2022版新教材高考数学一轮复习49抛物线训练含解析新人教B版
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2022版新教材高考数学一轮复习49抛物线训练含解析新人教B版

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资料简介
考试 1 / 11 四十九 抛物线 (建议用时:45 分钟) A 组 全考点巩固练 1.(2021·某某一中高三模拟)若抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( ) A.- 17 16 B.- 15 16 C. 7 16 D. 15 16 B 解析:由抛物线的方程 y=-4x2,可得标准方程为 x2=- 1 4 y,则焦点坐标为 F 0,- 1 16 ,准线方程为 y= 1 16 .设 M(x0,y0),则由抛物线的定义可得-y0+ 1 16 =1,解得 y0=- 15 16 . 2.(2020·某某某某第一中学第七次联考)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y2= 2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的一点.若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, 且该圆的面积为 36π,则 p=( ) A.2B.4 C.6D.8 D 解析:由题意得,△OFM 的外接圆半径为 6,△OFM 的外接圆圆心应位于线段 OF 的垂直平分线 x= p 4 上,圆心到准线 x=- p 2 的距离等于 6,即有 p 4 + p 2 =6,解得 p=8.故选 D. 考试 2 / 11 3.(2020·某某某某第二中学二诊)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 作 斜率为 1 的直线 l1 与抛物线 C 交于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线 l2 与 x 轴交于点 P. 若|PF|=6,则|MN|=( ) A.10B.12 C.14D.16 B 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2).由题意知直线 MN:y=x- p 2 ,联立 y=x- p 2 , y2=2px, 得 y2-2py-p2=0,则 y1+y2=2p,y1y2=-p2.设线段 MN 的中点为 A(x0,y0),则 y1+y2 2 =p=y0,代入 y=x- p 2 中,解得 x0= 3 2 p,故直线 l2:y-p=- x- 3p 2 .令 y=0,得 x= 5p 2 , 故|PF|=2p=6,则 y1+y2=6,y1y2=-9,则|MN|= 2|y1-y2|= 2×6 2=12. 4.(2020·某某市高三三模)已知抛物线 y2=2px(p>0),过抛物线的焦点作 x 轴的垂线, 与抛物线交于 A,B 两点,点 M 的坐标为(-2,0),且△ABM 为直角三角形,则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为( ) A.y2=8xB.y2=-8x C.y2=-4xD.y2=4x B 解析:设点 A 位于第一象限,直线 AB 的方程为 x= p 2 .联立 y2=2px, x= p 2 , 可得 考试 3 / 11 x= p 2 , y=±p, 所以点 A p 2 ,p .因为△ABM 为等腰直角三角形,由抛物线的对称性可得出 |AM|=|BM|,所以直线 AM 的斜率为 1,即 kAM= p p 2 +2 =1,解得 p=4. 因此,以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y2=-8x. 5.(多选题)(2020·某某市高三一模)已知直线 l 过抛物线 C:y2=-2px(p>0)的焦点, 且与该抛物线交于 M,N 两点.若线段 MN 的长是 16,MN 的中点到 y 轴的距离是 6,O 是坐标原点,则( ) A.抛物线 C 的方程是 y2=-8x B.抛物线的准线方程是 y=2 C.直线 MN 的方程是 x-y+2=0 D.△MON 的面积是 8 2 AD 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线的定义可知|MN|=-(x1+x2)+p= 16.又 MN 的中点到 y 轴的距离为 6,所以- x1+x2 2 =6,所以 x1+x2=-12,所以 p=4. 所以抛物线 C 的方程为 y2=-8x,故 A 项正确. 抛物线 C 的准线方程是 x=2,故 B 项错误. 设直线 l 的方程是 x=my-2,联立 y2=-8x, x=my-2, 消去 x 得 y2+8my-16=0,则 y1+y2=-8m, y1·y2=-16, 所以 x1+x2=m(y1+y2)-4=-8m2-4=-12,解得 m=±1. 故直线 l 的方程是 x-y+2=0 或 x+y+2=0,故 C 项错误. S△MON= 1 2 |OF|·|y1-y2|= 1 2 ×2· y1+y2 2-4y1y2= 64+64=8 2, 考试 4 / 11 故 D 项正确. 6.(2020·池州市高三一模)已知 F 是抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,P 是抛物线 C 在 x 轴上方一点,以 P 为圆心,3 为半径的圆过点 F,且被 y 轴截得的弦长为 2 5,则抛 物线 C 的方程为____________. y2=4x 解析:设 P(x0,y0),由抛物线的定义知|PF|= p 2 +x0=3,则点 P 到 y 轴的距离 为 x0=3- p 2 >0.