2022版新教材高考数学一轮复习48双曲线训练含解析新人教B版
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2022版新教材高考数学一轮复习48双曲线训练含解析新人教B版

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资料简介
考试 1 / 11 四十八 双曲线 (建议用时:45 分钟) A 组 全考点巩固练 1.(2021·泸县高三月考)已知双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的焦距为 4 2,且两条渐 近线互相垂直,则该双曲线的实轴长为( ) A.2B.4 C.6D.8 B 解析:双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± b a x. 因为两条渐近线互相垂直,所以- b a 2 =-1,得 a=b. 因为双曲线的焦距为 4 2,所以 c=2 2. 由 c2=a2+b2 得 2a2=8,解得 a=2,所以实轴长为 2a=4. 2.(2020·某某自治区高三二模)已知双曲线 C: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的顶点分别为 A1,A2,以线段 A1A2 为直径的圆与直线 ax+by-2ab=0 相切,且双曲线 C 的焦距为 4, 则双曲线 C 的方程为( ) A. x2 3 -y2=1 B. x2 9 - y2 3 =1 C.x2- y2 3 =1 D. y2 9 - x2 3 =1 A 解析:由题意知,圆的半径为 a,圆心为(0,0).设圆心到直线的距离为 d,则 d= |-2ab| a2+b2 =a, 所以 a2=3b2. 因为双曲线的焦距为 4,所以 c=2,又 c2=a2+b2,解得 a= 3,b=1, 考试 2 / 11 所以双曲线的方程为 x2 3 -y2=1. 3.(2020·某某市高三二模)已知曲线 C 的方程为 x2 k2-2 - y2 6-k =1(k∈R),则下列结论 正确的是( ) A.当 k=8 时,曲线 C 为椭圆,其焦距为 4+ 15 B.当 k=2 时,曲线 C 为双曲线,其离心率为 3 C.存在实数 k 使得曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线 D.当 k=3 时,曲线 C 为双曲线,其渐近线与圆(x-4)2+y2=9 相切 B 解析:对于 A,当 k=8 时,曲线 C 的方程为 x2 62 + y2 2 =1,轨迹为椭圆,焦距为 2c =2 62-2=4 15,A 错误; 对于 B,当 k=2 时,曲线 C 的方程为 x2 2 - y2 4 =1,轨迹为双曲线,则 a= 2,c= 6, 所以离心率 e= c a = 3,B 正确; 对于 C,若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 6-k0)的右焦点,A 为 C 的右 顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为________. 2 解析:点 B 为双曲线的通径位于第一象限的端点,其坐标为 c, b2 a ,点 A 的坐标为 (a,0).因为 AB 的斜率为 3,所以 b2 a c-a =3,即 c2-a2 a c-a = c+a a =e+1=3,所以 e=2. 7.(2020·某某市高三模拟)已知双曲线 C: x2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线与圆 F:(x -2)2+y2=3 相切,且双曲线 C 的一个焦点与圆 F 的圆心重合,则双曲线 C 的方程为 ____________. x2- y2 3 =1 解析:由题意,圆 F:(x-2)2+y2=3 的圆心 F(2,0)是双曲线 C 的右焦点, 所以 c=2. 考试 5 / 11 双曲线 C 的渐近线方程为 y=± b a x. 因为双曲线 C 的渐近线与圆 F 相切, 所以圆心 F(2,0)到直线 y= b a x 的距离等于圆的半径,即 |2b-0| a2+b2 = 3.所以 b2=3a2. 又 c2=a2+b2=4,所以 a2=1,b2=3.所以双曲线 C 的方程为 x2- y2 3 =1. 8.已知双曲线 C:x2-y2=m(m>0)的焦距为 4 2,且它的渐近线与圆 x2+(y-m)2 =16 有交点,连接所有交点的线段围成了几何图形 M,则几何图形 M 的面积为________. 16 解析:由双曲线 C:x2-y2=m(m>0),得 x2 m - y2 m =1,则 c= a2+b2= 2m=2 2, 解得 m=4.所以双曲线的渐近线方程为 y=±x. 圆 x2+(y-m)2=16 化为 x2+(y-4)2=16,如图. 