2022版新教材高考数学一轮复习47椭圆训练含解析新人教B版

考试 1 / 10 四十七 椭圆 (建议用时：45 分钟) A 组 全考点巩固练 1．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆 x2 3 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆 的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A．2 3B．6 C．4 3D．12 C 解析：设另一焦点为 F，由题意知 F 在 BC 边上，所以△ABC 的周长 l＝|AB|＋|BC|＋ |CA|＝|AB|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝2 3＋2 3＝4 3. 2．(2020·某某高三模拟)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆 周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 均在 x 轴上，椭圆 C 的面积为 2 3π，且短轴长为 2 3，则椭圆 C 的标准方程为( ) A. x2 12 ＋y2＝1 B. x2 4 ＋ y2 3 ＝1 C. x2 3 ＋ y2 4 ＝1 D. x2 16 ＋ y2 3 ＝1 B 解析：由题意可得 ab＝ 2 3π π ， 2b＝2 3， 解得 a＝2， b＝ 3. 因为椭圆 C 的焦点在 x 轴上，所以椭圆 C 的标准方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1. 3．(多选题)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，短轴长为 2，离心 率为 6 3 .过焦点 F1 作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，则( ) A．椭圆 C 的方程为 y2 3 ＋x2＝1 考试 2 / 10 B．椭圆 C 的方程为 x2 3 ＋y2＝1 C．|PQ|＝ 2 3 3 D．△PF2Q 的周长为 4 3 ACD 解析：由已知得，2b＝2，b＝1， c a ＝ 6 3 . 又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝3. 所以椭圆方程为 x2＋ y2 3 ＝1. 所以|PQ|＝ 2b2 a ＝ 2 3 ＝ 2 3 3 ，△PF2Q 的周长为 4a＝4 3. 4．(多选题)1970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”， 从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫 星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积 守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长 轴长、焦距分别为 2a,2c，则( ) A．卫星向径的取值 X 围是[a－c，a＋c] B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 ABD 解析：根据椭圆的定义知卫星向径的取值 X 围是[a－c，a＋c]，A 正确； 当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，B 正确； a－c a＋c ＝ 1－e 1＋e ＝ 2 1＋e －1，当比值越大，则 e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 考试 3 / 10 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故 速度最小，D 正确． 5．(2020·某某质量检查)已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 A， 右顶点为 B.若△AFB 是直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 3－1 2 D. 5－1 2 D 解析：由题意知，F(－c,0)，A(0，b)，B(a,0)，因为△ABF 是直角三角形，所以 AF ⊥AB，所以AF→·AB→ ＝0. 又因为AF→＝(－c，－b)，AB→ ＝(a，－b)， 所以－ac＋b2＝0. 又因为 b2＝a2－c2，所以 a2－ac－c2＝0. 又因为 e＝ c a ，所以 e2＋e－1＝0， 所以 e＝－ 1± 5 2 .又因为 00)相交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点在直线 3x－4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________． 2 2 解析：联立 x＋2y－3＝0， 3x－4y＋1＝0， 解得 x＝1， y＝1， 所以直线 x＋2y－3＝0 与 3x－4y ＋1＝0 的交点为 M(1，1)，所以线段 AB 的中点为 M(1,1)．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，直线 x＋2y－3＝0 的斜率 k＝－ 1 2 ，分别把 A(x1，y1)，B(x2，y2) 代入椭圆方程 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)，得 x2 1 a2 ＋ y2 1 b2 ＝1， x2 2 a2 ＋ y2 2 b2 ＝1， 两式相减，整理得 y1－y2 x1－x2 ＝－ 1 2 ＝ － b2 a2 ，所以 a2＝2b2.又 a2＝b2＋c2，所以 a＝ 2b＝ 2c，所以 e＝ c a ＝ 2 2 . 8．已知椭圆 x2 4 ＋y2＝1，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上的任意一点， 则 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| 的取值 X 围为________． [1,4]解析：根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. 设 m＝|PF1|，n＝|PF2|，则 m＋n＝4，m，n∈[a－c，a＋c]， 即 m，n∈[2－ 3，2＋ 3]，则 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| ＝ 1 m ＋ 1 n ＝ 4 m 4－m ＝ 4 － m－2 2＋4 ∈[1,4]． 9．