2022版新教材高考数学一轮复习45圆的方程训练含解析新人教B版
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2022版新教材高考数学一轮复习45圆的方程训练含解析新人教B版

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资料简介
考试 1 / 8 四十五 圆的方程 (建议用时:45 分钟) A 组 全考点巩固练 1.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 A 解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则 x= x1+4 2 , y= y1-2 2 , 所以 x1=2x-4, y1=2y+2, 代入 x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1. 2.已知圆 C 经过 A(0,2),B(4,6)两点,且圆心 C 在直线 l:2x-y-3=0 上,则圆 C 的方程为( ) A.x2+y2-6x-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0 C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0 C 解析:因为线段 AB 的中点坐标为(2,4),直线 AB 的斜率为 6-2 4-0 =1,所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y-4=-(x-2),即 y=6-x.与直线 l 的方程联立,得圆心坐标为 (3,3).又圆的半径 r= 3-0 2+ 3-2 2= 10,所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y- 3)2=10,即 x2+y2-6x-6y+8=0. 3.(2021·某某中学高三月考)若圆 x2+y2-ax+2y+1=0 和圆 x2+y2=1 关于直线 y 考试 2 / 8 =x-1 对称,过点 C(-a,a)的圆 P 与 y 轴相切,则圆心 P 的轨迹方程是( ) A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0 C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y+1=0 C 解析:圆 x2+y2-ax+2y+1=0 的圆心为 a 2 ,-1 .因为圆 x2+y2-ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 关于直线 y=x-1 对称,所以圆心 a 2 ,-1 和(0,0)的中点为 a 4 ,- 1 2 , 所以 a 4 ,- 1 2 满足直线方程 y=x-1,解得 a=2. 过点 C(-2,2)的圆 P 与 y 轴相切,圆心 P 的坐标为(x,y), 所以 x+2 2+ y-2 2=|x|,解得 y2+4x-4y+8=0, 所以圆心 P 的轨迹方程是 y2+4x-4y+8=0.故选 C. 4.(多选题)已知圆 M 的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是( ) A.圆 M 的圆心为(4,-3) B.圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8 C.圆 M 的半径为 25 D.圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6 ABD 解析:圆 M 的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25. 圆的圆心坐标(4,-3),半径为 5. 显然选项 C 不正确,ABD 均正确. 5.若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则实数 a 的取值 X 围是________. -2, 2 3 解析:若方程 x+ a 2 2+(y+a)2=1-a- 3a2 4 表示圆,则 1-a- 3a2 4 >0,解得 考试 3 / 8 -2<a< 2 3 . 6.(2020·某某高三一模)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为__________. (x-2)2+y2=10 解析:由圆的几何性质得,圆心在 AB 的垂直平分线上,结合题意知, AB 的垂直平分线的方程为 y=2x-4.令 y=0,得 x=2,故圆心坐标为(2,0),所以圆的半 径为 5-2 2+ 1-0 2= 10,故圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 7.(2020·某某高三一模)在直角坐标系中,已知 A(1,0),B(4,0).若直线 x+my-1 =0 上存在点 P,使得|PA|=2|PB|,则实数 m 的取值 X 围是____________. (-∞,- 3]∪[ 3,+∞)解析:设点 P 的坐标为(x,y).因为|PA|=2|PB|,所以 x-1 2+y2=2 x-4 2+y2, 化简得(x-5)2+y2=4,则动点 P 的轨迹是以(5,0)为圆心,半径为 2 的圆. 由题意可知,直线 x+my-1=0 与圆(x-5)2+y2=4 有公共点, 则 4 1+m2 ≤2,解得 m≤- 3或 m≥ 3. 因此,实数 m 的取值 X 围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞). 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得 线段长为 2 3. (1)求圆心 C 的轨迹方程; (2)若点 C 到直线 y=x 的距离为 2 2 ,求圆 C 的方程. 解:(1)设 C(x,y),圆 C 的半径为 r. 由题意得 y2+2=r2,x2+3=r2, 从而 y2+2=x2+3, 故 C 的轨迹方程为 y2-x2=1. 考试 4 / 8 (2)设 C(x0,y0),由已知得 |x0-y0| 2 = 2 2 . 又点 C 在双曲线 y2-x2=1 上, 从而得 |x0-y0|=1, y2 0-x2 0=1, 解得 x0=0, y0=-1 或 x0=0, y0=1. 此时,圆 C 的半径 r= 3, 故圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3. 9.