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四十八 双曲线
(建议用时:45 分钟)
A 组 全考点巩固练
1.(2021·泸县高三月考)已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的焦距为 4 2,且两条渐
近线互相垂直,则该双曲线的实轴长为( )
A.2B.4
C.6D.8
B 解析:双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=±
b
a
x.
因为两条渐近线互相垂直,所以-
b
a
2
=-1,得 a=b.
因为双曲线的焦距为 4 2,所以 c=2 2.
由 c2=a2+b2 得 2a2=8,解得 a=2,所以实轴长为 2a=4.
2.(2020·某某自治区高三二模)已知双曲线 C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的顶点分别为
A1,A2,以线段 A1A2 为直径的圆与直线 ax+by-2ab=0 相切,且双曲线 C 的焦距为 4,
则双曲线 C 的方程为( )
A.
x2
3
-y2=1 B.
x2
9
-
y2
3
=1
C.x2-
y2
3
=1 D.
y2
9
-
x2
3
=1
A 解析:由题意知,圆的半径为 a,圆心为(0,0).设圆心到直线的距离为 d,则 d=
|-2ab|
a2+b2
=a,
所以 a2=3b2.
因为双曲线的焦距为 4,所以 c=2,又 c2=a2+b2,解得 a= 3,b=1,
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所以双曲线的方程为
x2
3
-y2=1.
3.(2020·某某市高三二模)已知曲线 C 的方程为
x2
k2-2
-
y2
6-k
=1(k∈R),则下列结论
正确的是( )
A.当 k=8 时,曲线 C 为椭圆,其焦距为 4+ 15
B.当 k=2 时,曲线 C 为双曲线,其离心率为 3
C.存在实数 k 使得曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线
D.当 k=3 时,曲线 C 为双曲线,其渐近线与圆(x-4)2+y2=9 相切
B 解析:对于 A,当 k=8 时,曲线 C 的方程为
x2
62
+
y2
2
=1,轨迹为椭圆,焦距为 2c
=2 62-2=4 15,A 错误;
对于 B,当 k=2 时,曲线 C 的方程为
x2
2
-
y2
4
=1,轨迹为双曲线,则 a= 2,c= 6,
所以离心率 e=
c
a
= 3,B 正确;
对于 C,若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则
6-k0)的右焦点,A 为 C 的右
顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为________.
2 解析:点 B 为双曲线的通径位于第一象限的端点,其坐标为
c,
b2
a ,点 A 的坐标为
(a,0).因为 AB 的斜率为 3,所以
b2
a
c-a
=3,即
c2-a2
a c-a
=
c+a
a
=e+1=3,所以 e=2.
7.(2020·某某市高三模拟)已知双曲线 C:
x2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0)的渐近线与圆 F:(x
-2)2+y2=3 相切,且双曲线 C 的一个焦点与圆 F 的圆心重合,则双曲线 C 的方程为
____________.
x2-
y2
3
=1 解析:由题意,圆 F:(x-2)2+y2=3 的圆心 F(2,0)是双曲线 C 的右焦点,
所以 c=2.
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双曲线 C 的渐近线方程为 y=±
b
a
x.
因为双曲线 C 的渐近线与圆 F 相切,
所以圆心 F(2,0)到直线 y=
b
a
x 的距离等于圆的半径,即
|2b-0|
a2+b2
= 3.所以 b2=3a2.
又 c2=a2+b2=4,所以 a2=1,b2=3.所以双曲线 C 的方程为 x2-
y2
3
=1.
8.已知双曲线 C:x2-y2=m(m>0)的焦距为 4 2,且它的渐近线与圆 x2+(y-m)2
=16 有交点,连接所有交点的线段围成了几何图形 M,则几何图形 M 的面积为________.
16 解析:由双曲线 C:x2-y2=m(m>0),得
x2
m
-
y2
m
=1,则 c= a2+b2= 2m=2 2,
解得 m=4.所以双曲线的渐近线方程为 y=±x.
圆 x2+(y-m)2=16 化为 x2+(y-4)2=16,如图.
