2022版新教材高考数学一轮复习57二项式定理训练含解析新人教B版

考试 1 / 6 五十七 二项式定理 (建议用时：45 分钟) A 组 全考点巩固练 1．在 2x－ 1 x n 的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为 1∶64，则展开式 中常数项为( ) A．240B．－240 C．160D．－160 D 解析：在 2x－ 1 x n 的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为 1∶64. 令 x＝1，得各项系数之和为 1，二项式系数之和为 2n， 所以 1 2n ＝ 1 64 ，得 n＝6. 故展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck 6(2x)6－k － 1 x k ＝(－1)k26－k·Ck 6x6－2k. 令 6－2k＝0，得 k＝3，可得展开式中常数项为－23C3 6＝－160. 2．(某某联考)若等式 1＋x＋x2＋x3＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋a3(1－x)3 对一切 x∈R 都成立，其中 a0，a1，a2，a3 为常数，则 a0＋a1＋a2＋a3＝( ) A．2B．1 C．4D．－1 B 解析：令 x＝0，可得 a0＋a1＋a2＋a3＝1. 3．(2020·某某联考)若(2x2－n)· x－ 2 x 3 的展开式的各项系数之和为 5，则该展开式中 x 项的系数为() A．－66B．－18 C．18D．66 考试 2 / 6 D 解析：令 x＝1，可得(2－n)(1－2)3＝5，所以 n＝7. 又 x－ 2 x 3 的通项公式为 Tk＋1＝Ck 3(－2)kx3－2k，在(2x2－7) x－ 2 x 3 的展开式中，x 的系 数为 2×C2 3×(－2)2－7×C1 3×(－2)＝66.故选 D. 4．已知 C0 n＋2C1 n＋22C2 n＋23C3 n＋…＋2nCn n＝729，则 C1 n＋C2 n＋C3 n＋…＋C n n等于() A．63B．64 C．31D．32 A 解析：逆用二项式定理得 C0 n＋2C1 n＋22C2 n＋23C3 n＋…＋2nCn n＝(1＋2)n＝3n＝729，即 3n＝36，所以 n＝6，所以 C1 n＋C2 n＋C3 n＋…＋Cn n＝26－C0 6＝64－1＝63. 5．(2020·某某一中高三三模)已知 x＋ 1 x －2 (x－1)5＝a0x－1＋a1＋a2x＋a3x2＋a4x3＋ a5x4＋a6x5＋a7x6，则 a4＝() A．21B．42 C．－35D．－210 C 解析： x＋ 1 x －2 (x－1)5＝ x－1 7 x ，a4 即为(x－1)7 展开式中 x4 的系数－C3 7＝－35， 所以 a4＝－35.故选 C. 6．(2020·某某预测冲刺)在(1＋x)8(1＋y)5 的展开式中，记 x3y2 的系数为 m，x5y3 的系 数为 n，则 m＋n＝( ) A．1 260B．1 120 C．840D．630 B 解析：二项式(1＋x)8 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr 8xr(其中 r＝0,1，…，8)， 二项式(1＋y)5 展开式的通项为 TR＋1＝CR 5yR(其中 R＝0,1，…，5)． 令 r＝3，R＝2，可得 C5 8x3C2 5y2＝C3 8C2 5x3y2，即 m＝C3 8C2 5； 令 r＝5，R＝3，可得 C5 8x5C3 5y3＝C5 8C3 5x5y3，即 n＝C5 8C3 5. 所以 m＋n＝560＋560＝1 120.故选 B. 考试 3 / 6 7．(2020·东城区高三一模)若二项式 2x－ 1 x n 的展开式共有 7 项，则 n＝________；常 数项为________． 6 －160 解析：因为 2x－ 1 x n 的展开式共有 7 项，所以 n＝6，所以 2x－ 1 x 6 展开式 的通项公式为 Tk＋1＝Ck 6·(2x)6－k· － 1 x k ＝(－1)k·26－kCk 6x6－2k. 令 6－2k＝0，解得 k＝3， 所以 2x－ 1 x 6 的展开式的常数项为 T4＝－23C3 6＝－160. 8．(x＋1) ax－ 1 x 6 (a>0)的二项展开式中的常数项是 60，则展开式中各项系数之和为 ________． 2 解析：(x＋1) ax－ 1 x 6 ＝x ax－ 1 x 6 ＋ ax－ 1 x 6 . 而 ax－ 1 x 6 的通项公式为 Tk＋1＝Ck 6(ax)6－k － 1 x k ＝(－1)ka6－k·Ck 6x . 根据题意，6－ 3 2 k＝0，所以 k＝4， 所以常数项为(－1)4a2C4 6＝60，所以 a＝2. 令 x＝1，(1＋1)(2－1)6＝2，所以展开式中各项系数之和为 2. 9．(2020·某某第一中学高三二模)若 x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则 a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________. 80 211 解析：因为 x5＝[2＋(x－2)]5，则 a1＝C1 5·24＝80. 