2022届高考数学统考一轮复习阶段质量检测3理含解析新人教版
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2022届高考数学统考一轮复习阶段质量检测3理含解析新人教版

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时间:2021-09-17

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资料简介
阶段质量检测(三) 建议用时:40 分钟 一、选择题 1.(2020·银川三模)若向量 a=(x+1,2)与 b=(1,-1)平行,则|2a+b|=( ) A. 2 B. 3 2 2 C.3 2 D. 2 2 C [∵a∥b,∴-(x+1)-2=0,解得 x=-3, ∴a=(-2,2),2a+b=(-3,3), ∴|2a+b|=3 2.故选 C.] 2.(2020·成都模拟)复数 z= 2-3i 3+2i ,则 z· z =( ) A.i B.-i C.1 D.-1 C [∵z= 2-3i 3+2i ,∴|z|=|2-3i 3+2i|= |2-3i| |3+2i| = 13 13 =1. ∴z· z =|z|2=1 .故选 C.] 3.(2020·钦州模拟)设向量 a=(-1,2),b=(2,-4),则( ) A.a⊥b B.a 与 b 同向 C.a 与 b 反向 D. 1 5 (a+b)是单位向量 C [∵a=(-1,2),b=(2,-4), ∴b=-2a, ∴a 与 b 反向, 1 5 (a+b)= 1 5 ,- 2 5 , ∴ 1 5 |a+b|≠1,即 1 5 (a+b)不是单位向量.故选 C.] 4.(2020·宜宾模拟)在△ABC 中,点 D 为 BC 延长线上一点,且 S△ABC S△ABD = 2 3 ,则( ) A.AD→ = 4 3 AB→ - 1 3 AC→ B.AD→ = 3 2 AB→ - 1 2 AC→ C.AD→ =- 1 2 AB→ + 3 2 AC→ D.AD→ =- 1 3 AB→ + 4 3 AC→ C [由题意可知, S△ABC S△ABD = 2 3 = BC BD , ∴BD→ = 3 2 BC→,∴AD→ =AB→ +BD→ =AB→ + 3 2 BC→=AB→ + 3 2 (AC→ -AB→ )=- 1 2 AB→ + 3 2 AC→ .故选 C.] 5.已知非零向量 a,b 满足|a|= 3 4 |b|,cos〈a,b〉= 1 3 ,若(ma+4b)⊥b,则实数 m 的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.-16 D [∵非零向量 a,b 满足|a|= 3 4 |b|,cos〈a,b〉= 1 3 ,(ma+4b)⊥b, ∴(ma+4b)·b=ma·b+4b2=m· 3 4 |b|·|b|· 1 3 +4|b|2=0,求得 m=-16,故选 D.] 6.(2020·武汉模拟)设有下面两个命题: p1:复数 z∈R 的充要条件是 z= z ; p2:若复数 z 所对应的点在第一象限,则复数 z i 所对应的点在第四象限. 则下列选项中,为真命题的是( ) A.p1∧p2 B.( p1)∧p2 C.p1∧( p2) D.( p1)∧( p2) A [设 z=a+bi(a,b∈R), 则 z∈R⇔b=0⇔z= z ,则 p1 为真命题; 若复数 z 所对应的点在第一象限,则 a>0,b>0, 而 z i = a+bi i =b-ai,故复数 z i 所对应的点(b,-a)在第四象限,p2 为真命题.∴p1∧p2 为真命题.故选 A.] 7.(2020·沙市模拟)菱形 ABCD 中,AC=2,BD=2 3,E 点为线段 CD 的中点,则AE→·BC→ 为( ) A. 3 B.3 C. 3 2 D. 3 2 B [建立如图所示坐标系,A(0,1),B(- 3,0),C(0,-1),D( 3,0),所以 E 3 2 ,- 1 2 , 则AE→= 3 2 ,- 3 2 ,BC→=( 3,-1), 所以AE→·BC→=3.故选 B.] 8.在△ABC 中,AB→ ·AC→ =7,|AB→ -AC→ |=6,则△ABC 面积的最大值为( ) A.24 B.16 C.12 D.8 C [设 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 由AB→ ·AC→ =7,|AB→ -AC→ |=6, 得 bccos A=7,a=6①, S△ABC= 1 2 bcsin A= 1 2 bc 1-cos2A = 1 2 bc 1- 49 b2c2 = 1 2 b2c2-49, 由余弦定理可得 b2+c2-2bccos A=36②, 由①②消掉 cos A 得 b2+c2=50,所以 b2+c2≥2bc, 所以 bc≤25,当且仅当 b=c=5 时取等号, 所以 S△ABC= 1 2 b2c2-49≤12, 故△ABC 的面积的最大值为 12,故选 C.] 二、填空题 9.(2020·天津一模)若复数 z 满足:z(1+i)=|1+ 3i|,则复数 z 的虚部是 . -1 [由 z(1+i)=|1+ 3i|= 12+ 3 2=2, 得 z= 2 1+i = 2 1-i 1+i 1-i =1-i, ∴复数 z 的虚部是-1.] 10.(2020·北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 满足AP→ = 1 2 (AB→ +AC→ ),则|PD→ | = ;PB→·PD→ = . 5 -1 [由AP→ = 1 2 (AB→ +AC→ ),可得 P 为 BC 的中点,则|CP|=1,∴|PD|= 22+12= 5, ∴PB→·PD→ =PB→·(PC→+CD→ ) =-PC→·(PC→+CD→ )=-PC→ 2-PC→·CD→ =-1.] 11.已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f (x)=a·b 在区间(-1,1)上是增函 数,则实数 t 的取值范围是 . [5,+∞) [依题意得 f (x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t, 则 f ′(x)=-3x2+2x+t.