甘肃省嘉峪关市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试卷（Word版含答案）

嘉峪关市 2020-2021 学年第二学期期末考试 高二数学试卷（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分；满分 150 分， 时间 120 分钟. 第 I 卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合  ( ) |, 1A x y y x   ，集合  2 , 0|B y y x x   ,则 A B  （ ） A.  1,2 B.   1,2 C.  1,2 D.  2. 设 1 1z ii   ，则 z =（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 2 3. “ 1sin 2x  ”是“ 2 ( )6x k k Z   ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ( )f x 在 R 上是奇函数，且 ( 4) ( )f x f x  ，当 (0,2)x 时， 2( ) 2f x x ，则 (7)f  （ ） A. -2 B. 2 C. -98 D. 98 5．直线 2 1 0x ay   与 01)1(  ayxa 平行，则 a 的值为（ ） A． 1 2 B． 1 2 或 0 C．0 D．－2 或 0 6. 如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E，F 分别是 1 1AB BC， 的 中点，则异面直线 EF 与 1C D 所成的角为（ ） A. 30° B. 45 C. 60 D. 90 7. 数列 1 1 1 1 11 ,3 ,5 ,7 , ,(2 1) ,2 4 8 16 2nn   的前 n 项和 nS 的值等于 （ ） A. 2 11 2nn   B. nn 2 112n 2  C. 2 1 11 2nn   D. 2 11 2nn n   8. 设向量 ,a b   满足 1a b a b       ，则  a tb t R   的最小值为（ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 1 D. 2 9. 直线3 4x y b  与圆 2 2 2 2 1 0x y x y     相切，则b  （ ） A. -2 或 12 B. 2 或-12 C. -2 或-12 D. 2 或 12 10. 不等式 042  axax 的解集为 R，则 a 的取值范围是 （ ） A. 016  a B. 16a C. 016  a D. 0a 11. 设 sin1a  , 12sin 2b  ， 13sin 3c  ，则（ ） A. a c b  B. a b c  C. c a b  D. c b a  12. 在外接球半径为 4 的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高 h （ ） A. 14 3 B. 13 4 C. 7 2 D. 16 3 第 II 卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13. 曲线 2 1y x x   在点（1，2）处的切线方程为______________． 14. 双曲线 2 2 14 2  y x 的渐近线方程是__________. 15. 若 2 2 cosa xdx     ，则二项式 41  a x x     的展开式中的常数项为______． 16. 函数 0.5( ) 2 log 1xf x x  的零点个数为__________. 三、解答题：（共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分 10 分） 已知等比数列 na 是递减数列，且满足 3 4a  ， 2 4 17a a  ． （1）求数列 na 的通项公式; （2）设 2logn nb a ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，求 nS 的最大值及取得最大值时 n 的值． 18．(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) cos( )( 0)f x x   的最小正周期为 . （1）求 的值及函数 ( ) 3 ( ) ( ), [0, ]4 2g x f x f x x     的值域； （2）在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对应的边长分别为 a ，b ， c ，若 0, 2A     ， 1( ) 2f A   ， ABC 的面积为3 3 ， 2b c  ，求 a 的值. 19. (本小题满分 12 分) 如图①，在菱形 ABCD 中， 60A   且 2AB  ， E 为 AD 的中点．将 ABE△ 沿 BE 折 起使 2AD  ，得到如图②所示的四棱锥 A BCDE ． （1）求证： BC  平面 ABE ． （2）若 Р 为 AC 的中点，求三棱锥 B PCD 的 体积． 20. (本小题满分 12 分) 某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽 取 100 名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示. （1）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意任取 2 人，求至 少有 1 名男生的概率． 21. (本小题满分 12 分) 已知直线 : 1l y kx  过抛物线  2: 2 0E x py p  的焦点，且与抛物线 E 交于 A 、 B 两 点，点 M 为 AB 中点. （1）求抛物线 E 的方程； （2）以 AB 为直径的圆与 x 轴交于C 、D 两点，求 MCD△ 面积取得最小值时直线l 的方程. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ln 3,f x x ax a R    . （1）当 1a  时，求函数 ( )f x 的极值； （2）求函数 ( )f x 的单调区间； （3）若 ( ) 0f x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 数学试卷（理科）答案 一、选择题 : D B B A A C A A D A B D 二、填空题：13. 1y x  14. 2y x  15. 24 16. 2 17.【答案】（1） 44 n na  ；（2）当 3n  或 4 时， nS 取最大值 12． 18．（1） 2  ；值域为[ 1,2] ；（2）4. 解：（1）因为函数 ( ) cos( )f x x 的最小正周期为 ， 由 2 ,| | 2| |T      ， 又因为 0 所以 2  . 此时 ( ) cos2f x x ，则得 ( ) 3 cos2 cos24g x x x      ， 即 ( ) 3sin 2 cos2g x x x  ，即 ( ) 2sin 2 6g x x      当 0, 2x     时， 52 ,6 6 6x         ， 2sin 2 [ 1,2]6x       ， 所以所求函数的值域为[ 1,2] . （2）由题意得 1cos2 2A   因为 0, 2A     则得 2 (0, )A  ，所以 22 3A  ，解得 3A  因为 ABC 的面积为 3 3 ，则得 1 sin 3 32 bc A  ，即 1 sin 3 32 3bc   ， 即 12bc  . 又因为 2b c  ， 由余弦定理，得 2 2 2 2 22 cos ( )a b c bc A b c bc b c bc         22 12 4   所以 4a  . 19.【答案】（1）证明见解析；（2） 3 6 ． 20.【答案】（1）男 30 人，女 45 人（2） 7 10 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可； （2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个 数，从而求出满足条件的概率即可． 【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为  100 0.01 0.02 10 30    人， 女生优秀人数为  100 0.015 0.03 10 45    人； （2）因为样本容量与总体中的个体数的比是 5 1 30 45 15  ， 所以样本中包含男生人数为 130 215   人，女生人数为 145 315   人． 设两名男生为 1A ， 2A ，三名女生为 1B ， 2B 3B ． 则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为：  1 2,A A ， 1 1,A B ， 1 2,A B ， 1 3,A B ， 2 1,A B ， 2 2,A B ， 2 3,A B ， 1 2,B B ， 1 3,B B ，  2 3,B B 共 10 个， 记事件C ：“选取的 2 人中至少有一名男生”， 则事件C 包含的基本事件有：  1 2,A A ， 1 1,A B ， 1 2,A B ， 1 3,A B ， 2 1,A B ， 2 2,A B ， 2 3,A B 共 7 个． 所以   7 10P C  ． 【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题． 21.【答案】（1） 2 4x y ；（2） 1y  . 22.【答案】(1) 函数 ( )f x 的极大值为 (1) 2f  ，无极小值；(2) 当 0a  时， ( )f x 在 (0, ) 是增函数；当 0a＞ 时， ( )f x 在 1(0, )a 是增函数，在 1( , )a  是减函数;(3) 实数 a 额取值范 围为 2[ , )e  .