联立
y=x,
x2+ y-4 2=16,
解得 B(4,4);
联立
y=-x,
x2+ y-4 2=16,
解得 A(-4,4).
所以几何图形 M 的面积为
1
2
×8×4=16.
9.(2019·高三月考)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离
心率为 2,且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)求证:MF1
→ ·MF2
→ =0;
(3)求△F1MF2 的面积.
(1)解:因为 e= 2,所以双曲线的实轴、虚轴相等.
可设双曲线方程为 x2-y2=λ.
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因为双曲线过点(4,- 10),
所以 16-10=λ,即λ=6.
所以双曲线方程为
x2
6
-
y2
6
=1.
(2)证明:不妨设 F1,F2 分别为左、右焦点,
则MF1
→ =(-2 3-3,-m),MF2
→ =(2 3-3,-m),
所以MF1
→ ·MF2
→ =(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2.
因为点 M 在双曲线上,
所以 9-m2=6,即 m2-3=0,所以MF1
→ ·MF2
→ =0.
(3)解:△F1MF2 的底边|F1F2|=4 3.
由(2)知 m=± 3,
所以△F1MF2 的高 h=|m|= 3,
所以 S△F1MF1=
1
2
×4 3× 3=6.
B 组 新高考培优练
10.(多选题)(2020·某某市高三二模)已知动点 P 在双曲线 C:x2-
y2
3
=1 上,双曲线 C
的左、右焦点分别为 F1,F2,下列结论正确的是( )
A.双曲线 C 的离心率为 2
B.双曲线 C 的渐近线方程为 y=±
3
3
x
C.动点 P 到两条渐近线的距离之积为定值
D.当动点 P 在双曲线 C 的左支上时,
|PF1|
|PF2|2
的最大值为
1
4
AC 解析:对于双曲线 C:x2-
y2
3
=1,a=1,b= 3,c=2,所以双曲线 C 的离心
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率为 e=
c
a
=2,渐近线方程为 y=± 3x,A 选项正确,B 选项错误;
设点 P 的坐标为(x0,y0),则 x2
0-
y2
0
3
=1,双曲线 C 的两条渐近线方程分别为 x-
3
3
y
=0 和 x+
3
3
y=0,则点 P 到两条渐近线的距离之积为
|x0-
3
3
y0|
1+
-
3
3
2
·
|x0+
3
3
y0|
1+
3
3
2
=
|x2
0-
y2
0
3 |
4
3
=
3
4
,C 选项正确;
当动点 P 在双曲线 C 的左支上时,|PF1|≥c-a=1,|PF2|=2a+|PF1|=|PF1|+2,
所以
|PF1|
|PF2|2
=
|PF1|
|PF1|+2 2
=
|PF1|
|PF1|2+4+4|PF1|
=
1
|PF1|+
4
|PF1|
+4
≤
1
2 |PF1|·
4
|PF1|
+4
=
1
8
,当且仅当|PF1|=2 时,等号成立,所以
|PF1|
|PF2|2
的最大值为
1
8
,D 选项错误.
11.(2021·某某适应测试)已知 F1,F2 分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦
点,P 是双曲线上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为
π
6
,则双曲线的渐近线
方程为( )
A.y=±2xB.y=±
1
2
x
C.y=±
2
2
xD.y=± 2x
D 解析:不妨设 P 为双曲线右支上一点,则|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|
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=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为
2c>2a,
4a>2a,
所以∠PF1F2 为
最小内角,故∠PF1F2=
π
6
.由余弦定理,得 cos
π
6
=
4a 2+ 2c 2- 2a 2
2·4a·2c
=
3
2
,即( 3a
-c)2=0,所以 c= 3a,则 b= 2a,所以双曲线的渐近线方程为 y=± 2x.
12.(多选题)已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,双曲
线的左焦点在直线 x+y+ 5=0 上,A,B 分别是双曲线的左、右顶点,点 P 为双曲线右
支上位于第一象限的动点,PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2 的取值可能为( )
A.
3
4
B.1
C.
4
3
D.2
CD 解析:由双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,可得 a
=2b.由双曲线的左焦点在直线 x+y+ 5=0 上,可得-c=- 5,即 c= 5.
