10.3 平行线的性质
一、选择题
1.如图 1,直线 a∥b,c⊥a,则 c 与 b 相交所形成的∠1 的度数为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
图 1
图 2
2.如图 2,直线 AB∥CD,直线 EF 分别与直线 AB,CD 相交于点 G,H.若∠1=135°,
则∠2 的度数为 ( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
3.如图 3,已知直线 a∥b,小华把三角尺的直角顶点放在直线 a 上.若∠1=40°,
则∠2 的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
图 3
图 4
4.2018·滨州如图 4,直线 AB∥CD,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
5.2018·泸州如图 5,直线 a∥b,直线 c 分别交直线 a,b 于点 A,C,∠BAC 的平分
线交直线 b 于点 D.若∠1=50°,则∠2 的度数是( )
A.50° B.70° C.80° D.110°
图 5
图 6
6.如图 6,直线 a,b 被直线 c 所截,a∥b,∠1=∠2.若∠3=40°,则∠4 的度数是
( )
A.40° B.50° C.70° D.80°
7.2018·潍坊把一副三角尺放在同一水平桌面上,摆放成如图 7 所示的形状,使两个
直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1 的度数是( )
A.45° B.60° C.75° D.82.5°
图 7
图 8
二、填空题
8.2018·杭州如图 8,直线 a∥b,直线 c 与直线 a,b 分别交于点 A,B.若∠1=45°,
则∠2=________°.
9.如图 9,点 D 在∠AOB 的平分线 OC 上,点 E 在 OA 上,ED∥OB,∠1=25°,则∠AED
的度数为________.
图 9
图 10
10.如图 10,直线 a∥b,∠BAC 的顶点 A 在直线 a 上,且∠BAC=100°.若∠1=34°,
则∠2=________°.
11.如图 11,直线 a∥b,点 B 在直线 a 上,AB⊥BC 于点 B.如果∠1=48°,那么∠2
=________°.
图 11
图 12
12.如图 12 是一汽车探照灯的纵剖面示意图,从位于点 O 的灯泡发出的两束光线 OB,
OC 经过灯碗反射以后平行射出.如果∠ABO=α,∠DCO=β,则∠BOC 的度数是________.
图 13
13.如图 13 所示,OP∥QR∥ST.若∠2=100°,∠3=110°,则∠1 的度数为________.
14.已知:如图 14,点 D,F 均在 BC 上,E 为 CA 延长线上的一点,EF 与 AB 交于点 G,
AD∥EF,∠1=∠2.试说明:AD 平分∠BAC.
图 14
解:因为________∥________(已知),
所以∠1=________(____________________),
∠2=________(____________________).
因为________________(已知),
所以____________________,
即 AD 平分∠BAC(________________).
三、解答题
15.如图 15,直线 AB∥CD,BC 平分∠ABD,∠1=65°,求∠2 的度数.
图 15
16.如图 16,已知点 E,F 分别在 AD,AB 上,EF∥BD,∠1=∠2,∠C=48°,求∠ABC
的度数.链接听课例 2 归纳总结
图 16
17.如图 17,A,B 是人工湖岸上的两点,从点 A 看点 B,测得∠BAC=60°,现在过 A,
B 两点有两条互相平行的道路 l1 和 l2,从 l1 上的点 D 经点 E 到 l2 上的点 C 修一条公路,把
l1 与 l2 连接起来.如果∠ACE=150°, ∠BDE=100°,求:
(1)∠ABD 的度数;
(2)∠DEC 的度数.
图 17
18 如图 18,已知 AB∥CD,BE∥FG,CD 与 FG 交于点 D.
(1)如果∠1=53°,求∠2 和∠3 的度数;
(2)本题隐含着一个规律,请你根据(1)的结果进行归纳,并用文字语言表达出来;
(3)利用(2)的结论解答:如果两个角的两边分别平行,且其中一个角比另一个角的 2
倍小 30°,求这两个角的度数.
图 18
1.[解析] C 如图,因为直线 c⊥a,所以∠2=90°.因为直线 a∥b,所以∠1=∠2
=90°.故选 C.
2.[解析] C 因为直线 AB∥CD,所以根据“两直线平行,同旁内角互补”可得∠1+
∠2=180°,所以∠2=180°-∠1=45°.
