-1，4)时，点 M 在整个运动过程中的用时 t 最少．