令 x＝3，得 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243； 令 x＝2，得 a0＝25＝32， 故 a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211. 考试 4 / 6 10．(2020·某某中学高三一模)已知多项式(x＋2)m·(x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋ nxm＋n 满足 a0＝4，a1＝16，则 m＋n＝________，a0＋a1＋a2＋…＋am＋n＝________. 5 72 解析：因为多项式(x＋2)m·(x＋1)n＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n 满足 a0＝4， a1＝16， 所以令 x＝0，得 2m×1n＝a0＝4，则 m＝2， 所以(x＋2)2(x＋1)n＝(x2＋4x＋4)(x＋1)n， 所以该多项式的一次项系数为 4Cn n1n＋4Cn－1 n 1n－1＝16， 所以 Cn－1 n ＝3， 所以 n＝3， 所以 m＋n＝5. 令 x＝1，得(1＋2)2×(1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋am＋n＝72. B 组 新高考培优练 11．(2020·某某高三三模)在 x－ 1 2x 6 (x＋3)的展开式中，常数项为( ) A．－ 15 2 B． 15 2 C．－ 5 2 D． 5 2 A 解析：原式＝x x－ 1 2x 6 ＋3 x－ 1 2x 6①. 而 x－ 1 2x 6 的通项公式为 － 1 2 kCk 6x6－2k.当 6－2k＝－1 时，k＝ 7 2 ∉ Z，故①式中的前 一项不会出常数项；当 6－2k＝0，即 k＝3 时，可得①式中的后一项的常数项乘 3 即为所 求， 考试 5 / 6 此时原式常数项为 3 － 1 2 3 C3 6＝－ 15 2 .故选 A. 12．(多选题)(2020·聊城一中高三模拟)对于二项式 1 x ＋x3 n (n∈N*)，以下判断正确的 有( ) A．存在 n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意 n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意 n∈N*，展开式中没有 x 的一次项 D．存在 n∈N*，展开式中有 x 的一次项 AD 解析：二项式 1 x ＋x3 n (n∈N*)展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck n 1 x n－k (x3)k＝Ck nx4k －n. 不妨令 n＝4，则 k＝1 时，展开式中有常数项，故 A 正确，B 错误； 令 n＝3，则 k＝1 时，展开式中有 x 的一次项，故 C 错误，D 正确． 故选 AD. 13．(2020·某某第二中学高三冲刺)若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的展开式中 的各项系数和为 243，则 a1＋2a2＋…＋nan＝( ) A．405B．810 C．243D．64 B 解析：(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 两边求导得 2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1. 令 x＝1，则 2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan. 又因为(2x＋1)n 的展开式中各项系数和为 243， 令 x＝1，可得 3n＝243， 解得 n＝5. 所以 a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810. 考试 6 / 6 故选 B. 14．(2020·某某一模)若 3 x＋ 1 x2 n 的展开式中各项系数的和为 1 024，则常数项为 ________． 405 解析：令 x＝1，得 4n＝1 024，解得 n＝5，所以该二项展开式的通项公式为 Tk＋ 1＝Ck 5·(3 x)5－k 1 x2 k＝Ck 5·35－k·x ·x－2k＝Ck 5·35－k·x k.令 5 2 － 5 2 k＝0，得 k＝1，所以常 数项为 C1 5×34＝405. 15．(2020·某某某某高三二模)设 f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N*. (1)求 f(x,6)的展开式中系数最大的项； (2)n∈N*时，化简 C0 n4n－1＋C1 n4n－2＋C2 n4n－3＋…＋Cn－1 n 40＋Cn n4－1. 解：(1)f(x,6)＝(1＋x)6，其通项公式为 Tk＋1＝Ck 6xk， 故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为 T4＝C3 6x3＝20x3. (2)C0 n4n－1＋C1 n4n－2＋C2 n4n－3＋…＋Cn－1 n 40＋Cn n4－1 ＝ 1 4 (C0 n4n＋C1 n4n－1＋C2 n4n－2＋…＋Cn－1 n 41＋Cn n)＝ 1 4 (4＋1)n＝ 5n 4 .