2020-2021学年安徽省肥东县高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

1 肥东县高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数 学（理）试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.直线 1 : 2l y x 与直线 2 : 0l ax by c   （ 0abc  ）相互垂直，当 , ,a b c 成等差数列时， 直线 1 2,l l 与 y 轴围成的三角形的面积 S  （ ） A. 9 20 B. 9 10 C. 9 5 D. 2 3 2.若圆 2 2 2 2 1 0x y x y     的面积被直线 1 0ax by   （ 0a  ， 0b  ）平分，则 ab 的最大值是（ ） A. 1 16 B. 1 4 C. 4 D. 16 3.若执行下面的程序框图，则输出的 值是（ ） A． 2 B． 3 1 C． 2 3 D． 2 4.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 ,m n ，记 t m n  ，则下列说法正确 的是（ ） 2 A. 事件“ 12t  ”的概率为 1 21 B. 事件“ t 是奇数”与“ m n ” 互为对立事件 C. 事件“ 2t  ”与“ 3t  ”互为互斥事件 D. 事件“ 8 32t mn 且 ”的概率为 1 4 5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，图 2 是某城市 1 月至 8 月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级， 一级空气质量最好，一 级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ） ①1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有 5 个 ②第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 ③8 月是空气质量最好的一个月 ④6 月份的空气质量最差 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 6.设定点  1 0, 3F  、  2 0,3F ，动点 P 满足  1 2 9 0PF PF a aa     ，则点 P 的轨迹是 （ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段 7.设命题 : 0p x  ， 2log 2 3x x  ，则 p 为（ ） A. 0x  ， 2log 2 3x x  B. 0x  ， 2log 2 3x x  C. 0x  ， 2log 2 3x x  D. 0x  ， 2log 2 3x x  8.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 ,a b ,则椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率 3 2e  的概率是( ) A. 1 18 B. 5 36 C. 1 6 D. 1 3 3 9.已知两圆    2 22 2 1 2: 4 169, : 4 9C x y C x y      ，动圆在圆 1C 内部且和圆 1C 相内 切，和圆 2C 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ） A. 2 2 164 48 x y  B. 2 2 148 64 x y  C. 2 2 164 48 x y  D. 2 2 148 64 x y  10.设 P 为椭圆 2 2 19 4 x y  上的一点， 1 2,F F 是该椭圆的两个焦点，若 1 2: 2:1PF PF  ， 则 1 2PF F 的面积为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 11.如图，设椭圆 2 2 2 2: 1x yE a b   （ 0a b  ）的右顶点为 A ，右焦点为 F ， B 为椭圆 E 在第二象限上的点，直线 BO 交椭圆 E 于点C ，若直线 BF 平分线段 AC 于 M ，则椭圆 E 的离心率是（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 12.下列结论错误的是（ ） A．命题“若 p ，则 q ”与命题“若 q ，则 p ”互为逆否命题 B．命题  :" 0,1 ,1 xp x e e    （ e 是自然对数的底数），命题 2:" , 1 0"q x R x x     ， 则 p q 为真 C．“ 2 2am bm ”是“ a b ”成立的必要不充分条件 D．若 p q 为假命题，则 p q、 均为假命题 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 4 13.若圆    2 2: 2 4( 0)C x a y a     被直线 : 3 0l x y   截得的弦长为 2 3 ，则 a __________． 14.袋中有 20 个大小相同的球,其中标号为 0 的有10个,标号为  1,2,3,4n n  的有 n 个.