2022届高三数学一轮复习 第1章集合与常用逻辑用语专练1 集合

第一章专练 1—集合 一、单选题 1．集合 2 1{ | 0}1 xA x x   „ ，集合 1 2 { | log (1 )}B x y x   ，则集合 A B 等于 ( ) A．[0 ， 1]2 B． ( 1, )  C． ( 1,1) D．[ 1 ， ) 2．已知集合 {( , ) |A x y x ， *y N ， }y x… ， {( , ) | 8}B x y x y   ，则 A B 中元素的个数 为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知 M ， N 为 R 的两个不相等的非空子集，若 ( )RM N   ð ，则下列结论错误的是 ( ) A． x N  ， x M B． x N  ， x M C． x M  ， x N D． x N  ， x M 4．如图所示， A ， B 是非空集合，定义集合 #A B 为阴影部分表示的集合．若 x ， y R ， 2{ | 2 }A x y x x   ， { | 3B y y x  ， 0}x  ，则 #A B 为 ( ) A．{ | 0 2}x x  B．{ |1 2}x x „ C．{ | 0 1x x„ „ 或 2}x… D．{ | 0x x  或 2}x  5．设集合 {( , ) | | |}A x y y x  ， 2 2{( , ) | 1}B x y x y   ，则 A B 的真子集的个数是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知集合 2 2021{ | } 6 5 A x y x x     ， { |1 2 16}xB x  „ ，则 ( ) (R A B ð ) A．{ | 1}x x  B．{ | 1x x„ 或 4}x  C．{ | 0 5}x x  D．{ | 2x x  或 4}x… 7．设集合 1{ | 2 4 kM x x   ， }k Z ，集合 1{ | 4 2 kN x x   ， }k Z ，则 ( ) A． M N B． M NÜ C． M NÝ D． M N 8．已知 {( , ) || | | 1| 1}A x y x a y    „ ， {(B x ， 2 2) | ( 1) ( 1) 1}y x y   „ ，若集合 A B  ， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A．[ 1 ，3] B．[ 1 2, 2]  C．[ 3 ，1] D．[0 ， 2] 二、多选题 9．设集合 { | 4}xM y y e    ， { | [( 2)(3 )]}N x y lg x x    ，则下列关系正确的是 ( ) A． R RM N B． N M C． M N   D． R N Mð 10．给出下列关系，其中正确的选项是 ( ) A． {{ }}  B． {{ }}   C． { }  D． { }   11．已知集合 2{ | 2 3 0}A x x x    ， { | 1}B x ax  ，若 B A ，则实数 a 的可能取值 ( ) A．0 B．3 C． 1 3 D． 1 12．若非空数集 M 满足任意 x ，y M ，都有 x y M  ，x y M  ，则称 M 为“优集”．已 知 A ， B 是优集，则下列命题中正确的是 ( ) A． A B 是优集 B． A B 是优集 C．若 A B 是优集，则 A B 或 B A D．若 A B 是优集，则 A B 是优集 三、填空题 13．设集合 {0A  ， a ， }b ， {0B  ， 2a ， 1} ，且 A B ，则 2020 2020a b 的值  ． 14．集合 A 满足{1， 153} { |A x y x  Ü ， *x N ， *}y N ，则集合 A 的个数有 个． 15．设集合 { | 1 1 6}A x x  „ „ ， { | 1 2 1}B x m x m     ，若 A B ，则 m 的取值范围 是 ． 16．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素， 且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合 { 1A   ，2}， 2{ | 2B x ax  ， 0}a… ， 若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则 a 的取值集合为 ． 四、解答题 17．函数 ( ) 1f x x  的定义域为 A ， 2( ) 2g x x   的值域为 B ，记 ( )M A B Z   ，其 中 Z 表示整数集． （Ⅰ）求集合 M ； （Ⅱ）若 { | 1}C x ax  ，且 C M ，求实数 a 的所有可能值． 18．集合 { | 3 7}A x x  „ „ ， { | 1 2 1}B x m x m  „ „ ． （1）若 B A ，求实数 m 的取值范围； （2）当 x R 时，没有元素 x 使 x A 与 x B 同时成立，求实数 m 的取值范围． 19．已知集合 { | ( )( 1) 0}( )A x x a x a R     ， 2{ | 1 log 1}B x x   „ ． （1）当 1a  时，求 A B ； （2）是否存在实数 a ，使得_____成立？ 请在① A B B ，② A B   ，③ ( )RB A ð 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题 中；若问题中的实数 a 存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由． 20．对于函数 ( )f x ，若 ( )f x x ，则称 x 为 ( )f x 的“不动点”，若 [ ( )]f f x x ，则称 x 为 ( )f x 的“稳定点”．