点 A，B 分别是椭圆 x2 36 ＋ y2 20 ＝1 长轴的左、右顶点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在 考试 5 / 10 椭圆上，且位于 x 轴上方，PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标； (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值． 解：(1)由已知可得点 A(－6,0)，F(4,0)． 设点 P(x，y)，则AP→ ＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)． 由已知可得 x2 36 ＋ y2 20 ＝1， x＋6 x－4 ＋y2＝0， 则 2x2＋9x－18＝0，解得 x＝ 3 2 或 x＝－6. 由于 y>0，故 x＝ 3 2 ，于是 y＝ 5 3 2 ， 所以点 P 的坐标是 3 2 ， 5 3 2 . (2)由(1)可知，直线 AP 的方程是 x－ 3y＋6＝0. 设点 M(m,0)，则 M 到直线 AP 的距离是 |m＋6| 2 . 于是 |m＋6| 2 ＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得 m＝2. 椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d， 则 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－ 5 9 x2＝ 4 9 x－ 9 2 2＋15. 由于－6≤x≤6, 所以当 x＝ 9 2 时，d 取得最小值 15. B 组 新高考培优练 考试 6 / 10 10．(多选题)(2020·某某模拟)已知 P 是椭圆 C： x2 6 ＋y2＝1 上的动点，Q 是圆 D：(x＋ 1)2＋y2＝ 1 5 上的动点，则( ) A．椭圆 C 的焦距为 5 B．椭圆 C 的离心率为 30 6 C．圆 D 在椭圆 C 的内部 D．|PQ|的最小值为 2 5 5 BC 解析：依题意可得 c＝ 6－1＝ 5， 则椭圆 C 的焦距为 2 5，e＝ 5 6 ＝ 30 6 . 设 P(x，y)(－ 6≤x≤ 6)， 由题意知圆心 D(－1,0)， 则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－ x2 6 ＝ 5 6 x＋ 6 5 2＋ 4 5 ≥ 4 5 > 1 5 ，所以圆 D 在椭圆 C 的内 部，且|PQ|的最小值为 4 5 － 1 5 ＝ 5 5 .故选 BC. 11．已知点P(0,1)，椭圆 x2 4 ＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足 AP→ ＝2PB→，则当m＝________ 时，点 B 横坐标的绝对值最大． 5 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AP→ ＝(－x1，1－y1)，PB→＝(x2，y2－1)．由AP→ ＝ 2PB→， 得 －x1＝2x2， 1－y1＝2 y2－1 ， 即 x1＝－2x2， y1＝3－2y2. 因为点 A，B 在椭圆上， 考试 7 / 10 所以 4x2 2 4 ＋ 3－2y2 2＝m， x2 2 4 ＋y2 2＝m， 解得 y2＝ 1 4 m＋ 3 4 ， 所以 x2 2＝m－(3－2y2)2＝－ 1 4 m2＋ 5 2 m－ 9 4 ＝－ 1 4 (m－5)2＋4≤4，所以当 m＝5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2. 12．已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，其关于直线 y＝bx 的对称点 Q 在椭圆上，则离心率 e＝________，S△FOQ＝________. 2 2 1 2 解析：设点 Q(x，y)，则由点 Q 与椭圆的右焦点 F(1,0)关于直线 y＝bx 对称得 y x－1 ＝－ 1 b ， y 2 ＝b· x＋1 2 ， 解得 x＝ 1－b2 1＋b2 ， y＝ 2b 1＋b2 ， 代入椭圆 C 的方程得 1－b2 2 a2 1＋b2 2 ＋ 4b2 b2 1＋b2 2 ＝1，结合 a2＝b2＋1，解得 a＝ 2， b＝1， 则椭圆的离心率 e＝ c a ＝ 2 2 ，S△FOQ ＝ 1 2 |OF|·| 2b 1＋b2|＝ 1 2 ×1× 2 1＋12 ＝ 1 2 . 13．(2020·某某模拟)已知点 M( 6， 2)在椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)上，且椭圆 的离心率为 6 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(－3,2)，求△PAB 的面积． 考试 8 / 10 解：(1)由已知得 6 a2 ＋ 2 b2 ＝1， c a ＝ 6 3 ， a2＝b2＋c2， 解得 a2＝12， b2＝4， c2＝8. 故椭圆 C 的方程为 x2 12 ＋ y2 4 ＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 D(x0，y0)． 由 y＝x＋m， x2 12 ＋ y2 4 ＝1， 消去 y，整理得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0. 由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0，得 m20)的离心率为 3 2 ，左、 右焦点分别是 F1，F2.以 F1 为圆心，3 为半径的圆与以 F2 为圆心，1 为半径的圆相交，且交 点在椭圆 C 上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E： x2 4a2 ＋ y2 4b2 ＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.求 |OQ| |OP| 的值． 解：(1)设两圆的交点为 M，则|MF2|＋|MF1|＝1＋3＝4＝2a，所以 2a＝4，则 a＝2. 又 c a ＝ 3 2 ，a2－c2＝b2，可得 b＝1，所以椭圆 C 的方程为 x2 4 ＋y2＝1. (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 x2 16 ＋ y2 4 ＝1， 设点 P(x0，y0)， |OQ| |OP| ＝λ， 由题意知 Q(－λx0，－λy0)． 因为 x2 0 4 ＋y2 0＝1，又 －λx0 2 16 ＋ －λy0 2 4 ＝1， 即 λ2 4 x2 0 4 ＋y2 0 ＝1，所以λ＝2，即 |OQ| |OP| ＝2. 考试 10 / 10