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五十三 随机抽样
(建议用时:45 分钟)
A 组 全考点巩固练
1.(多选题)为了了解参加运动会的 2 000 名运动员的年龄情况,从中抽取了 20 名运
动员的年龄进行统计分析.就这个问题,下列说法中正确的有( )
A.2 000 名运动员是总体
B.所抽取的 20 名运动员是一个样本
C.样本容量为 20
D.每个运动员被抽到的机会相等
CD 解析:由已知可得,2 000 名运动员的年龄是总体,20 名运动员的年龄是样本,
总体容量为 2 000,样本容量为 20,在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为
1
100
,
所以 A,B 错误,C,D 正确.
2.下列抽样试验中,适合用抽签法的为( )
A.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验
D.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
B 解析:因为 A,D 中总体的个体数较大,不适合用抽签法;C 中甲、乙两厂生产的
产品质量可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法;B 中总体容量和
样本容量都较小,且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.
3.某中学有高中生 3 500 人,初中生 1 500 人.为了了解学生的学习情况,用分层抽
样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本.已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( )
A.100B.150
C.200D.250
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A 解析:(方法一)由题意可得
70
n-70
=
3 500
1 500
,解得 n=100.
(方法二)由题意得,抽样比为
70
3 500
=
1
50
,总体容量为 3 500+1 500=5 000,故 n=
5 000×
1
50
=100.
4.总体由编号为 01,02,03,…,49,50 的 50 个个体组成,利用随机数表(以下选取了
随机数表中的第 1 行和第 2 行)选取 5 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第
10 列数字开始,由左向右读取,则选出来的第 4 个个体的编号为
( )
第 1 行:66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
第 2 行:57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90
A.05B.09
C.11D.20
B 解析:从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始,由左向右读取,符合条件
的数有 14,05,11,05,09,因为 05 出现了两次,所以选出来的第 4 个个体的编号为 09.
5.在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个
作为样本:
①采用随机抽样法,将零件编号为 00,01,02,…,99,抽出 20 个;
②采用分层抽样法,随机从一级品中抽取 4 个,二级品中抽取 6 个,三级品中抽取 10
个.
则下列说法正确的是( )
A.不论采取哪种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是
1
5
B.用抽样方法①,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是
1
5
,②并非如此
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C.用抽样方法②,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是
1
5
,①并非如此
D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率各不相同
A 解析:由抽样方法的性质知,抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等,这个比例
只与样本容量和总体容量有关.
6.从 300 名学生(其中男生 180 人,女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 50
人参加比赛,则应该抽取男生人数为________.
30 解析:因为男生与女生的比例为 180∶120=3∶2,所以应该抽取男生人数为 50×
3
3+2
=30.
7.某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本
时,先将该班 70 名同学按 00,01,02,…,69 进行编号,然后从随机数表第 9 行第 9 列的
数开始向右读,则选出的 10 个样本中第 8 个样本的编号是________.
(注:以下是随机数表的第 8 行和第 9 行)
第 8 行:63 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38
79
第 9 行:33 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79
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38 解析:由随机数表知选出的 10 个样本依次是 29,64,56,07,52,42,44,38,
15,51,所以第 8 个样本的编号是 38.
8.为了检验某校高一年级学生的身高情况,采用先分层随机抽样后简单随机抽样的方
法,抽取一个容量为 210 的样本.已知每个学生被抽到的概率为 0.3,且男女生的比是 4∶
3,则该校高一年级女生的人数是________.
300 解析:抽取的高一年级女生的人数为 210×
3
7
=90,则该校高一年级女生的人数
为 90÷0.3=300.
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9.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队,人数分别为 30,30,40.为了检测该大
队的射击水平,从整个大队用分层随机抽样共抽取了 30 人进行射击考核,统计得三个中队
参加射击比赛的平均环数分别为 8.8 环、8.5 环、8.1 环.试估计该武警大队队员的平均射
击环数.
解:该武警大队共有 30+30+40=100(人),按比例分配,知第一中队参加考核的人
数为
30
100
×30=9;
第二中队参加考核的人数为
30
100
×30=9;
第三中队参加考核的人数为
40
100
×30=12.
所以参加考核的 30 人的平均射击环数为
9
30
×8.8+
9
30
×8.5+
12
30
×8.1=8.43.
所以估计该武警大队的平均射击水平为 8.43 环.
B 组 新高考培优练
10.(多选题)分层随机抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层
独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中
有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,
关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持 560 钱,乙持 350 钱,
丙持 180 钱.甲、乙、丙三人一起出关,关税共 100 钱,要按照各人带钱多少的比例进行
交税.问三人各应付多少税?下列说法正确的是( )
A.甲应付 51
41
109
钱
B.乙应付 32
24
109
钱
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C.丙应付 16
56
109
钱
D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
ACD 解析:依题意,由分层抽样可知,100÷(560+350+180)=
10
109
,
则甲应付
10
109
×560=51
41
109
(钱);
乙应付
10
109
×350=32
12
109
(钱);
丙应付
10
109
×180=16
56
109
(钱).
11.交通管理部门为了了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、
乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社
区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,
则这四个社区驾驶员的总人数 N 为( )
A.101B.808
C.1 212D.2 012
B 解析:甲社区每个个体被抽到的概率为
12
96
=
1
8
,样本容量为 12+21+25+43=101,
所以四个社区中驾驶员的总人数 N=
101
1
8
=808.
12.用简单随机抽样的方法从含有 10 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本,其中
某一个体 a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.
1
10
,
1
10
B.
3
10
,
1
5
C.
1
5
,
3
10
D.
3
10
,
3
10
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A 解析:在抽样过程中,个体 a 每一次被抽中的概率是相等的.因为总体容量为 10,
所以个体 a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
1
10
.故选 A.
13.某工厂的三个车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴,在出厂前要检查这批产品的
质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽取.若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为
a,b,c,且 a,b,c 构成等差数列,则第二车间生产的产品数为________.
1 200 解析:因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c.所以
a+b+c
3
=b,故第二车
间抽取的产品数占抽样产品总数的
1
3
.根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总
数的
1
3
,即为
1
3
×3 600=1 200.
14.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示.为
了了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层随机抽样的方法抽取 20%的户主进行调
查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为________.
100,8 解析:样本容量为(150+250+100)×20%=100,所以抽取的户主对四居室满
意的人数为 100×
100
150+250+100
×40%=8.
15.某市两所高级中学在暑假联合组织全体教师外出旅游,活动分为两条线路:华东
五市游和长白山之旅,且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中,高一
教师占 42.5%,高二教师占 47.5%,高三教师占 10%.参加华东五市游的教师占参加活动总
人数的
1
4
,且该组中,高一教师占 50%,高二教师占 40%,高三教师占 10%.为了了解各条
线路不同年级的教师对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法,从参加活动的全体教师
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中抽取一个容量为 200 的样本.试确定:
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例;
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
解:(1)设参加华东五市游的人数为 x,参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教
师所占的比例分别为 a,b,c,则有
x·40%+3xb
4x
=47.5%,
x·10%+3xc
4x
=10%,解得 b=
50%,c=10%.故 a=100%-50%-10%=40%,即参加长白山之旅的高一教师、高二教
师、高三教师所占的比例分别为 40%,50%,10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为 200×
3
4
×40%=60;
抽取的高二教师人数为 200×
3
4
×50%=75;
抽取的高三教师人数为 200×
3
4
×10%=15.