10.3.1 平行线的性质

第10章 相交线、平行线与平移 1 Ø 两直线平行，同位角相等 Ø 两直线平行，内错角相等 Ø 两直线平行，同旁内角互补 2 作业 提升 逐点 导讲练 课堂 小结 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁 内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果两 条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什 么关系呢？这就是我们下面要学习的平行线的性质. 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条 直线平行时.它们被第三条直线截得的同位角的关系. 1 知1－导 观察 如图，练习本上的横线都是相 互平行的，从中任选两条分别记为 AB，CD；画一条直线EF分别与 AB, CD相交得8个角. 知1－导 (来自《教材》) (1)任选一对同位角(如∠1与∠5)，量一量它们的度 数，它们的大小有什么关系？ (2)再任选一对同位角(如∠2与∠6)， 量一量 它们的度数，它们的大 小有什么关系？ 由此你能得到什么结论？ 知1－导 (来自《教材》) 平行线有如下性质： 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位 角相等. 简单地说，两直线平行，同位角相等. 知1－讲 (来自《点拨》) 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位 角相等． 简称：两直线平行，同位角相等． 表达方式：如图，因为a∥b(已知)， 所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)． 知1－讲要点精析： (1)两直线平行是前提，只有在这个前提下才有同 位角相等． (2)平行线的判定与平行线的性质的区别： ①平行线的判定是根据两角的数量关系得到两 条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两 条直线的位置关系得到两角的数量关系； 知1－讲 ②平行线的判定的条件是平行线的性质的结论， 而平行线的判定的结论是平行线的性质的条 件． 2. 易错警示：误认为非平行线的同位角也相等． 知1－讲 如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝ 70°，则∠2的大小是(　　) A．20°　　　B．50°　　　 C．70°　　　D．110° 例1 C 知1－讲 (来自《点拨》) 导引：观察图形可以把求∠2转化为求∠2的对顶角来 解，因为∠2的对顶角与∠1是同位角，而直线 a∥b，所以∠2＝∠1＝70°. 知1－讲 有关两直线平行，同位角相等的性质，分清 两个角的位置关系是解答此类题目的关键. 知1－讲 如图，若AB∥CD，且∠1＝∠2，试判断AM与 CN的位置关系，并说明理由． 例2 知1－讲 (来自《点拨》) 解：AM∥CN. 理由：因为AB∥CD(已知)， 所以∠BAE＝∠ACD(两直线平行，同位角相等)． 又因为∠1＝∠2(已知)， 所以∠MAE＝∠NCA(等式的性质)． 所以AM∥CN(同位角相等，两直线平行)． 知1－讲 (来自《点拨》) 当题目已知条件中出现两直线平行时，要考 虑是否出现了相等的角．平行线和角的大小关系 是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的 角，反过来又可以由相等的角得到新的一组平行 线，这种由角的大小关系与直线的位置关系的相 互转化在解题中会经常涉及． 知1－练 (来自《典中点》) 1　(中考· 荆州)如图，直线l1∥l2，直线l3与 l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝70°， 则∠2＝(　　) A．70° B．80° C．110° D．120° C 知1－练 (来自《典中点》) 2　(中考· 咸宁)如图，把一块直角三角板的直角 顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则 ∠2的度数为(　　) A．50° B．40° C．30° D．25° B 2 知2－导 (来自《教材》) 思考 在下图中，当AB∥CD 时，你还会发现内错角∠3和 ∠5的大小有什么关系？能说 明理由吗？ 知2－导 如图，直线a∥b，c是截线. 根据“两直线平行，同位角相等”， 可得∠2＝∠3.而∠3和∠1互为对 顶角，所以∠3＝∠1.所以∠l＝∠2. 这样，我们就得到了平行线的另一 个性质： 知2－导 性质2 两条平行线被第三条 直线所截，内错角相等. 简单 地说，两直线平行，内错角 相等. 知2－讲 1. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错 角相等． 简称：两直线平行，内错角相等． 表达方式：如图， 因为a∥b(已知)， 所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)． 知2－讲 (来自《点拨》) 要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提 下才有内错角相等． 2. 易错警示：找准平行线的内错角． 知2－讲 如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，试说明AE平 分∠CAD. 例3 知2－讲 导引：要说明AE平分∠CAD，即说明∠DAE＝∠CAE. 由于AE∥BC，根据两直线平行，同位角相等和 内错角相等可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C， 这就将说明∠DAE＝∠CAE转化为说明∠B＝ ∠C了． 