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三十五 复数
(建议用时:45 分钟)
A 组 全考点巩固练
1.(2020·日照一模)已知复数 z 满足 z(1+2i)=i,则复数 z 在复平面内对应点所在的象
限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A 解析:由 z(1+2i)=i,
得 z=
i
1+2i
=
i 1-2i
5
=
i+2
5
=
2
5
+
1
5
i,
所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为
2
5
,
1
5 ,在第一象限.
2.(2020·某某模拟)设 i 是虚数单位,若复数 a+
5i
2+i
(a∈R)是纯虚数,则 a 的值为( )
A.-3B.3
C.1D.-1
D 解析:a+
5i
2+i
=a+
5i 2-i
2+i 2-i
=a+2i+1=(a+1)+2i.
因为纯虚数,所以 a+1=0,则 a=-1.
3.若复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=1+i,则
z1
z2
=( )
A.iB.-i
C.1D.-1
B 解析:z1=1+i,复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,所以 z2=-1+i,
所以
z1
z2
=
1+i
-1+i
=
1+i -1-i
-1+i -1-i
=
-2i
2
=-i.
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4.(多选题)已知复数 z=1+cos 2θ+isin 2θ
-
π
2
<θ<
π
2 ,下列说法正确的是
( )
A.复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z 可能为实数
C.|z|=2cos θ
D.
1
z
的实部为
1
2
BCD 解析:z=1+cos 2θ+isin 2θ=2cos θ(cos θ+isin θ).
因为-
π
2
<θ<
π
2
,所以 cos θ>0,sin θ∈(-1,1).
则复数 z 在复平面上对应的点不可能落在第二象限.
z 可能为实数.|z|=2cos θ.
1
z
=
1
2cos θ cos θ+isin θ
=
cos θ-isin θ
2cos θ
=
1
2
-
i
2
tan θ,
1
z
的实部为
1
2
.故选 BCD.
5.已知 i 是虚数单位,i-1 是关于 x 的方程式 x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则
p+q=( )
A.4B.-4
C.2D.-2
A 解析:因为 i-1 是关于 x 的方程 x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,所以方程的
另一个根为-1-i,
所以-1+i+(-1-i)=-p,p=2,q=(-1+i)·(-1-i)=2,所以 p+q=4.
6.复数 z=|( 3-i)i|+i2 021(i 为虚数单位),则|z|=________.
5解析:z=|1+ 3i|+i2 020+1=2+i,所以|z|= 5.
7.已知复数 z 满足 z(1+i)=2- z ,则 z2=________.
-4 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi.
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所以(a+bi)(1+i)=2-(a-bi),
所以(a-b)+(a+b)i=(2-a)+bi,
所以
a-b=2-a,
a+b=b,
所以
a=0,
b=-2.
所以 z=-2i,z2=4i2=-4.
8.如图,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)AO→ ,BC→ 所表示的复数;
(2)对角线CA→ 所表示的复数;
(3)点 B 对应的复数.
解:(1)AO→ =-OA→ ,所以AO→ 所表示的复数为-3-2i.
因为BC→=AO→ ,所以BC→ 所表示的复数为-3-2i.
(2)CA→ =OA→ -OC→ ,所以CA→ 所表示的复数为
(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)OB→ =OA→ +AB→ =OA→ +OC→ ,
所以OB→ 所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
即点 B 对应的复数为 1+6i.
B 组 新高考培优练
9.(多选题)已知集合 M={m|m=in,n∈N},其中 i 为虚数单位,则下列元素属于集
合 M 的是( )
A.(1-i)(1+i) B.
1-i
1+i
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C.
1+i
1-i
D.(1-i)2
BC 解析:根据题意,M={m|m=in,n∈N}中,
n=4k(k∈N)时,in=1;
n=4k+1(k∈N)时,in=i;
n=4k+2(k∈N)时,in=-1;
n=4k+3(k∈N)时,in=-i,
所以 M={-1,1,i,-i}.
选项 A 中,(1-i)(1+i)=2∉ M;
选项 B 中,
1-i
1+i
=
1-i 2
1+i 1-i
=-i∈M;
选项 C 中,
1+i
1-i
=
1+i 2
1-i 1+i
=i∈M;
选项 D 中,(1-i)2=-2i∉ M.
故选 BC.
10.(多选题)设复数 z 满足(1+i)z=2i(其中 i 为虚数单位),则下列结论正确的是( )
A.|z|=2B.z 的虚部为 i
C.z2=2iD.z 的共轭复数为 1-i
CD 解析:由(1+i)z=2i,得 z=
2i
1+i
=
2i 1-i
1+i 1-i
=1+i,所以|z|= 2,z 的
虚部为 1,z2=(1+i)2=2i,z 的共轭复数为 1-i.故选 CD.
11.(多选题)(2021·八省联考)设 z1,z2,z3 为复数,z1≠0.下列命题中正确的是( )
A.若|z2|=|z3|,则 z2=±z3
B.若 z1z2=z1z3,则 z2=z3
C.若 z
-
2=z3,则|z1z2|=|z1z3|
D.若 z1z2=|z1|2,则 z1=z2
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BC 解析:由|z2|=|z3|不能得到 z2=±z3,例如 z2=1+i,z3=1-i,A 错误.由 z1z2
=z1z3 可得 z1(z2-z3)=0.因为 z1≠0,所以 z2-z3=0,即 z2=z3,B 正确.因为|z1z2|=|z1||z2|,
|z1z3|=|z1||z3|,而 z
-
2=z3,所以|z
-
2|=|z3|=|z2|.所以|z1z2|=|z1z3|,C 正确.取 z1=1+i,
z2=1-i,显然满足 z1z2=|z1|2,但 z1≠z2,D 错误.故选 BC.
12.已知 a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2=________,ab=________.
5 2 解析:(方法一)因为(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,b∈R,
所以
a2-b2=3,
2ab=4,
所以
a2-
4
a2
=3,
ab=2,
所以
a2=4,
ab=2.
所以 a2+b2=a2+
4
a2
=5,ab=2.
(方法二)由方法一知 ab=2,
又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,
所以 a2+b2=5.
13.已知复数 z=bi(b∈R),
z-2
1+i
是实数,i 是虚数单位.
(1)求复数 z;
(2)若复数(m+z)2 所表示的点在第一象限,某某数 m 的取值 X 围.
解:(1)因为 z=bi(b∈R),
所以
z-2
1+i
=
bi-2
1+i
=
bi-2 1-i
1+i 1-i
=
b-2 + b+2 i
2
=
b-2
2
+
b+2
2
i.
又因为
z-2
1+i
是实数,所以
b+2
2
=0,
所以 b=-2,即 z=-2i.
(2)因为 z=-2i,m∈R,
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所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2
=(m2-4)-4mi.
又因为复数(m+z)2 所表示的点在第一象限,
所以
m2-4>0,
-4m>0,
解得 m