若函数 ( )f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B ，即 { | ( ) }A x f x x  ， { | [ ( )] }B x f f x x  ． （1）求证： A B ； （2）若 2( ) 1( , )f x ax a R x R    ，且 A B   ，求实数 a 的取值范围． 第一章专练 1—集合答案 1．解： 1 2 1{ | 1 }, { | (1 ) 0} { | 0 1 1} { | 0 1}2A x x B x log x x x x x         „ … „ „ ， ( 1,1)A B   ． 故选： C ． 2．解：集合 {( , ) |A x y x ， *y N ， }y x… ， {( , ) | 8}B x y x y   ， {(A B x  ， *) | , } {(1,7)8, y xy x y Nx y      … ， (2,6) ， (3,5) ， (4,4)}． A B  中元素的个数为 4． 故选： C ． 3．解：因为 M ， N 为 R 的两个不相等的非空子集，且 ( )RM N   ð ， 所以 M N ，所以 x N  ， x M ，选项 A 正确； 所以 x N  ， x M ，选项 B 正确； 所以 x M  ， x N ，选项 C 正确； 由 x N  ， x M 知， x N  ， x M 错误，选项 D 错误． 故选： D ． 4．解： A ， B 是非空集合，定义集合 #A B 为阴影部分表示的集合． x ， y R ， 2{ | 2 } { | 0 2}A x y x x x x    „ „ ， { | 3B y y x  ， 0} { | 0}x y y   ， { | 0 2}A B x x  „ ， { | 0}A B x x … ， 则 # ( ) { | 0A BA B A B x x   ð 或 2}x  ． 故选： D ． 5．解：解 2 2 | | 1 y x x y     得， 2 2 2 2 x y     或 2 2 2 2 x y      ，  2 2 2 2{( , ),( , )}2 2 2 2A B   ， A B  的真子集个数是： 22 1 3  ． 故选： B ． 6．解：由题意可得 26 5 0x x   ，解得1 5x  ，所以集合 { |1 5}A x x   ， 因为1 2 16x „ ，所以 0 4x „ ，所以集合 { | 0 4}B x x  „ ， 则 { |1 4}A B x x  „ ，故 ( ) { | 1R A B x x „ð 或 4}x  ． 故选： B ． 7．解：当 2k m （为偶数）时， 1{ | 4 2 kN x x   ， 1} { | 2 2 mk Z x x    ， }m Z ， 当 2 1k m  （为奇数）时， 1{ | 4 2 kN x x   ， 1} { | 2 4 mk Z x x    ， }m Z M  ， M N Ü ， 故选： B ． 8．解： {( , ) || | | 1| 1}A x y x a y    „ ， | | 1x a  „ 得到 1 1a x a „ „ ；| 1| 1y  „ 得到 0 2y„ „ ； {(B x ， 2 2) | ( 1) ( 1) 1}y x y   „ ， 0 2x „ „ ， 0 2y„ „ A 交 B 是否是空集取决于 x 的范围， 1 1a x a  „ „ ， 1 1x a x  „ „ 当 0x  时， 1 1a „ „ ；当 2x  时，1 3a„ „ 当集合 A B   时，实数 a 的取值范围是： 1 3a „ „ 故选： A ． 9．解：集合 { | 4} { | 4} ( ,4)xM y y e y y        ， 集合 { | [( 2)(3 )]} { | ( 2)(3 ) 0} { | ( 2)( 3) 0} ( 2N x y lg x x x x x x x x              ， 3) ， N M  ，即 RM RNC C ， 故选： AB ． 10．解： {{ }}   ，所以 A 不正确； {{ }}   ，所以 B 正确； { }  ，满足元素与集合的关系，所以 C 正确； { }   ，满足集合与集合的包含关系，所以 D 正确； 故选： BCD ． 11．解：由题意：集合 { 1A   ， 3}， { | 1}B x ax  ， B A 当 B   时， B A 满足题意，此时 1ax  无解，可得 0a  ． 当 B   时，则方程 1ax  有解，即 1x a  ， 要使 B A ，则需要满足： 1 1a   或 1 3a  ， 解得：， 1a   或 1 3a  ， 所以 a 的值为：0 或 1 或 1 3 ． 故选： ACD ． 12．解：选项 A ：任取 x A B  ， y A B  ， 因为集合 A ， B 是优集，则 x y A  ， x y B  ，则 x y A B   ， x y A  ， x y B  ，则 x y A B   ，所以 A 正确， 选项 B ：取 { | 2A x x k  ， }k Z ， { | 3B x x m  ， }m Z ， 则 { | 2A x x k  或 3x k ， }k Z ，令 3x  ， 2y  ，则 5x y A B    ， B 错误， 选项 C ：任取 x A ， y B ，可得 x ， y A B  ， 因为 A B 是优集，则 x y A B   ， x y A B   ， 若 x y B  ，则 ( )x x y y B    ，此时 A B ，若 x y A  ，则 ( )x x y y A    ，此时 B A ， C 正确， 选项 :D A B 是优集，可得 A B ，则 A B A 为优集，或 B A ，则 A B B 为优集， 所以 A B 是优集， D 正确， 故选： ACD ． 