由垂径定理知,5+ 3- p 2 2=9,解得 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2= 4x. 7.(2020·某某高三月考)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的 延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|=________. 6 解析:如图所示,不妨设点 M 位于第一象限, 设抛物线的准线与 x 轴交于点 F′,作 MB⊥l 于点 B,NA⊥l 于点 A.由抛物线的解析式 可得准线方程为 x=-2,则 |AN|=2,|FF′|=4.在直角梯形 ANFF′中,|BM|= |AN|+|FF′| 2 = 3.由抛物线的定义有|MF|=|MB|=3.结合题意,有|MN|=|MF|=3,故|FN|=|FM|+|NM| =3+3=6. 8.(2020·某某中学高三模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,过 点 F 斜率为 3的直线 l′与抛物线 C 交于点 M(M 在 x 轴的上方),过 M 作 MN⊥l 于点 N, 连接 NF 交抛物线 C 于点 Q,则 |NQ| |QF| =________. 2 解析:由抛物线定义可得|MF|=|MN|,又斜率为 3的直线 l′倾斜角为 π 3 ,MN⊥l, 考试 5 / 11 所以∠NMF= π 3 ,即△MNF 为正三角形.因此 NF 的倾斜角为 2π 3 .由 y2=2px, y=- 3 x- p 2 , 解得 x= p 6 或 x= 3p 2 (舍),即 xQ= p 6 , |NQ| |QF| = p 6 - - p 2 p 2 - p 6 =2. 9.设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,M(p,p-1)是 C 上的点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+2 与 C 交于 A,B 两点,且|AF||BF|=13,求 k 的值. 解:(1)因为 M(p,p-1)是 C 上的点,所以 p2=2p(p-1).因为 p>0,解得 p=2, 所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由 y=kx+2, x2=4y, 得 x2-4kx-8=0,Δ=16k2+32>0, 则 x1+x2=4k,x1x2=-8. 由抛物线的定义知,|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,则|AF||BF|=(y1+1)·(y2+1)=(kx1+ 3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=4k2+9=13,解得 k=±1. B 组 新高考培优练 10.(2020·某某一模)抛物线 y2=8x 的焦点为 F.设 A,B 是抛物线上的两个动点,|AF| +|BF|= 2 3 3 |AB|,则∠AFB 的最大值为( ) A. π 3 B. 3π 4 C. 5π 6 D. 2π 3 D 解析:设|AF|=m,|BF|=n. 考试 6 / 11 因为|AF|+|BF|= 2 3 3 |AB|, 所以 2 3 3 |AB|≥2 mn,所以 mn≤ 1 3 |AB|2,当且仅当 m=n 时等号成立. 在△AFB 中,由余弦定理得 cos ∠AFB= m2+n2-|AB|2 2mn = m+n 2-2mn-|AB|2 2mn = 1 3 |AB|2-2mn 2mn ≥- 1 2 , 所以∠AFB 的最大值为 2π 3 . 11.(2020·某某质量检测)设抛物线 E:y2=6x 的弦 AB 过焦点 F,|AF|=3|BF|,过 A, B 分别作 E 的准线的垂线,垂足分别是 A′,B′,则四边形 AA′B′B 的面积等于( ) A.4 3B.8 3 C.16 3D.32 3 C 解析:(方法一)设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 F 3 2 ,0 ,所以,可设直线 AB 的方 程 x=my+ 3 2 .代入 E 的方程,整理得 y2-6my-9=0,故 y1+y2=6m,y1y2=-9,不妨 设 y1>y2.因为|AF|=3|BF|,所以 y1=-3y2,解得 y1=3 3,y2=- 3,m= 3 3 ,所以 A 9 2 ,3 3 ,B 1 2 ,- 3 . 故|AA′|= 9 2 + 3 2 =6,|BB′|= 1 2 + 3 2 =2,|A′B′|=|y1-y2|=4 3,故四边形 AA′B′B 的面 考试 7 / 11 积为 1 2 (|AA′|+|BB′|)·|A′B′|= 1 2 ×(6+2)×4 3=16 3. (方法二)设弦 AB 与 x 轴的夹角为θ,则有|AF|= p 1-cos θ = 3 1-cos θ ,|BF|= p 1+cos θ = 3 1+cos θ ,所以 3 1-cos θ =3× 3 1+cos θ ,所以 cos θ= 1 2 ,故θ=60°.故|AA′|=|AF|=6, |BB′|=|BF|=2,|A′B′|=|AB|sin θ=4 3, 所以直角梯形 AA′B′B 的面积为 1 2 (|AA′|+|BB′|)·|A′B′|= 1 2 ×(6+2)×4 3=16 3. (方法三)如图所示,作 BG⊥AA′,垂足为 G,连接 A′F. 设|BF|=m,则|AF|=3m. 