1
定远县育才学校 2020-2021 学年高二上学期第二次月考
文科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 AC，且四边形 ABCD 是矩形，则该四棱锥的四个侧面
中是直角三角形的有( )
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
2.由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真
的是( )
A．p：3 为偶数；q：4 是奇数
B．p：3＋2＝6；q：5＞3
C．p：a∈{a，b}；q：{a} {a，b}
D．p：Q R；q：N＝N
3.已知圆 x2＋y2－2x－4y＋a＝0 上有且仅有一个点到直线 3x－4y－15＝0 的距离为 1，则实数 a 的
取值情况为( )
A． B． －4 C． －4 或－20 D． －11
4.已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )
A． 9 B． 9 ＋ C． 12 D． 12
5.已知命题 p：2 是偶数，命题 q：2 是 3 的约数，则下列命题为真的是( )
A．p∧q B．p∨q C． ¬p D． (¬p)∧(¬q)
6.直线 x＋2ay－1＝0 与(a－1)x－ay＋1＝0 平行，则 a 的值为( )
A． B．或 0 C． 0 D． －2 或 0
2
7.直线 2x＋3y＋6＝0 关于直线 y＝x 对称的直线方程是( )
A． 3x＋2y＋6＝0 B． 2x－3y＋6＝0
C． 3x＋2y－6＝0 D． 3x－2y－6＝0
8.如图所示，PO⊥平面 ABC，BO⊥AC，在图中与 AC 垂直的线段有( )
A． 1 条 B． 2 条 C． 3 条 D． 4 条
9.若直线 3x－4y＋12＝0 与两坐标轴的交点为 A、B，则以 AB 为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＋4x－3y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0
D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0
10.用平面去截一个正方体，截面的形状可以是( )
A． 三角形、正方形、长方形、梯形
B． 三角形、四边形、五边形
C． 三角形、四边形、五边形、六边形
D． 三角形、四边形、五边形、六边形、七边形
11.要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头
的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
12.如图，四棱锥 S－ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面 SCD
C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角
3
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.正方体中，连接相邻两个面的中心可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为 1，则这个
美丽的几何体的体积为________．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 x＝ 与直线 x＝m 有且只有一个公共点，则实数 m＝
______.
15.已知直线 y＝x＋b 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，如果
△
AOB 的面积(O 为坐标原点)不大于
1，那么 b 的取值范围是________．
16.如图，圆锥的底面圆直径 AB 为 2，母线长 SA 为 4，若小虫 P 从点 A 开始绕着圆锥表面爬行一
圈到 SA 的中点 C，则小虫爬行的最短距离为________．
三、解答题(本大题共 6 小题分,共 70 分)
17.（10 分）已知 p：实数 x 满足(x＋1)(x－1)≤0；q：实数 x 满足(x＋1)[x－(3m－1)]≤0(m＞0)．若 p
是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
18.（12 分）一个空间几何的三视图及部分数据如图(1)所示，直观图如图(2)所示.
(1)求它的体积；
(2)证明：A1C⊥平面 AB1C1；
(3)若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上取中点 E，判断 DE 是否平行于平面 AB1C1，并证明你的结论.
图(1)
4
图(2)
19.（12 分）如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，且 AB＝
2CD，在棱 AB 上是否存在一点 F，使平面 C1CF∥ADD1A1？若存在，求点 F 的位置，若不存在，
请说明理由.
20.（12 分）如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝
60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE.
如图，在四棱锥 C－ABED 中，四边形 ABED 是正方形，G，F 分别是线段 EC，BD 的中点.
5
(1)求证：GF∥平面 ABC；
(2)若点 P 为线段 CD 的中点，平面 GFP 与平面 ABC 有怎样的位置关系？并证明.
22.（12 分）已知以点 C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其
中 O 为原点.
(1)求证：
△
OAB 的面积为定值；
(2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程.
6
答案解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B B D B B A D A C B D
1.D
【解析】∵PA⊥平面 AC，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，
∴△PAD，
△
PAB 为直角三角形．
又∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB⊥BC，结合 PA⊥BC，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面 PAB，
又∵PB
⊂
平面 PAB，
∴BC⊥PB，
∴△PBC 为直角三角形，
同理，
△
PCD 也为直角三角形．故选 D.
2.B
【解析】可用排除法，因为“¬p”为真，故 C，D 错；因为“p∨q”为真，故 A 错．
3.B
【解析】化圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，由题易知直线与圆相离，则有 －
＝1，解得 a＝－4，故选 B.
4.D
【解析】由侧视图可知三棱锥的高为 2 ，
底面三角形的高为 3，设底面正三角形的边长为 a，
由 a＝3，解得 a＝2 .
所以侧棱长为 ＝2 ，
所以正三棱锥是正四面体，
所以该三棱锥的表面积为 4× ×(2 )2＝12 .
5.B
【解析】∵p 真 q 假，∴p∨q 真.
6.B
【解析】当 a＝0 时，两直线平行；
当 a≠0 时，由 ，
7
得 a＝，综合可得，a＝或 0，
故选 B.