联立 y=x, x2+ y-4 2=16, 解得 B(4,4); 联立 y=-x, x2+ y-4 2=16, 解得 A(-4,4). 所以几何图形 M 的面积为 1 2 ×8×4=16. 9.(2019·高三月考)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离 心率为 2,且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线的方程; (2)求证:MF1 → ·MF2 → =0; (3)求△F1MF2 的面积. (1)解:因为 e= 2,所以双曲线的实轴、虚轴相等. 可设双曲线方程为 x2-y2=λ. 考试 6 / 11 因为双曲线过点(4,- 10), 所以 16-10=λ,即λ=6. 所以双曲线方程为 x2 6 - y2 6 =1. (2)证明:不妨设 F1,F2 分别为左、右焦点, 则MF1 → =(-2 3-3,-m),MF2 → =(2 3-3,-m), 所以MF1 → ·MF2 → =(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2. 因为点 M 在双曲线上, 所以 9-m2=6,即 m2-3=0,所以MF1 → ·MF2 → =0. (3)解:△F1MF2 的底边|F1F2|=4 3. 由(2)知 m=± 3, 所以△F1MF2 的高 h=|m|= 3, 所以 S△F1MF1= 1 2 ×4 3× 3=6. B 组 新高考培优练 10.(多选题)(2020·某某市高三二模)已知动点 P 在双曲线 C:x2- y2 3 =1 上,双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1,F2,下列结论正确的是( ) A.双曲线 C 的离心率为 2 B.双曲线 C 的渐近线方程为 y=± 3 3 x C.动点 P 到两条渐近线的距离之积为定值 D.当动点 P 在双曲线 C 的左支上时, |PF1| |PF2|2 的最大值为 1 4 AC 解析:对于双曲线 C:x2- y2 3 =1,a=1,b= 3,c=2,所以双曲线 C 的离心 考试 7 / 11 率为 e= c a =2,渐近线方程为 y=± 3x,A 选项正确,B 选项错误; 设点 P 的坐标为(x0,y0),则 x2 0- y2 0 3 =1,双曲线 C 的两条渐近线方程分别为 x- 3 3 y =0 和 x+ 3 3 y=0,则点 P 到两条渐近线的距离之积为 |x0- 3 3 y0| 1+ - 3 3 2 · |x0+ 3 3 y0| 1+ 3 3 2 = |x2 0- y2 0 3 | 4 3 = 3 4 ,C 选项正确; 当动点 P 在双曲线 C 的左支上时,|PF1|≥c-a=1,|PF2|=2a+|PF1|=|PF1|+2, 所以 |PF1| |PF2|2 = |PF1| |PF1|+2 2 = |PF1| |PF1|2+4+4|PF1| = 1 |PF1|+ 4 |PF1| +4 ≤ 1 2 |PF1|· 4 |PF1| +4 = 1 8 ,当且仅当|PF1|=2 时,等号成立,所以 |PF1| |PF2|2 的最大值为 1 8 ,D 选项错误. 11.(2021·某某适应测试)已知 F1,F2 分别是双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦 点,P 是双曲线上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 π 6 ,则双曲线的渐近线 方程为( ) A.y=±2xB.y=± 1 2 x C.y=± 2 2 xD.y=± 2x D 解析:不妨设 P 为双曲线右支上一点,则|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2| 考试 8 / 11 =2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为 2c>2a, 4a>2a, 所以∠PF1F2 为 最小内角,故∠PF1F2= π 6 .由余弦定理,得 cos π 6 = 4a 2+ 2c 2- 2a 2 2·4a·2c = 3 2 ,即( 3a -c)2=0,所以 c= 3a,则 b= 2a,所以双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. 12.(多选题)已知双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,双曲 线的左焦点在直线 x+y+ 5=0 上,A,B 分别是双曲线的左、右顶点,点 P 为双曲线右 支上位于第一象限的动点,PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2 的取值可能为( ) A. 3 4 B.1 C. 4 3 D.2 CD 解析:由双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,可得 a =2b.