现 从袋中任取一球,  表示所取球的标号.若  2, 1a E     ,则  D  的值为_____. 15.椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a  0b  ）的左、右焦点分别是 1 2F F， ，过 2F 作倾斜角为120 的直 线与椭圆的一个交点为 M ，若 1MF 垂直于 2MF ，则椭圆的离心率为 ． 16.下列命题中，假命题的序号有__________． （1）“ 1a   ”是“函数    2 1f x x x a x R     为偶函数”的充要条件； （2）“直线l 垂直平面 a 内无数条直线”是“直线l 垂直平面 a ”的充分条件； （3）若 0xy  ，则 0x y  ； （4）若 2 0 0 0: , 2 2 0p x R x x     ，则 2: , 2 2 0p x R x x      . 三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17.已知直线    : 1 2 3 6 0m a x a y a      ， : 2 3 0n x y   . （1）当 0a  时，直线l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程； （2）若坐标原点O 到直线 m 的距离为 5 ，判断 m 与 n 的位置关系. 18. （10 分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，当价格 35x  元 /kg 时，日需求量 y 的预测值为多少？ 参考公式：线性归回方程： ˆy bx a  ，其中      5 1 5 2 1 i ii ii x x y y b x x         ， a y bx  19.（12 分）已知  f x x ，   1g x x  ． （1）若 x 是从区间 3,4 上任取的一个实数， 2y  ，求满足    | 1f x g y  的概率． （2）若 x 、 y 都是从区间 0,4 上任取的一个实数，求满足    2 2 1f x g y  的概率． 5 20. （12 分）设命题 2 1: 01 cp c   ，命题 q ：关于 x 不等式  22 1x x c   的解集为 R . （1）若命题 q 为真命题，求实数 c 的取值范围； （2）若命题 p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题，求实数 c 的取值范围. 21.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知    3,0 , 3,0A B ，动点 M 满足 1MA MB   ， 记动点 M 的轨迹为 C . （1）求C 的方程； （2）若直线 : 4l y kx  与C 交于 ,P Q 两点，且 6PQ  ，求 k 的值. 22. （12 分）已知圆 2 2: 4O x y  恰好经过椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的两个焦点和 两个顶点. （1）求椭圆C 的方程； （2）经过原点的直线l (不与坐标轴重合)交椭圆C 于 ,A B 两点， AM x 轴，垂足为 M ， 连接 BM 并延长 BM 交椭圆C 于 N ，证明：以线段 BN 为直径的圆经过点 A . 6 参考答案 1. A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C 9.C 10.C 11.B 12.C 13. 2-1 14.11 15. 3 1 16.（2）（3） 17.（1）3 7 0x y  或 12 0x y   ；（2） / /m n 或 m n 【解析】（1）联立 3 6 0{ 2 3 0. x y x y        ， 解得 21,{ 9, x y     即 m 与 n 的交点为（021，-9）. 当直线l 过原点时，直线l 的方程为 3 7 0x y  ； 当直线l 不过原点时，设l 的方程为 1x y b b   ，将（-21，-9）代入得 12b   ， 所 以 直 线 l 的 方 程 为 12 0x y   ， 故 满 足 条 件 的 直 线 l 方 程 为 3 7 0x y  或 12 0x y   . （2）设原点O 到直线 m 的距离为 d ， 则    2 2 6 5 1 2 3 ad a a       ，解得： 1 4a   或 7 3a   ， 当 1 4a   时，直线 m 的方程为 2 5 0x y   ，此时 / /m n ； 当 7 3a   时，直线 m 的方程为 2 5 0x y   ，此时 m n . 18.（1）所求线性回归方程为 0.32 14.ˆ 4y x   （2）价格 35x  元/ kg 时，日需求量 y 的预测值为3.2kg 【解析】（1）依据题设运用平均数公式分别算出  1 10 15 20 25 30 205x       ,  1 11 10 8 6 5 85y       ,然后再算出       5 2 2 2 2 2 2 1 10 5 0 5 10 250i i x x           , 及    5 1 i i i x x y y          10 3 5 2 0 0 5 2 10 3 80               .