2022届高考数学统考一轮复习微专题十七共线定理的推广学案文含解析新人教版

优选 - 1 - / 4 微专题(十七) 共线定理的推广 共线定理：已知PA→，PB→为平面内两个不共线的向量，设PC→＝xPA→＋yPB→，则 A，B，C 三 点共线的充要条件为 x＋y＝1. 推广形式：如右图所示，直线 DE∥AB，C 为直线 DE 上任一点，设PC→＝xPA→＋yPB→(x，y ∈R)． 当直线 DE 不过点 P 时，直线 PC 与直线 AB 的交点记为 F，因为点 F 在直线 AB 上，所 以由三点共线结论可知，若PF→＝λPA→＋μPB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知 必存在一个常数 m∈R，使得PC→＝mPF→，则PC→＝mPF→＝mλPA→＋mμPB→. 又PC→＝xPA→＋yPB→(x，y∈R)， 所以 x＋y＝mλ＋mμ＝m. 以上过程可逆． 因此得到结论：PC→＝xPA→＋yPB→， 则 x＋y＝m(定值)，反之亦成立． [例 1] 如图，在正六边形 ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP→ ＝αAB→ ＋ βAF→(α，β∈R)，则α＋β的取值 X 围是________． 解析：当 P 在△CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线，过 D 点的平行线是最远的，所以α 优选 - 2 - / 4 ＋β∈[ AN AM ， AD AM ]＝[3,4]． 答案：[3,4] [例 2] 如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ，则 m＋n 的取值 X 围是________． 解析：由点 D 是圆 O 外的一点，可设BD→ ＝λBA→ (λ>1)，则OD→ ＝OB→ ＋BD→ ＝OB→ ＋λBA→ ＝λ OA→ ＋(1－λ)OB→ .因为 C、O、D 三点共线，令OD→ ＝－μOC→ (μ>1)．所以OC→ ＝－ λ μ OA→ － 1－λ μ OB→ (λ>1，μ>1)． 因为OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ，所以 m＝－ λ μ ， n＝－ 1－λ μ ，所以 m＋n＝－ λ μ － 1－λ μ ＝－ 1 μ ∈(－1,0)． 答案：(－1,0) 优选 - 3 - / 4 [变式练] 如图，在扇形 OAB 中， ∠AOB＝ π 3 ，C 为弧 AB 上的动点，若OC→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，则 x＋3y 的取值 X 围是________． 微专题(十七) 变式练 解析：OC→ ＝xOA→ ＋3y( OB→ 3 )，如图作OB′→ ＝ 1 3 OB→ ，则考虑以向量OA→ ，OB′→ 为基底，显然， 当 C 在 A 点时经过 m＝1 的平行线，当 C 在 B 点时经过 m＝3 的平行线，这两条线分别是最 近与最远的平行线，所以 x＋3y 的取值 X 围是[1,3]． 优选 - 4 - / 4 答案：[1,3]