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四十五 圆的方程
(建议用时:45 分钟)
A 组 全考点巩固练
1.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
A 解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则
x=
x1+4
2
,
y=
y1-2
2
,
所以
x1=2x-4,
y1=2y+2,
代入 x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
2.已知圆 C 经过 A(0,2),B(4,6)两点,且圆心 C 在直线 l:2x-y-3=0 上,则圆 C
的方程为( )
A.x2+y2-6x-16=0
B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0
D.x2+y2-2x+2y-56=0
C 解析:因为线段 AB 的中点坐标为(2,4),直线 AB 的斜率为
6-2
4-0
=1,所以线段 AB
的垂直平分线方程为 y-4=-(x-2),即 y=6-x.与直线 l 的方程联立,得圆心坐标为
(3,3).又圆的半径 r= 3-0 2+ 3-2 2= 10,所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-
3)2=10,即 x2+y2-6x-6y+8=0.
3.(2021·某某中学高三月考)若圆 x2+y2-ax+2y+1=0 和圆 x2+y2=1 关于直线 y
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=x-1 对称,过点 C(-a,a)的圆 P 与 y 轴相切,则圆心 P 的轨迹方程是( )
A.y2-4x+4y+8=0
B.y2+2x-2y+2=0
C.y2+4x-4y+8=0
D.y2-2x-y+1=0
C 解析:圆 x2+y2-ax+2y+1=0 的圆心为
a
2
,-1
.因为圆 x2+y2-ax+2y+1=0
与圆 x2+y2=1 关于直线 y=x-1 对称,所以圆心
a
2
,-1
和(0,0)的中点为
a
4
,-
1
2 ,
所以
a
4
,-
1
2 满足直线方程 y=x-1,解得 a=2.
过点 C(-2,2)的圆 P 与 y 轴相切,圆心 P 的坐标为(x,y),
所以 x+2 2+ y-2 2=|x|,解得 y2+4x-4y+8=0,
所以圆心 P 的轨迹方程是 y2+4x-4y+8=0.故选 C.
4.(多选题)已知圆 M 的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是( )
A.圆 M 的圆心为(4,-3)
B.圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8
C.圆 M 的半径为 25
D.圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6
ABD 解析:圆 M 的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.
圆的圆心坐标(4,-3),半径为 5.
显然选项 C 不正确,ABD 均正确.
5.若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则实数 a 的取值 X 围是________.
-2,
2
3 解析:若方程
x+
a
2 2+(y+a)2=1-a-
3a2
4
表示圆,则 1-a-
3a2
4
>0,解得
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-2<a<
2
3
.
6.(2020·某某高三一模)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C
的方程为__________.
(x-2)2+y2=10 解析:由圆的几何性质得,圆心在 AB 的垂直平分线上,结合题意知,
AB 的垂直平分线的方程为 y=2x-4.令 y=0,得 x=2,故圆心坐标为(2,0),所以圆的半
径为 5-2 2+ 1-0 2= 10,故圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10.
7.(2020·某某高三一模)在直角坐标系中,已知 A(1,0),B(4,0).若直线 x+my-1
=0 上存在点 P,使得|PA|=2|PB|,则实数 m 的取值 X 围是____________.
(-∞,- 3]∪[ 3,+∞)解析:设点 P 的坐标为(x,y).因为|PA|=2|PB|,所以
x-1 2+y2=2 x-4 2+y2,
化简得(x-5)2+y2=4,则动点 P 的轨迹是以(5,0)为圆心,半径为 2 的圆.
由题意可知,直线 x+my-1=0 与圆(x-5)2+y2=4 有公共点,
则
4
1+m2
≤2,解得 m≤- 3或 m≥ 3.
因此,实数 m 的取值 X 围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞).
8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得
线段长为 2 3.
(1)求圆心 C 的轨迹方程;
(2)若点 C 到直线 y=x 的距离为
2
2
,求圆 C 的方程.
解:(1)设 C(x,y),圆 C 的半径为 r.
由题意得 y2+2=r2,x2+3=r2,
从而 y2+2=x2+3,
故 C 的轨迹方程为 y2-x2=1.
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(2)设 C(x0,y0),由已知得
|x0-y0|
2
=
2
2
.
又点 C 在双曲线 y2-x2=1 上,
从而得
|x0-y0|=1,
y2
0-x2
0=1,
解得
x0=0,
y0=-1
或
x0=0,
y0=1.
此时,圆 C 的半径 r= 3,
故圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3.
9.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两
点,|AB|=8.
(1)求 l 的方程;
(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k>0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).
由
y=k x-1 ,
y2=4x,
得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故 x1+x2=
2k2+4
k2
.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=
4k2+4
k2
.