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两 点,|AB|=8. (1)求 l 的方程; (2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 解:(1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k>0).设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由 y=k x-1 , y2=4x, 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故 x1+x2= 2k2+4 k2 . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= 4k2+4 k2 . 由题设知 4k2+4 k2 =8,解得 k=-1(舍去)或 k=1. 因此直线 l 的方程为 y=x-1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2), 所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0), 考试 5 / 8 则 y0=-x0+5, x0+1 2= y0-x0+1 2 2 +16, 解得 x0=3, y0=2 或 x0=11, y0=-6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. B 组 新高考培优练 10.(多选题)若圆Ω过点(0,-1),(0,5),且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7,则 圆Ω的方程为( ) A.x2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y-2)2=10 C.(x+4)2+(y-2)2=25 D.(x-4)2+(y-1)2=16 AC 解析:因为圆Ω过点(0,-1),(0,5),所以圆心在直线 y=2 上. 设圆心坐标为(a,2), 由题意得 |a-2| 2 = a2+ 5-2 2- 2 7 2 2, 解得 a=0 或 a=-4. 当 a=0 时,圆心坐标为(0,2),半径为 3; 当 a=-4 时,圆心坐标为(-4,2),半径为 5, 所以圆Ω的方程为 x2+(y-2)2=9 或(x+4)2+(y-2)2=25. 11.(多选题)如图,A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD ︵ 是以 OD 为直径的圆 上一段圆弧,CB ︵ 是以 BC 为直径的圆上一段圆弧,BA ︵ 是以 OA 为直径的圆上一段圆弧, 三段弧构成曲线 W.则下述正确的是( ) 考试 6 / 8 A.曲线 W 与 x 轴围成的面积等于 2π B.曲线 W 上有 5 个整点(横纵坐标均为整数的点) C.CB ︵ 所在圆的方程为 x2+(y-1)2=1 D.CB ︵ 与BA ︵ 的公切线方程为 x+y= 2+1 BCD 解析:如图,曲线 W 与 x 轴围成的图形为以(0,1)为圆心,1 为半径的半圆加上 以(1,0)为圆心,1 为半径的 1 4 圆,加上以(-1,0)为圆心,1 为半径的 1 4 圆,加上长为 2,宽为 1 的矩形. 可得其面积为 1 2 π+ 1 2 π+2=2+π≠2π,故 A 错误; 曲线 W 上有(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,1),(2,0)共 5 个整点,故 B 正确; CB ︵ 是以(0,1)为圆心,1 为半径的圆,其所在圆的方程为 x2+(y-1)2=1,故 C 正确; 由图易知公切线l 平行直线 GF:y=-x+1,且两直线间距离为1,设l:y=-x+b(b>0), 则 |b-1| 2 =1,解得 b=1+ 2或 b=1- 2(舍),∴l:y=-x+1+ 2,故 D 正确. 12.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴 的正半轴相切于点 A.若∠FAC=120°,则圆的方程为__________. (x+1)2+(y- 3)2=1 解析:由题意知该圆的半径为 1,设圆心坐标为 C(-1,a)(a>0), 则 A(0,a). 考试 7 / 8 又 F(1,0),所以AC→ =(-1,0),AF→=(1,-a). 由题意得AC→ 与AF→的夹角为 120°,得 cos 120°= -1 1× 1+a2 =- 1 2 ,解得 a= 3. 所以圆的方程为(x+1)2+(y- 3)2=1. 13.已知实数 x,y 满足 x2+y2-6x+8y-11=0,则 x2+y2的最大值为________,|3x +4y-28|的最小值为________. 11 5 解析:由题意知圆的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=36,其表示的是一个圆心为 (3,-4),半径为 6 的圆,而 x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离,所以( x2+y2)max = 32+ -4 2+6=11.由圆的标准方程(x-3)2+(y+4)2=36,可设其圆上点的坐标为 x=6cos θ+3, y=6sin θ-4 (θ为参数),所以|3x+4y-28|=|18cos θ+24sin θ-35|=|30sin(θ +φ)-35| 其中 tan φ= 3 4 ,所以当 sin(θ+φ)=1 时,|3x+4y-28|min=5. 14.(2020·潍坊高三月考)已知圆 C:(x+2)2+y2=5,直线 l:mx-y+1+2m=0, m∈R. (1)证明:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A,B. (2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线. (3)是否存在实数 m,使得圆 C 上有四点到直线 l 的距离为 4 5 5 ?若存在,求出 m 的取 值 X 围;若不存在,说明理由. (1)证明:(方法一)圆 C:(x+2)2+y2=5 的圆心为 C(-2,0),半径为 5,所以圆心 C 到直线 l:mx-y+1+2m=0 的距离为|-2m+1+2m 1+m2 |=| 1 1+m2|< 5. 所以直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. (方法二)直线 l:mx-y+1+2m=0 的方程可化为 m(x+2)+(1-y)=0,所以直线 l 过定点(-2,1).因为(-2+2)2+12=12 或 m

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