由双曲线的左焦点在直线 x+y+ 5=0 上,可得-c=- 5,即 c= 5. 由 a2+b2=5,解得 a=2,b=1,双曲线的方程为 x2 4 -y2=1. 由题意可得 A(-2,0),B(2,0), 设 P(m,n), 可得 m2 4 -n2=1,即有 n2 m2-4 = 1 4 , 所以 k1k2= n m+2 · n m-2 = n2 m2-4 = 1 4 (k1,k2>0), 则 k1+k2≥2 k1k2=1. 由 A,B 为左右顶点,可得 k1≠k2,则 k1+k2>1. 13.(2020·某某模拟)已知椭圆 M: x2 a2 + y2 b2 =1(a>0,b>0),双曲线 N: x2 m2 - y2 n2 =1. 考试 9 / 11 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的 顶点,则椭圆 M 的离心率为________;双曲线 N 的离心率为________. 3-1 2 解析:如图,设椭圆的右焦点为 F(c,0),双曲线 N 的渐 近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A. 由题意可知 A c 2 , 3c 2 ,因为点 A 在椭圆 M 上,所以 c2 4a2 + 3c2 4b2 = 1,所以 b2c2+3a2c2=4a2b2.因为 b2=a2-c2,所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),所以 4a4-8a2c2+c4=0,所以 e4 椭圆-8e2 椭圆+4=0,所以 e2 椭圆=4±2 3,所以 e 椭圆= 3+1(舍去)或 e 椭圆= 3-1,所以椭圆 M 的离心率为 3-1.因为双曲线的渐近 线过点 A c 2 , 3c 2 ,所以渐近线方程为 y= 3x,所以 n m = 3,故双曲线的离心率 e 双曲线 = m2+n2 m2 =2. 14.已知椭圆 x2 4 + y2 m =1 与双曲线 x2- y2 n =1 的离心率分别为 e1,e2,且有公共的焦点 F1,F2,则 4e2 1-e2 2=________.若 P 为两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=________. 0 3 解析:由题意得椭圆的半焦距满足 c2 1=4-m,双曲线的半焦距满足 c2 2=1+n. 因为两曲线有相同的焦点,所以 4-m=1+n,即 m+n=3, 则 4e2 1-e2 2=4× 4-m 4 -(1+n)=3-(m+n)=0. 不妨设 F1,F2 分别为两曲线的左、右焦点,点 P 为两曲线在第一象限的交点, 则 |PF1|+|PF2|=4, |PF1|-|PF2|=2, 解得 |PF1|=3, |PF2|=1, 所以|PF1|·|PF2|=3. 15.(2021·八省联考)双曲线 C: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的左顶点为 A,右焦点为 F, 考试 10 / 11 动点 B 在 C 上.当 BF⊥AF 时,|AF|=|BF|. (1)求 C 的离心率; (2)若 B 在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF. (1)解:设双曲线的半焦距为 c, 则 F(c,0),B c,± b2 a . 因为|AF|=|BF|,所以 b2 a =a+c.故 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0.所以 e=2. (2)证明:设 B(x0,y0),其中 x0>a,y0>0. 因为 e=2,所以 c=2a,b= 3a. 故双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.所以∠BAF∈ 0, π 3 ,∠BFA∈ 0, 2π 3 . 当 x0>a,x0≠2a 时, tan∠BFA=- y0 x0-c =- y0 x0-2a ,tan∠BAF= y0 x0+a . 所以 tan 2∠BAF= 2y0 x0+a 1- y0 x0+a 2 = 2y0 x0+a x0+a 2-y2 0 = 2y0 x0+a x0+a 2-b2 x2 0 a2 -1 = 2y0 x0+a x0+a 2-3a2 x2 0 a2 -1 = 2y0 x0+a x0+a 2-3 x2 0-a2 考试 11 / 11 = 2y0 x0+a -3 x0-a =- y0 x0-2a =tan∠BFA. 因为 2∠BAF∈ 0, 2π 3 ,所以∠BFA=2∠BAF. 当 x0=2a 时,由(1)可得∠BFA= π 2 ,∠BAF= π 4 .所以∠BFA=2∠BAF. 综上,∠BFA=2∠BAF.

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