13．解： A B ， 2 0 1 a a b       或 2 1a b a     ，解得 1 1 1 1 a a b b          或 ， 2020 2020 1 1 2a b     ． 故答案为：2． 14．解：由题意知，集合 A 中必有元素 1 和 3， 15{ |x y x  ， *x N ， *} {1y N  ，3，5，15} ， {1 ， 153} { |A x y x  Ü ， *x N ， *} {1y N  ，3，5，15} ， 满足条件的集合 A 有： {1，3， 5}，{1，3，15} ，{1，3，5，15} ， 集合 A 的个数是 3． 故答案为：3． 15．解： { | 1 1 6} { | 2 5}A x x x x     „ „ „ „ ， 当 1 2 1m m … ，即 2m „ 时， B   满足 B A ． 当 1 2 1m m   ，即 2m   时，要使 B A 成立， 需 1 2 2 1 5 m m     … „ ，可得 1 2m „ „ ，即 1 2m „ „ ， 综上， 2m „ 或 1 2m „ „ 时有 B A ． 故答案为：{ | 2m m „ 或 1 2}m „ „ ． 16．解：集合 { 1A   ， 2}， 2{ | 2B x ax  ， 0}a… ， 若 0a  ，则 B   ， 即有 B A ； 若 0a  ，可得 2{B a   ， 2}a ， 不满足 B A ； 若 A ， B 两个集合有公共元素，但互不为对方子集， 可得 2 2a  或 2 1a    ，解得 1 2a  或 2a  ． 综上可得， 0a  或 1 2 或 2； 故答案为：{0 ， 1 2 ， 2}． 17．解：（Ⅰ）由题意得， [1A  ， ) ， (B   ， 2]， [1A B  ， 2]； {1M  ， 2}； （Ⅱ） M 的子集有  ，{1} ，{2} ，{1， 2}； ①当 C   时， 0a  ； ②当 {1}C  时， 1 1a   ， 1a  ； ③当 {2}C  时， 2 1a   ， 1 2a  ； ④当 {1C  ， 2}时， 1 1 2 1 a a      ， a 无解； 综上所述， a 的值为 10,1, 2 ． 18．解：（1） B A ， ① B   时， 1 2 1m m   ，解得 2m  ； ② B   时， 2 1 3 2 1 7 m m m       … … „ ，解得 2 4m„ „ ， 综上，实数 m 的取值范围为 ( ， 4]； （2）由题意知， A B   ， ① B   时， 2m  ； ② B   时， 2 1 7 m m     … 或 2 2 1 3 m m      … ，解得 6m  ， 实数 m 的取值范围为 ( ， 2) (6 ， ) ． 19．解：（1）若 1a  ，则 { | ( 1)( 1) 0} (A x x x      ， 1) (1  ， ) ， 解不等式 21 log 1x  „ ，得， 1 22 x „ ，所以集合 1(2B  ， 2]， 所以 (1A B  ， 2]． （2）由于 1(2B  ， 2]， 若选① A B B ，则 B A ， 当 1a … 时，集合 (A   ， 1) (a  ， ) ， 要使 B A ，则需 1 2a„ ，所以 11 2a „ „ ； 当 1a   时，集合 (A   ， ) ( 1a  ， ) ，此时满足 B A ， 所以若选①，则实数 a 的取值范围为 1{ | }2a a„ ； 若选② A B   ， 当 1a … 时，集合 (A   ， 1) (a  ， ) ， 要使 A B   ，则需 2a… ，所以 2a… ； 当 1a   时，集合 (A   ， ) ( 1a  ， ) ，此时不满足 A B   ， 所以若选②，则实数 a 的取值范围为{ | 2}a a… ； 若选③ ( )RB A ð ， 1(2B  ， 2]， 当 1a   时，集合 (A   ， 1) (a  ， ) ， [ 1R A  ð ， ]a ， 要使 ( )RB A ð ，则需 2a… ，所以 2a… ； 当 1a   时，集合 (A   ， 1) ( 1  ， ) ，此时 ( ) { 1}RC A   ，不满足条件 ( )RB A ð ； 当 1a   时，集合 (A   ， ) ( 1a  ， ) ，此时 [R A að ， 1] ， ( )RB A   ð ，不满足 条件 ( )RB A ð ； 所以若选③，则实数 a 的取值范围为{ | 2}a a… ． 20．解：（1）证明：若 A   ，则 A B 显然成立， 若 A   ，设 t A ，则 ( )f t t ， [ ( )] ( )f f t f t t  ，即 t B ，从而 A B ， 故 A B 成立； （2） A 中的元素是方程 ( )f x x 即 2 1ax x  的实根， 由 A   ，知 0a  或 0 1 4 0 a a     … ，即 1 4a … ， B 中元素是方程 2 2( 1) 1a ax x   ，即 3 4 2 22 1 0a x a x x a     的实根， 由 A B 知方程含有一个因式 2 1ax x  ，即方程可化为： 2 2 2( 1)( 1) 0ax x a x ax a      ， 若 A B ，则方程 2 2 1 0a x ax a     ①要么没有实根，要么实根是方程 2 1 0ax x    ② 的根， 若①没有实根，则△ 2 24 (1 ) 0a a a    ，解得 3 4a  ， 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 2 2a x ax a  ，代入①有 2 1 0ax   ， 由此解得 1 2x a   ，再代入②得 1 1 1 04 2a a    ，解得 3 4a  ， 故 a 的取值范围为 1 3[ , ]4 4  ．