知2－讲 (来自《点拨》) 解：因为AE∥BC(已知)， 所以∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相 等)，∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相 等)，因为∠B＝∠C(已知)， 所以∠DAE＝∠EAC(等量代换)． 所以AE平分∠CAD(角平分线的定义)． 知2－讲 (来自《点拨》) 本题同时运用了“两直线平行，同位角相等” 和“两直线平行，内错角相等”提供了一种说明 两个角相等的新思路． 知2－练 (来自《典中点》) 1　(中考· 邵阳)将直尺和直角三角板按如图方式摆 放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．65° C 知2－练 (来自《典中点》) 2　(中考· 荆门)如图，m∥n，直线l分别交m，n 于点A，点B，AC⊥AB，AC交直线n于点C， 若∠1＝35°，则∠2等于(　　) A．35° B．45° C．55° D．65° C 3 知3－导 1. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内 角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补． 表达方式：如图， 因为a∥b(已知)， 知3－导 (来自《点拨》) 所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁 内角互补)． 2. 易错警示：平行线的同旁内角是互补不是 相等． 知3－讲 如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，那 么你能说出∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？ 例4 知3－讲 导引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4， ∠1＋∠2＝180°； 由DF∥AB，可得∠3＝∠2， 从而得∠2，∠3，∠4的度数． 知3－讲 (来自《点拨》) 解：因为DE∥BC(已知)， 所以∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)， ∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 所以∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°. 又因为DF∥AB(已知)， 所以∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)． 所以∠3＝115°(等量代换)． 知3－讲 (1)求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由 角的数量关系得到直线的位置关系，根据平行 线的性质由直线的位置关系得到角的数量关系， 通过上述相互转化，从而找到所求角与已知角 之间的关系． 知3－讲 (来自《点拨》) (2)两直线平行时，应联想到平行线的三个性质， 由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的 数量关系，由角的关系求相应角的度数． 知3－讲 如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分 ∠BCD，且∠1＋∠2＝90°， 试说明BC⊥AB. 例5 知3－讲 要说明BC⊥AB，即说明∠B＝90°.因为 DA⊥AB，所以若能说明AD∥CB，则BC⊥AB. 由DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2 ＝90°，可说明∠ADC＋∠BCD＝180°，从而 说明AD∥BC. 导引： 知3－讲因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD， 所以∠1＝∠3，∠2＝∠4(角平分线的定义)． 因为∠1＋∠2＝90°， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 即∠ADC＋∠BCD＝180°. 所以AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)， 解： 知3－讲 (来自《点拨》) 所以∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 因为DA⊥AB，所以∠A＝90°(垂直的定义)． 所以∠B＝90°，即BC⊥AB(垂直的定义)． 知3－讲 平行线和角的大小关系、直线的位置关系等是 紧密联系在一起的，通过一对同位角相等或内错角 相等或同旁内角互补可以判断两直线平行，反过来 可以根据两直线平行判断同位角相等、内错角相等 或同旁内角互补，再利用这些相等、互补关系说明 知3－讲 (来自《点拨》) 其他结论；因此两直线平行好似一座桥梁，将原本 没有关系的数学问题建立起联系． 知3－练 (来自《典中点》) 1　如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直 尺的一边上，如果∠1＝21°，那么∠2＝ ________．111° 知3－练 (来自《典中点》) 2　(中考· 北京)如图，直线l1，l2，l3交于一点， 直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则 ∠3的度数为(　　) A．26° B．36° C．46° D．56° B 1. 平行线的三个性质： 两直线平行，同位角相等． 两直线平行，内错角相等． 两直线平行，同旁内角互补． 2. 平行线的性质与平行线的判定的区别． 判定：角的关系→平行的关系 性质：平行的关系→角的关系 1. 必做: 完成教材P130练习T1-T3 2. 补充:请完成《点拨训练》P113-114对应习题！