3.[解析] D 如图,易知∠1+∠3=90°,
所以∠3=90°-40°=50°.
因为直线 a∥b,
所以∠2+∠3=180°,
所以∠2=180°-50°=130°.
故选 D.
4.[解析] D 如图,因为 AB∥CD,所以∠3+∠5=180°.又因为∠5=∠4,所以∠3
+∠4=180°,故选 D.
5.[解析] C 因为∠BAC 的平分线交直线 b 于点 D,所以∠BAD=∠CAD.因为直线 a∥b,
∠1=50°,所以∠BAD=∠CAD=50°,所以∠2=180°-50°-50°=80°.故选 C.
6.[解析] C 因为∠3=40°,∠1=∠2,所以∠1=70°.又因为 a∥b,所以∠1=∠
4,所以∠4=70°.故选 C.
7.[解析] C 如图,作直线 l 平行于三角尺的斜边,可得∠2=∠3=45°,∠5=∠4
=30°,故∠1 的度数是 45°+30°=75°.故选 C.
8.[答案] 135
[解析] 因为直线 a∥b,∠1=45°,所以∠3=∠1=45°,所以∠2=180°-45°=
135°.
9.50°
10.[答案] 46
[解析] 如图,因为直线 a∥b,所以∠3=∠1=34°.
因为∠BAC=100°,所以∠2=180°-34°-100°=46°,故答案为 46.
11.[答案] 42
[解析] 因为 AB⊥BC,∠1=48°,所以∠1 的余角为 42°.因为直线 a∥b,所以∠2=
42°.
12.[答案] α+β
[解析] 如图,过点 O 作 OE∥AB,则∠BOE=∠ABO=α.又因为 AB∥CD,所以 OE∥CD,
则∠COE=∠DCO=β,所以∠BOC=∠BOE+∠COE=α+β.
13.[答案] 30°
[解析] 本题考查的是“两直线平行,内错角相等”和“两直线平行,同旁内角互补”
的应用.
14.AD EF ∠DAB 两直线平行,内错角相等 ∠DAC 两直线平行,同位角相等 ∠
1=∠2 ∠DAB=∠DAC 角平分线的定义
15.解:如图,
因为 AB∥CD,∠1=65°,
所以∠ABC=∠1=65°(两直线平行,同位角相等).
因为 BC 平分∠ABD,
所以∠ABD=2∠ABC=130°.
因为 AB∥CD,
所以∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
因为∠3+∠ABD=180°,
所以∠3=180°-∠ABD=50°,所以∠2=50°.
16.解:因为 EF∥BD,
所以∠1=∠ABD(两直线平行,同位角相等).
因为∠1=∠2,所以∠ABD=∠2,
所以 AB∥CD(内错角相等,两直线平行),
所以∠ABC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补).
又因为∠C=48°,
所以∠ABC=180°-∠C=180°-48°=132°.
17.解:(1)因为 l1∥l2,
所以∠ABD+∠BAC=180°(两直线平行,同旁
内角互补).
又因为∠BAC=60°,
所以∠ABD=180°-∠BAC=120°.
(2)如图,过点 E 作 l2 的平行线 EF,则∠FEC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互
补).
又因为∠ACE=150°,
所以∠FEC=180°-∠ACE=30°.
因为 l1∥l2,l2∥EF,所以 l1∥EF,
所以∠BDE+∠DEF=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又因为∠BDE=100°,
所以∠DEF=180°-∠BDE=80°,
所以∠DEC=∠DEF+∠FEC=80°+30°=110°.
18 解:(1)如图,设 BE,CD 相交于点 H.
因为 AB∥CD,∠1=53°,
所以∠CHE=∠1=53°(两直线平行,同位角相等),
所以∠BHC=180°-∠CHE=127°.
因为 BE∥FG,
所以∠2=∠CHE=53°(两直线平行,同位角相等),
∠3=∠BHC=127°(两直线平行,同位角相等).
(2)如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
(3)设一个角的度数为 x°,则另一个角为(2x-30)°.
根据题意,得
x+(2x-30)=180 或 x=2x-30,
解得 x=70 或 x=30,
所以这两个角的度数分别为 70°,110°或 30°,30°.