进而求出 7      5 1 5 2 1 80 0.32250 i ii ii x x y y b x x            . 代入回归方程求出 8 0.32 20 14.4a y bx      . 最终求出线性回归方程为 0.32 14.ˆ 4y x   .（2）依 据（1）的结论直接将 35x  代入回归方程 0.32 14.ˆ 4y x   求得, 0.32 35 14. 3ˆ 4 .2y      ，即当价格 35x  元/ kg 时，日需求量 y 的预测值为3.2kg. 解: (1)由所给数据计算得  1 10 15 20 25 30 205x       ,  1 11 10 8 6 5 85y       ,       5 2 2 2 2 2 2 1 10 5 0 5 10 250i i x x           ,    5 1 i i i x x y y          10 3 5 2 0 0 5 2 10 3 80               .      5 1 5 2 1 80 0.32250 i ii ii x x y y b x x            . 8 0.32 20 14.4a y bx      . 所求线性回归方程为 0.32 14.ˆ 4y x   . (2)由(1)知当 35x  时, 0.32 35 14. 3ˆ 4 .2y      故当价格 35x  元/ kg 时，日需求量 y 的预测值为3.2kg. 19.（1） 3 7P  （2） 32  【解析】（1）由     1f x g y  知 1 1x y y    ， 所以 2x  ， 因为 3 4x   ，即所有基本事件构成的线段长度为 7. 设“满足    | 1f x g y  ”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件构成的线段长度为 3， 由几何概型概率公式得   3 7P A  . 8 所以满足     1f x g y  的概率为 3 7P  ． （2）由    2 2 1f x g y  知  22| | 1 1x y   ， 得  22 1 1x y   ， 因为 0 4x  ， 0 4y  ，故所有基本事件构成的平面区域的面积为为 16. 设“满足    2 2 1f x g y  ”为事件 B，则事件 B 包含的基本事件构成的区域的面积为 21 12 2    ， 由几何概型概率公式得   2 16 32P B    。 所以满足    2 2 1f x g y  的概率为 32P  ． 20.（1）当 q 为真时， 5 8c  ；（2） c 的取值范围是  1 5, 1,2 8       。 【解析】（1）当 q 为真时， ∵不等式  22 1x x c   的解集为 R ， ∴当 x R 时，    2 24 1 4 1 0x c x c     恒成立. ∴    2 24 1 4 4 1 0c c       ，∴ 8 5 0c   ∴当 q 为真时， 5 8c  （2）当 p 为真时， ∵ 2 1 01 c c   ，∴当 p 为真时， 1 12 c  ； 当 q 为真时， 5 8c  ， 由题设，命题 p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题， p 真 q 假可得， 1 5 2 8c  p 假 q 真可得 1 2c  或 1c  综上可得 5 8c  或 1c  则 c 的取值范围是  1 5, 1,2 8       . 9 21.（1） 2 2 10x y  （2） 15k   【解析】（1）设点 M 的坐标为 ,x y ， 则    3 , , 3 ,MA x y MB x y        ， 所以 2 29 1MA MB x y      ，即 2 2 10x y  ， 所以C 的方程为 2 2 10x y  ，. （2）由（1）知 C 为圆心是  0,0 ，半径是 10 的圆， 设 0,0 到直线l 的距离为 d ，则 2 4 1 d k   ， 因为 22 10 6PQ d   ， 所以 1d  ， 由点到直线的距离公式得 2 4 1 1k   ， 解得 15k   . 22. 【解析】（1）由题意可知， 2b c  ， 2 2 2 2a b c   ， 所以椭圆C 的方程为 2 2 18 4 x y  . （2）证明：设直线l 的斜率为  0k k  ，   0 0 0, 0A x y x  ，在直线l 的方程为 y kx ，    0 0 0, , ,0B x y M x  . 直线 BM 的斜率为 0 0 0 02 2 2 y kx k x x     ，所以直线 BM 的方程为  02 ky x x  ， 联立   2 2 0 18 4{ 2 x y ky x x     得 2 2 2 2 2 0 02 2 16 0k x k x x k x     ， 记 ,B N 横坐标分別为   , , ,B B N Nx y x y .由韦达定理知: 2 0 0 2 2 2B N N k xx x x x k       , 10 所以 2 0 02 2 2N k xx xk   ，于是 2 0 2 2N k xy k   ， 所以直线 AN 的斜率为 2 0 020 2 00 2 12 2 2 N N k x kxy y k k xx x k k      ， 因为 1 1k k        .所以 AN BN ， 所以以线段 BN 为直径的圆一定经过点 A .