7.A
【解析】把直线方程 2x＋3y＋6＝0 中的 x 换成 y，同时把直线方程 2x＋3y＋6＝0 中的 y 换成 x，即
可得到直线 2x＋3y＋6＝0 关于直线 y＝x 对称的直线方程．
故直线 2x＋3y＋6＝0 关于直线 y＝x 对称的直线方程为 3x＋2y＋6＝0.故选 A.
8.D
【解析】∵PO⊥平面 ABC，AC
⊂
平面 ABC，
∴PO⊥AC，
又∵AC⊥BO，PO∩BO＝O，
∴AC⊥平面 PBD，
因此，平面 PBD 中的 4 条线段 PB、PD、PO、BD 都与 AC 垂直．故选 D.
9.A
【解析】由 x＝0，得 y＝3，由 y＝0，得 x＝－4，
∴A(－4,0)，B(0,3)，
∴以 AB 为直径的圆的圆心是(－2，)，半径是 r＝ ＝，
∴以 AB 为直径的圆的方程是(x＋2)2＋(y－)2＝ ，
即 x2＋y2＋4x－3y＝0，故选 A.
10.C
【解析】用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形(梯形，矩形，正方形)、五边形、
六边形，只有 C 选项，符合题意．故选 C.
11.B
【解析】因为龙头的喷洒面积为 36π≈113，
正方形面积为 256，故至少三个龙头．由于 2R＜16，
故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水．
当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，
由于 2R＝12＞8 ，故可以保证整个草坪能喷洒到水．故选 B.
8
12.D
【解析】∵SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，
∴连接 BD，则 BD⊥AC，
根据线面垂直的定义，可得 AC⊥SB，故 A 正确；
∵AB∥CD，AB
⊄
平面 SCD，CD
⊂
平面 SCD，
∴AB∥平面 SCD，故 B 正确；
设 AC 与 BD 的交点为 O，则 AC⊥平面 BSD.
则∠ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角，
∠CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角，
而
△
SAD≌△SCD，
∴SA＝SC，
∴SO 为∠ASC 的角平分线，
即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确；
∵AB∥CD，∴AB 与 SC 所成的角是∠SCD，DC 与 SA 所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故 D 不正确．故选 D.
13.
【解析】∵正方体的棱长是 1，
构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，
以上面一个正四棱锥为例，
它的高等于正方体棱长的，
正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 ，
∴这个正四棱锥的体积是× × ×＝ ，
∴构成的八面体的体积是 2× ＝，故答案为.
14.2
【解析】由题意，曲线 x＝ 为以原点 O(0,0)为圆心，2 为半径的半圆(y 轴右侧)与直线 L：x
＝m(L∥y 轴)有且只有一个公共点，∴m＝2.
15.[－1,0)∪(0,1]
9
【解析】令 x＝0，得 y＝b，
令 y＝0，得 x＝－2b，
∵△AOB 的面积(O 为坐标原点)不大于 1，
∴△AOB 的面积 S＝|b|×|－2b|＝|b|2≤1，
∵b＝0 时，A、O、B 三点重合，构不成三角形，
∴b≠0，
∴－1≤b＜0 或 0＜b≤1.
16.2
【解析】由题意知底面圆的直径 AB＝2，
故底面周长等于 2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2π＝ ，
解得 n＝90，
所以展开图中∠PSC＝90°，
根据勾股定理求得 PC＝2 ，
所以小虫爬行的最短距离为 2 .
17.由(x＋1)(x－1)≤0，得－1≤x≤1，
即 p：－1≤x≤1，
由(x＋1)[x－(3m－1)]≤0(m＞0)，
得－1≤x≤3m－1(m＞0)，
即 q：－1≤x≤3m－1(m＞0)，
由 p 是 q 的充分不必要条件，
得 即 m>，
所以实数 m 的取值范围为 .
20.证明 (1)在四棱锥 P—ABCD 中，
∵PA⊥底面 ABCD，CD
⊂
平面 ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC
⊂
平面 PAC，
10
∴CD⊥平面 PAC.
而 AE
⊂
平面 PAC，∴CD⊥AE.
(2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA.
∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，PC，CD
⊂
平面 PCD，
∴AE⊥平面 PCD.
而 PD
⊂
平面 PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A，PA，AD
⊂
平面 PAD，
∴AB⊥平面 PAD，而 PD
⊂
平面 PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE
⊂
平面 ABE，
∴PD⊥平面 ABE.
22.(1)证明 ∵圆 C 过原点 O，且|OC|2＝t2＋ .
∴圆 C 的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋ ，
令 x＝0，得 y1＝0，y2＝；
令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t，
∴S
△
OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，
即
△
OAB 的面积为定值.
(2)解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC 垂直平分线段 MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴＝t，解得 t＝2 或 t＝－2.
当 t＝2 时，圆心 C 的坐标为(2,1)，|OC|＝ ，
此时 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝ < ，
圆 C 与直线 y＝－2x＋4 相交于两点.
当 t＝－2 时，圆心 C 的坐标为(－2，－1)，|OC|＝ ，
此时 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝ > .
圆 C 与直线 y＝－2x＋4 不相交，
∴t＝－2 不符合题意，舍去.
∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
11
微信/支付宝扫码支付