2021～2022 学年上学期 10 月月考高二年级
数学试卷
说明：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）
页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。
2、本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。答题卡不
要折叠
2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。
3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，1-8 题只有一
项是符合题目要求的，9,10，11，12 题为多选题,漏选得 2 分。
1．若平面 的法向量分别为 ， ，，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．－
2.已知直线 与直线 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3.在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为 的中点，若 ，
， ，则用基底 表示向量 为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为 ，点 是棱 的中点，点 是正
方体的面 上一点，且 ，则点 满足方程（ ）
A． B．
C． D．
5. 若直线 与以 ， 为 端点
的线段有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7.设定点 , 是 轴上的动点， 是直线 上的动点，则 周长的最小值
（ ）
A． B． C． D．
8.在四棱锥 中， ．则这个四棱锥
的高 （ ）
A．1 B．2 C．13 D．26
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
10. （多选）如果 ，且 ，那么直线 通过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11．（多选）某同学在研究函数 的最值时，联想到两点间的距离公式，
从而将函数变形为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 的最小值为 B．函数 的最小值为
C．函数 没有最大值 D．函数 有最大值
12．（多选）如图，直四棱柱 中，底面 为平行四边形，
， ，点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），点 是半
圆弧 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体 的体积是定值
B． 的取值范围是
C．若 与平面 所成的角为 ，则
D．若三棱锥 的外接球表面积为 ，则
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分.
13.过点 且与直线 平行的直线方程为_______.
14.已知空间向量 满足 ， ，则 的值
为________．
15.已知直线 的斜率为 ，与 的正半轴有交点且与坐标轴所围成的
三角形的周长是 30，则直线 的方程为______．
16．已知 ， ， 是空间单位向量，且满足 ，若向量，
，则 在 方向上的投影数量的最大值为___________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
已知 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
18．（本小题满分 12 分）
已知直线
（1）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的
方程；
（2）当 点到直线 的距离最大时，求直线
的方程．
19.（本小题满分 12 分）
已知三条直线 相交于同一点 ．
（1）求实数 的值；
（2）求点 关于直线 的对称点 的坐标．
20.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 中， 是边长为 的正三角形， ，平面
平面 ， 是线段 的中点，__________.请从下面两个条件中只任选一个，补充在上
面的横线上，并作答.① ；② 与平面 所成的角为 .
（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 余弦值.
21.（本小题满分 12 分）
在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ， 为
中点．
（1）如果 ，求证： 面；
（2）当 与平面 所成角的正弦值最大时，
求三棱锥 的体积 ．
22．（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P－ABCD，
△
PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥
AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，E 为 PD 的中点．
（1）证明 ；
（2）求直线 到平面 的距离.
参考答案
1-5 BBBDC 6-8ABB 9.AC 10.ABD 11.BC 12.BCD
13. 14.-13 15. 16.
17.【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由已知可得 ， ，
．
（2） ， ，
即 ，解得 ．
18.．（1）x+y+2=0 或 3x+y=0；（2）x-3y-10=0．
【详解】
（1）依题意得，a+1≠0．
令 x=0，得 y=a-2；令 y=0，得 x= ．
∵直线 l 在两坐标轴上的截距相等，
∴a-2= ，化简，得 a(a-2)=0，
解得 a=0 或 a=2．
因此，直线 l 的方程为 x+y+2=0 或 3x+y=0．
（2）直线 l 的方程可化为 a(x-1)+x+y+2=0．
令 解得 因此直线 l 过定点 A(1，-3)．
由题意得，OA⊥l 时，O 点到直线 l 的距离最大．
因此，kl= = ，∴直线 l 的方程为 y+3= (x-1)，即 x-3y-10=0．
19．（1）3；（2） ．
（1）解方程组 ，得交点 ．
将点 的坐标代入直线 l3：2x+my﹣8＝0 的方程，得
m＝3．
（2）法一：设点 N 的坐标为（a，b），则由题意可
，
解得 ，所以所求对称点 N 的坐标 ．
法二：由（1）知 ，
所以过点 M 且与 x-3y-5＝0 垂直的直线方程为：y-2＝-3(x-1)，即 3x+y-5＝0．
解方程组 ，得交点为 H ，
因为 M，N 的中点为 H，所以， ．
所以所求对称点 N 的坐标 ．
20.选①（1） ，（2） ；选②（1） ，（2） .
【详解】选① ，
（1） 是边长为 的正三角形， 是线段 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图：以 的中点 为原点，以过点 垂直于 的直线为 轴，以 所在的直线为
轴， 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 与 所成角的余弦值为 ，
（2） ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 令 ，则 ， ，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
因由图知 为锐角，所以余弦值为 ，
二面角 的余弦值为 .
选②： 与平面 所成的角为 .
因为平面 平面 ，且 与平面 所成 角为 ，
则 ，因为 ，所以 ，
因为 是线段 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以以 的中点 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴， 所
在的直线为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
则 ， ，
，
所以 与 所成角的余弦值为 ，
（2） ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 令 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以平面 的一个法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
因由图知 为锐角，所以余弦值为 .
所以二面角 的余弦值为 .
21.【详解】
（1）∵PD⊥平面 ABCD，PD
⊂
平面 PCD，∴平面 PCD⊥平面 ABCD，∵底面
ABCD 是正方形，∴AD⊥DC，
又 AD
⊂
平面 ABCD，平面 PCD∩平面 ABCD＝CD，∴AD⊥平面 PCD，得 AD⊥PC，
∵PD＝DC＝4，M 为 PC 的中点，∴DM⊥PC，而 AD∩DM＝D，∴PC⊥平面 MAD；
（2）设 DP＝2t，以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直
角坐标系，
则 D（0，0，0），B（4，4，0），P（0，0，2t），M（0，2，t），
＝（4，4，0）， ＝（0，2，t）， ，设平面 MBD 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 y＝﹣1，得 ，
∴BP 与平面 MBD 所成角的正弦值为|cos＜ ＞|＝ ＝
（当且仅当 ，即 t＝2 时等号成立）．
∴三棱锥 D﹣MBC 的体积 ．
22.(建系方法不唯一)设 AD 的中点为 O，连接 OB，OP．∵△PAD 是以
AD 为斜边的等腰直角三角形， ∴OP⊥AD．∵BC＝1
2AD＝OD，且 BC
∥OD，
∴四边形 BCDO 为平行四边形，又∵CD⊥AD，∴OB⊥AD，∵
OP∩OB＝O，∴AD⊥平面 OPB．过点 O 在平面 POB 内作 OB 的垂线
OM，交 PB 于 M，
以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OM 所在直线为 z 轴，建立
空间直角坐标系，如图．则有 A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)．设
P(x，0，z)(z>0)，由 PC＝2，OP＝1，得 (x－1)2＋1＋z2＝4，
x2＋z2＝1，
得 x＝－1
2
，z＝ 3
2
．即
点 P
－1
2
，0， 3
2 ，而 E 为 PD 的中点，∴E
－1
4
，1
2
， 3
4 ．
(2) 可证直线 与平面 平行，所以直线 到平面 的距离等于 到平面
的距离
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