2020-2021学年浙江省高二上学期期中考试数学试题 Word版

1 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学试题 请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置 参考公式： 柱体的体积公式：V Sh （其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高） 锥体的体积公式： 1 3V Sh （其中 S 表示锥体的底面积，表示 锥体的高） 球的表面积公式： 2=4S R （其中 R 表示球的半径） 球的体积公式 ： 34 3V R （其中 R 表示球的半径） 台体的体积公式： 1 1 2 2 1( )3V S S S S h   （其中 1S ， 2S 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 ） 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的． 1.直线l 与平面 不平行，则 A.l 与 相交 B. l C.l 与 相交或 l D.以上结论都不对 2.已知 cba ,, 是三条直线，  ，， 是三个平面，下列命题正确的是 A.若 ,//,//,//  ba 则 ba// B.若 ,,   则  // C.若 ,,   bb 则   D.若 ,//,  cb  则 cb// 3.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为 A. 2 3 B. 4 3 C. 3 3 D. 2 1 4.椭圆 55 22  kyx 的一个焦点是  2,0 ，那么实数 k 2 A. 1 B.1 C. 5 D. 5 5.在正四棱柱 1111 DCBAABCD 中， 2,41  ABAA ，点 FE, 分别为棱 11,CCBB 上的两点，且 11 2 1,4 1 CCCFBBBE  ，则 A. AFED 1 ，且直线 AFED ,1 异面 B. AFED 1 ，且直线 AFED ,1 相交 C. AFED 1 ，且直线 AFED ,1 异面 D. AFED 1 ，且直线 AFED ,1 相交 6.已知椭圆 159 22  yx 的右焦点为 F ，P 是椭圆上的一点，点  32,0A ，当 APF 的周长最大时， 直线 AP 的方程为 A. 323 3  xy B. 323 3  xy C. 323  xy D. 323  xy 7.在四面体 ABCD 中， ABCAD 底面 , 3,1  ABAC ，且  90BAC ， 2AD ，若该四 面体 ABCD 的顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是 A. 28 B. 4 C.  3 28 D. 8 8.把平面图形 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形  称为 图形 在这个平面上的射影.如图，在长方体 EFGHABCD 中， 3,4,5  AEADAB ，则 EBD 在平面 EBC 上的射影的面积 为 A. 34 B. 344 C. 2 413 D. 342 3 9.如图所示，椭圆  214 2 2 2  ay a x 的左，右焦点分别为 21, FF ， 过 1F 的直线交椭圆于 NM , 两点，交 y 轴于点 H ，若 HF ,1 是线段 MN 的三等分点，则 MNF2 的周长为 A. 20 B.10 C. 52 D. 54 10.如图，在长方形 ABCD 中， AD CD ，现将 ACD 沿 AC 折至 1ACD ，使得二面角 BCDA  1 为锐二面角，设直线 1AD 与直线 BC 所成 角的大小为 ，直线 1BD 与平面 ABC 所成角的大小为  ，二面角 BCDA  1 的大小为 ，则 ，  ， 的大小关系是 A．    B．    C．    D．不能确定 第Ⅱ卷（非选择题 共 70 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，其中双空题每小题 4 分，单空题每小题 3 分，共 25 分． 11.已知椭圆C 的焦点在 x 轴上，它的长轴长为 4 ,焦距为 2，则椭圆C 的短轴长为 ▲ ,标准方 程为 ▲ . 12.一圆台的母线长为 20cm，母线与轴的夹角为 30 ，上底面半径为 15cm,则下底面半径为 ▲ ，圆台的高为 ▲ . 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 底面的面积为 ▲ ，体积为 ▲ . 14.已知直三棱柱 111 CBAABC  中， 90ABC   ， 12, 1,AB BC CC   则异面直线 1AB 与 1BC 所成角 4 的正弦值为 ▲ . 15.椭圆 122  nymx 与直线 01 yx 相交于 BA, 两点，C 是线段 AB 的中点，若 22AB ， OC 的斜率为 2 ，则  nm ▲ ,离心率 e ▲ . 16.过椭圆  01: 2 2 2 2  bab y a xC 的右焦点作 x 轴的垂线，交椭圆C 于 BA, 两点，直线l 过C 的 左焦点和上顶点，若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ▲ . 17. 在 四 棱 锥 ABCDP  中 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 ，   90,,60 APDPDPADAB ，平面 PAD 平面 ABCD ，点 Q 是 PBC 内（含边界） 的一个动点，且满足 ACDQ  ,则点 Q 所形成的轨迹长度是 ▲ . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 45 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.已知椭圆的左焦点为  0,3F ，右顶点为  0,2D ，设点 A 的坐标是 .2 11      ， （1）求该椭圆的标准方程； （2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程. 19.已知椭圆 14: 22  yxC 及直线 Rmmxyl  ，: . （1）当 m 为何值时，直线l 与椭圆 C 有公共点； （2）若直线 l 与椭圆C 交于 QP, 两点，且 ,OQOP  O 为坐标系原点，求直线l 的方程. 5 20.如图所示，在直三棱柱 111 CBAABC  中， ABC 是边长为6 的等边三角形， ED, 分别为 BCAA ,1 的中点. （1）证明： 1// BDCAE 平面 ; （2）若 321 CC ，求 DE 与平面 11AACC 所成角的正弦值. 21. 如 图 所 示 ， 在 多 面 体 ABCDE 中 ， ,,// BCACABDE  平 面 DAC 平 面 ,ABC ,,2,42 DCDADEABACBC  点 F 为 BC 的中点. （1）证明： EF 平面 ABC ； （2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60 ，求平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角的正弦值. 6 22.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆  01: 2 2 2 2  bab y a xC 的离心率为 2 1 ，过点  30， ，且 BMN 是椭圆C 的内接三角形. （1）若点 B 为椭圆 C 的上顶点，且原点 O 为 BMN 的垂心，求线段 MN 的长； （2）若点 B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为 BMN 的重心，求原点O 到直线 MN 距离的最小 值. 7 二○二○学年度 第 一 学 期 期中考试高二数学试卷答案 1. C 2.C 3.D 4.B 5.A 6.D 7.D 8.D 9.D 10.B 10.过点 D¢作 D O  平面 ABC ,过点 B 作 BO  平面 ACD ,连接OB . 过O 作O H CD  ,连接 BH ，如图. 则 D BO 为直线 'BD 与平面 ABC 所成角，即 D BO   由 BO  平面 ACD ，则 BO CD  ,又O H CD  ，且 BO O H O    所以 D C  平面 BO H ，则CD BH  所以 BHO 为二面角 'A CD B  的平面角，即 BHO   又 D ABC B AD CV V   ,即 1 1 3 3ABC AD CS OD S O B     △ △ 且 1 2AD C ABCDS ABC S S  矩形△△ . 所以 BO D O  . 由sin ,BOBHO BH   sin D OD BO BD    ，由 BH BD 所以sin BHO  sin D BO ，即 BHO  D BO ，也即  . 又在平面 AD C 内， ,AD D C O H D C     ,所以 / /AD O H  . 所以 等于直线O H 与 BC 所成的角 BHO 也为直线O H 与平面 BCD 所成的角. 8 根据上面已证的最小角定理有 BHO   . 所以    故选：B 11. 13432 22  yx， 12. 310,25 13.2，4 14. 5 15 15. 2 2 11 3 ， 16.       5 50， 17. 3 52 18.     14 142 12,141 22 2 2            yxyx 19.   5 10 2 5,2 51       xy， 20.     20 10321 略， 21.     4 1321 略， 22.     2 327 3341 ，