由题设知
4k2+4
k2
=8,解得 k=-1(舍去)或 k=1.
因此直线 l 的方程为 y=x-1.
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),
所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
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则
y0=-x0+5,
x0+1 2=
y0-x0+1 2
2
+16,
解得
x0=3,
y0=2
或
x0=11,
y0=-6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.
B 组 新高考培优练
10.(多选题)若圆Ω过点(0,-1),(0,5),且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7,则
圆Ω的方程为( )
A.x2+(y-2)2=9
B.(x-1)2+(y-2)2=10
C.(x+4)2+(y-2)2=25
D.(x-4)2+(y-1)2=16
AC 解析:因为圆Ω过点(0,-1),(0,5),所以圆心在直线 y=2 上.
设圆心坐标为(a,2),
由题意得
|a-2|
2
= a2+ 5-2 2-
2 7
2 2,
解得 a=0 或 a=-4.
当 a=0 时,圆心坐标为(0,2),半径为 3;
当 a=-4 时,圆心坐标为(-4,2),半径为 5,
所以圆Ω的方程为 x2+(y-2)2=9 或(x+4)2+(y-2)2=25.
11.(多选题)如图,A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD
︵
是以 OD 为直径的圆
上一段圆弧,CB
︵
是以 BC 为直径的圆上一段圆弧,BA
︵
是以 OA 为直径的圆上一段圆弧,
三段弧构成曲线 W.则下述正确的是( )
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A.曲线 W 与 x 轴围成的面积等于 2π
B.曲线 W 上有 5 个整点(横纵坐标均为整数的点)
C.CB
︵
所在圆的方程为 x2+(y-1)2=1
D.CB
︵
与BA
︵
的公切线方程为 x+y= 2+1
BCD 解析:如图,曲线 W 与 x 轴围成的图形为以(0,1)为圆心,1 为半径的半圆加上
以(1,0)为圆心,1 为半径的
1
4
圆,加上以(-1,0)为圆心,1 为半径的
1
4
圆,加上长为 2,宽为
1 的矩形.
可得其面积为
1
2
π+
1
2
π+2=2+π≠2π,故 A 错误;
曲线 W 上有(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,1),(2,0)共 5 个整点,故 B 正确;
CB
︵
是以(0,1)为圆心,1 为半径的圆,其所在圆的方程为 x2+(y-1)2=1,故 C 正确;
由图易知公切线l 平行直线 GF:y=-x+1,且两直线间距离为1,设l:y=-x+b(b>0),
则
|b-1|
2
=1,解得 b=1+ 2或 b=1- 2(舍),∴l:y=-x+1+ 2,故 D 正确.
12.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴
的正半轴相切于点 A.若∠FAC=120°,则圆的方程为__________.
(x+1)2+(y- 3)2=1 解析:由题意知该圆的半径为 1,设圆心坐标为 C(-1,a)(a>0),
则 A(0,a).
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又 F(1,0),所以AC→ =(-1,0),AF→=(1,-a).
由题意得AC→ 与AF→的夹角为 120°,得 cos 120°=
-1
1× 1+a2
=-
1
2
,解得 a= 3.
所以圆的方程为(x+1)2+(y- 3)2=1.
13.已知实数 x,y 满足 x2+y2-6x+8y-11=0,则 x2+y2的最大值为________,|3x
+4y-28|的最小值为________.
11 5 解析:由题意知圆的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=36,其表示的是一个圆心为
(3,-4),半径为 6 的圆,而 x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离,所以( x2+y2)max
= 32+ -4 2+6=11.由圆的标准方程(x-3)2+(y+4)2=36,可设其圆上点的坐标为
x=6cos θ+3,
y=6sin θ-4
(θ为参数),所以|3x+4y-28|=|18cos θ+24sin θ-35|=|30sin(θ
+φ)-35|
其中 tan φ=
3
4 ,所以当 sin(θ+φ)=1 时,|3x+4y-28|min=5.
14.(2020·潍坊高三月考)已知圆 C:(x+2)2+y2=5,直线 l:mx-y+1+2m=0,
m∈R.
(1)证明:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A,B.
(2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.
(3)是否存在实数 m,使得圆 C 上有四点到直线 l 的距离为
4 5
5
?若存在,求出 m 的取
值 X 围;若不存在,说明理由.
(1)证明:(方法一)圆 C:(x+2)2+y2=5 的圆心为 C(-2,0),半径为 5,所以圆心 C
到直线 l:mx-y+1+2m=0 的距离为|-2m+1+2m
1+m2 |=| 1
1+m2|< 5.
所以直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
(方法二)直线 l:mx-y+1+2m=0 的方程可化为 m(x+2)+(1-y)=0,所以直线 l
过定点(-2,1).因为(-2+2)2+12=12 或 m