由抛物线的定义知 |AA′|=3m, |A′G|=|BB′|=|BF|=m, 所以|AB|=4m,|AG|=2m, 所以∠BAA′=60°, 即△FAA′为正三角形,故∠B′A′F=30°,故|AA′|=|A′F|=2p=6=3m,解得 m=2. 故|AA′|=6,|BB′|=2,|A′B′|=4 3, 所以四边形 AA′B′B 的面积为 1 2 (|AA′|+|BB′|)·|A′B′|= 1 2 ×(6+2)×4 3=16 3. 12.(多选题)已知 O 是坐标原点,A,B 是抛物线 y=x2 上不同于 O 的两点,且 OA⊥ OB,下列结论中正确的是( ) A.|OA|·|OB|≥2 考试 8 / 11 B.|OA|+|OB|≥2 2 C.直线 AB 过抛物线 y=x2 的焦点 D.O 到直线 AB 的距离小于或等于 1 ABD 解析:设 A(x1,x2 1),B(x2,x2 2)(x1≠0,x2≠0). ∵OA⊥OB,∴OA→ ·OB→ =0, ∴OA→ ·OB→ =(x1,x2 1)·(x2,x2 2)=x1x2+x2 1x2 2=x1x2(1+x1x2)=0, ∴1+x1x2=0,∴x2=- 1 x1 , ∴|OA|·|OB| = x2 1+x4 1· x2 2+x4 2 = x2 1+x4 1 1 x2 1 + 1 x4 1 = 1+x2 1+ 1 x2 1 +1 ≥ 2+2 x2 1· 1 x2 1 =2,当且仅当 x2 1= 1 x2 1 ,即 x1=±1 时等号成立,故选项 A 正确. 又|OA|+|OB|≥2 |OA|·|OB|≥2 2,故选项 B 正确. ∵直线 AB 的斜率为 x2 2-x2 1 x2-x1 =x2+x1=x1- 1 x1 , ∴直线 AB 的方程为 y-x2 1= x1- 1 x1 (x-x1).当 x=0 时,y=1,焦点坐标 0, 1 4 不满 足直线 AB 的方程,故选项 C 错误. 原点(0,0)到直线 AB: x1- 1 x1 x-y+1=0 的距离 d= 1 x1- 1 x1 2+12 ≤1,故选项 D 正确. 13.已知抛物线方程为 y2=-4x,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,在抛物线上有一动 考试 9 / 11 点 A,点 A 到 y 轴的距离为 m,到直线 l 的距离为 n,则 m+n 的最小值为________. 6 5 5 -1 解析:如图,过 A 作 AH⊥l,AN 垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+ n+1.连接 AF,则|AF|+|AH|=m+n+1.由平面几何知识,知当 A,F,H 三点共线时,|AF| +|AH|=m+n+1 取得最小值,最小值为 F 到直线 l 的距离,即 6 5 = 6 5 5 ,即 m+n 的最 小值为 6 5 5 -1. 14.设抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点为 F,点 A 是 E 上一点,且线段 AF 的中点坐标 为(1,1). (1)求抛物线 E 的标准方程; (2)若 B,C 为抛物线 E 上的两个动点(异于点 A),且 BA⊥BC,求点 C 的横坐标的取值 X 围. 解:(1)依题意得 F 0, p 2 ,设 A(x0,y0). 由 AF 的中点坐标为(1,1),得 1= x0 2 , 1= y0+ p 2 2 , 即 x0=2,y0=2- p 2 ,所以 4=2p 2- p 2 , 得 p2-4p+4=0,解得 p=2. 所以抛物线 E 的标准方程为 x2=4y. 考试 10 / 11 (2)由题意知 A(2,1).设 B x1, x2 1 4 ,C x2, x2 2 4 ,则 kBA= x2 1 4 -1 x1-2 = 1 4 (x1+2). 因为 x1≠-2,所以 kBC=- 4 x1+2 ,所以 BC 所在直线方程为 y- x2 1 4 = -4 x1+2 (x-x1). 联立 y- x2 1 4 = -4 x1+2 x-x1 , x2=4y. 因为 x≠x1,得(x+x1)(x1+2)+16=0, 即 x2 1+(x+2)x1+2x+16=0. 因为Δ=(x+2)2-4(2x+16)≥0, 即 x2-4x-60≥0,故 x≥10 或 x≤-6. 经检验,当 x=-6 时,不满足题意. 所以点 C 的横坐标的取值 X 围是(-∞,-6)∪[10,+∞). 15.(2020·某某一模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F, 点 A 在抛物线 C 上.若|AO|=|AF|= 3 2 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 与抛物线 C 交于点 P,Q.若线段 PQ 的中点的纵坐标为 1,求△OPQ 的面积 的最大值. 解:(1)因为点 A 在抛物线 C 上,|AO|=|AF|= 3 2 ,所以点 A 的纵坐标为 p 4 .所以 p 4 + p 2 = 3 2 . 所以 p=2.所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)由题意知直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y=kx+b(b≥0),代入抛物线方程, 可得 x2-4kx-4b=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4b,所以 y1+y2=4k2+2b. 因为线段 PQ 的中点的纵坐标为 1,所以 2k2+b=1,即 2k2=1-b≥0.所以 0

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