若 f (x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上 f ′(x)≥0 恒成立. ∴f ′(x)≥0⇔t≥3x2-2x 在区间(-1,1)上恒成立, 令 g(x)=3x2-2x,则 g(x)是对称轴为 x= 1 3 ,开口向上的抛物线,故要使 t≥3x2-2x 在 区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即 t≥5,故 t 的取值范围是[5,+∞).] 12.(2020·乐山模拟)如图,已知函数 f (x)= 3 2 |sin πx|,A1,A2,A3 是图象的顶点, O,B,C,D 为 f (x)与 x 轴的交点,线段 A3D 上有五个不同的点 Q1,Q2,…,Q5,记 ni=OA2 → ·OQi → (i =1,2,…,5),则 n1+n2+…+n5 的值为 . 45 2 [由题意得,函数 f (x)的周期 T=1,即 B,C,D 的横坐标分别为 1,2,3,故 A2 3 2 , 3 2 , A3 5 2 , 3 2 , 则 kOA2= 3 3 ,kDA3= 3 2 -0 5 2 -3 =- 3, 因为 kOA2·kDA3=-1 ,故OA2 → ⊥DA3 → , 故 n1+n2+…+n5 =OA2 → ·(OQ1 → +OQ2 → +OQ3 → +OQ4 → +OQ5 → ) =OA2 → (5OD→ +DQ1 → +DQ2 → +DQ3 → +DQ4 → +DQ5 → ) =5OA2 → ·OD→ =5× 3 2 ×3+0 = 45 2 .] 三、解答题 13.(2020·天津模拟)已知|a|= 2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 45°. (1)求 a 在 b 方向上的投影; (2)求|a+2b|的值; (3)若向量(2a-λb)与(λa-3b)的夹角是锐角,求实数λ的取值范围. [解] (1)a 在 b 方向上的投影为|a|cos 45°= 2× 2 2 =1. (2)a·b= 2×1× 2 2 =1, |a+2b|2=a2+4a·b+4b2=2+4+4=10, 则|a+2b|= 10. (3)向量(2a-λb)与(λa-3b)的夹角是锐角, 可得(2a-λb)·(λa-3b)>0,且(2a-λb)与(λa-3b)不共线, 由 2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b>0, 即有 7λ-(6+λ2)>0,解得 1<λ<6, 又由(2a-λb)与(λa-3b)共线, 可得 2·(-3)=-λ·λ, 解得λ=± 6, 则实数λ的取值范围为(1, 6)∪( 6,6). 14.已知 A,B,C 分别为△ABC 的三边 a,b,c 所对的角,向量 m=(sin A,sin B), n=(cos B,cos A),且 m·n=sin 2C. (1)求角 C 的大小; (2)若 a,c,b 成等差数列,且CA→ ·(AB→ -AC→ )=18,求边 c 的长. [解] (1)由已知得 m·n=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B), 又∵在△ABC 中,A+B+C=π,∴A+B=π-C, ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,又∵m·n=sin 2C, ∴sin C=sin 2C=2sin Ccos C, ∴cos C= 1 2 ,又 0<C<π,∴C= π 3 . (2)由 a,c,b 成等差数列,则 2c=a+b, 由CA→ ·(AB→ -AC→ )=18,∴ CA→ ·CB→=18,即 abcos C=18, 由(1)知 cos C= 1 2 ,所以 ab=36, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab, ∴c2=4c2-3×36, ∴c=6. 15.已知向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且|ka+b|= 3|a-kb|(k>0),令 f (x)=a·b. (1)求 f (k)=a·b(用 k 表示); (2)当 k>0 时,f (k)≥x2-2tx- 1 2 对任意的 t∈[-1,1]恒成立,求实数 x 的取值范围. [解] (1)∵|a|=|b|=1,|ka+b|= 3|a-kb|, ∴k2a2+b2+2ka·b=3(a2-2ka·b+k2b2), 整理得 a·b= k2+1 4k , ∴f (k)= k2+1 4k (k>0). (2)当 k>0 时,f (k)= 1 4 k+ 1 k ≥ 1 4 ·2 k· 1 k = 1 2 (当且仅当 k=1 时等号成立), ∴当 k>0 时,f (k)≥x2-2tx- 1 2 对任意的 t∈[-1,1]恒成立,即 1 2 ≥x2-2tx- 1 2 ,亦即 x2 -2tx-1≤0 对任意的 t∈[-1,1]恒成立, 令 g(t)=x2-2tx-1=-2xt+x2-1, ∴g(t)=-2xt+x2-1<0 对任意的 t∈[-1,1]恒成立, 由一次函数的性质可得 g -1 =2x+x2-1≤0⇒-1- 2≤x≤-1+ 2 g 1 =-2x+x2-1≤0⇒1- 2≤x≤1+ 2 , ∴1- 2≤x≤ 2-1, ∴实数 x 的取值范围为[1- 2, 2-1]. 16.已知向量 m=(sin x,1),n= 3Acos x, A 2 cos 2x (A>0),函数 f (x)=m·n 的最 大值为 6. (1)求 A; (2)将函数 f (x)的图象向左平移 π 12 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)在 0, 5π 24 上的值域. [解] (1)f (x)=m·n= 3Asin xcos x+ A 2 cos 2x =A 3 2 sin 2x+ 1 2 cos 2x =Asin 2x+ π 6 , ∵函数 f (x)=m·n 的最大值为 6, ∴A=6.

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