由 a2+b2=5,解得 a=2,b=1,双曲线的方程为
x2
4
-y2=1.
由题意可得 A(-2,0),B(2,0),
设 P(m,n),
可得
m2
4
-n2=1,即有
n2
m2-4
=
1
4
,
所以 k1k2=
n
m+2
·
n
m-2
=
n2
m2-4
=
1
4
(k1,k2>0),
则 k1+k2≥2 k1k2=1.
由 A,B 为左右顶点,可得 k1≠k2,则 k1+k2>1.
13.(2020·某某模拟)已知椭圆 M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0),双曲线 N:
x2
m2
-
y2
n2
=1.
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若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的
顶点,则椭圆 M 的离心率为________;双曲线 N 的离心率为________.
3-1 2 解析:如图,设椭圆的右焦点为 F(c,0),双曲线 N 的渐
近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A.
由题意可知 A
c
2
,
3c
2 ,因为点 A 在椭圆 M 上,所以
c2
4a2
+
3c2
4b2
=
1,所以 b2c2+3a2c2=4a2b2.因为 b2=a2-c2,所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),所以
4a4-8a2c2+c4=0,所以 e4
椭圆-8e2
椭圆+4=0,所以 e2
椭圆=4±2 3,所以
e 椭圆= 3+1(舍去)或 e 椭圆= 3-1,所以椭圆 M 的离心率为 3-1.因为双曲线的渐近
线过点 A
c
2
,
3c
2 ,所以渐近线方程为 y= 3x,所以
n
m
= 3,故双曲线的离心率 e 双曲线
=
m2+n2
m2
=2.
14.已知椭圆
x2
4
+
y2
m
=1 与双曲线 x2-
y2
n
=1 的离心率分别为 e1,e2,且有公共的焦点
F1,F2,则 4e2
1-e2
2=________.若 P 为两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=________.
0 3 解析:由题意得椭圆的半焦距满足 c2
1=4-m,双曲线的半焦距满足 c2
2=1+n.
因为两曲线有相同的焦点,所以 4-m=1+n,即 m+n=3,
则 4e2
1-e2
2=4×
4-m
4
-(1+n)=3-(m+n)=0.
不妨设 F1,F2 分别为两曲线的左、右焦点,点 P 为两曲线在第一象限的交点,
则
|PF1|+|PF2|=4,
|PF1|-|PF2|=2,
解得
|PF1|=3,
|PF2|=1,
所以|PF1|·|PF2|=3.
15.(2021·八省联考)双曲线 C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左顶点为 A,右焦点为 F,
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动点 B 在 C 上.当 BF⊥AF 时,|AF|=|BF|.
(1)求 C 的离心率;
(2)若 B 在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
(1)解:设双曲线的半焦距为 c,
则 F(c,0),B
c,±
b2
a .
因为|AF|=|BF|,所以
b2
a
=a+c.故 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0.所以 e=2.
(2)证明:设 B(x0,y0),其中 x0>a,y0>0.
因为 e=2,所以 c=2a,b= 3a.
故双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.所以∠BAF∈
0,
π
3 ,∠BFA∈
0,
2π
3 .
当 x0>a,x0≠2a 时,
tan∠BFA=-
y0
x0-c
=-
y0
x0-2a
,tan∠BAF=
y0
x0+a
.
所以 tan 2∠BAF=
2y0
x0+a
1-
y0
x0+a 2
=
2y0 x0+a
x0+a 2-y2
0
=
2y0 x0+a
x0+a 2-b2
x2
0
a2
-1
=
2y0 x0+a
x0+a 2-3a2
x2
0
a2
-1
=
2y0 x0+a
x0+a 2-3 x2
0-a2
考试
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=
2y0
x0+a -3 x0-a
=-
y0
x0-2a
=tan∠BFA.
因为 2∠BAF∈
0,
2π
3 ,所以∠BFA=2∠BAF.
当 x0=2a 时,由(1)可得∠BFA=
π
2
,∠BAF=
π
4
.所以∠BFA=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.