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四十九 抛物线
(建议用时:45 分钟)
A 组 全考点巩固练
1.(2021·某某一中高三模拟)若抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点
M 的纵坐标是( )
A.-
17
16
B.-
15
16
C.
7
16
D.
15
16
B 解析:由抛物线的方程 y=-4x2,可得标准方程为 x2=-
1
4
y,则焦点坐标为
F
0,-
1
16 ,准线方程为 y=
1
16
.设 M(x0,y0),则由抛物线的定义可得-y0+
1
16
=1,解得
y0=-
15
16
.
2.(2020·某某某某第一中学第七次联考)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y2=
2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的一点.若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,
且该圆的面积为 36π,则 p=( )
A.2B.4
C.6D.8
D 解析:由题意得,△OFM 的外接圆半径为 6,△OFM 的外接圆圆心应位于线段 OF
的垂直平分线 x=
p
4
上,圆心到准线 x=-
p
2
的距离等于 6,即有
p
4
+
p
2
=6,解得 p=8.故选
D.
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3.(2020·某某某某第二中学二诊)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 作
斜率为 1 的直线 l1 与抛物线 C 交于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线 l2 与 x 轴交于点 P.
若|PF|=6,则|MN|=( )
A.10B.12
C.14D.16
B 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2).由题意知直线 MN:y=x-
p
2
,联立
y=x-
p
2
,
y2=2px,
得 y2-2py-p2=0,则 y1+y2=2p,y1y2=-p2.设线段 MN 的中点为 A(x0,y0),则
y1+y2
2
=p=y0,代入 y=x-
p
2
中,解得 x0=
3
2
p,故直线 l2:y-p=-
x-
3p
2 .令 y=0,得 x=
5p
2
,
故|PF|=2p=6,则 y1+y2=6,y1y2=-9,则|MN|= 2|y1-y2|= 2×6 2=12.
4.(2020·某某市高三三模)已知抛物线 y2=2px(p>0),过抛物线的焦点作 x 轴的垂线,
与抛物线交于 A,B 两点,点 M 的坐标为(-2,0),且△ABM 为直角三角形,则以直线 AB
为准线的抛物线的标准方程为( )
A.y2=8xB.y2=-8x
C.y2=-4xD.y2=4x
B 解析:设点 A 位于第一象限,直线 AB 的方程为 x=
p
2
.联立
y2=2px,
x=
p
2
, 可得
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x=
p
2
,
y=±p,
所以点 A
p
2
,p
.因为△ABM 为等腰直角三角形,由抛物线的对称性可得出
|AM|=|BM|,所以直线 AM 的斜率为 1,即 kAM=
p
p
2
+2
=1,解得 p=4.
因此,以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y2=-8x.
5.(多选题)(2020·某某市高三一模)已知直线 l 过抛物线 C:y2=-2px(p>0)的焦点,
且与该抛物线交于 M,N 两点.若线段 MN 的长是 16,MN 的中点到 y 轴的距离是 6,O
是坐标原点,则( )
A.抛物线 C 的方程是 y2=-8x
B.抛物线的准线方程是 y=2
C.直线 MN 的方程是 x-y+2=0
D.△MON 的面积是 8 2
AD 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线的定义可知|MN|=-(x1+x2)+p=
16.又 MN 的中点到 y 轴的距离为 6,所以-
x1+x2
2
=6,所以 x1+x2=-12,所以 p=4.
所以抛物线 C 的方程为 y2=-8x,故 A 项正确.
抛物线 C 的准线方程是 x=2,故 B 项错误.
设直线 l 的方程是 x=my-2,联立
y2=-8x,
x=my-2,
消去 x 得 y2+8my-16=0,则
y1+y2=-8m,
y1·y2=-16,
所以 x1+x2=m(y1+y2)-4=-8m2-4=-12,解得 m=±1.
故直线 l 的方程是 x-y+2=0 或 x+y+2=0,故 C 项错误.
S△MON=
1
2
|OF|·|y1-y2|=
1
2
×2· y1+y2
2-4y1y2= 64+64=8 2,
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故 D 项正确.
6.(2020·池州市高三一模)已知 F 是抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,P 是抛物线 C
在 x 轴上方一点,以 P 为圆心,3 为半径的圆过点 F,且被 y 轴截得的弦长为 2 5,则抛
物线 C 的方程为____________.
y2=4x 解析:设 P(x0,y0),由抛物线的定义知|PF|=
p
2
+x0=3,则点 P 到 y 轴的距离
为 x0=3-
p
2
>0.由垂径定理知,5+
3-
p
2 2=9,解得 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=
4x.
7.(2020·某某高三月考)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的
延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|=________.
6 解析:如图所示,不妨设点 M 位于第一象限,
设抛物线的准线与 x 轴交于点 F′,作 MB⊥l 于点 B,NA⊥l 于点 A.由抛物线的解析式
可得准线方程为 x=-2,则 |AN|=2,|FF′|=4.在直角梯形 ANFF′中,|BM|=
|AN|+|FF′|
2
=
3.由抛物线的定义有|MF|=|MB|=3.结合题意,有|MN|=|MF|=3,故|FN|=|FM|+|NM|
=3+3=6.
8.(2020·某某中学高三模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,过
点 F 斜率为 3的直线 l′与抛物线 C 交于点 M(M 在 x 轴的上方),过 M 作 MN⊥l 于点 N,
连接 NF 交抛物线 C 于点 Q,则
|NQ|
|QF|
=________.
2 解析:由抛物线定义可得|MF|=|MN|,又斜率为 3的直线 l′倾斜角为
π
3
,MN⊥l,
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所以∠NMF=
π
3
,即△MNF 为正三角形.因此 NF 的倾斜角为
2π
3
.由
y2=2px,
y=- 3
x-
p
2 ,
解得 x=
p
6
或 x=
3p
2
(舍),即 xQ=
p
6
,
|NQ|
|QF|
=
p
6
-
-
p
2
p
2
-
p
6
=2.
9.设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,M(p,p-1)是 C 上的点.
(1)求抛物线 C 的方程;
(2)若直线 l:y=kx+2 与 C 交于 A,B 两点,且|AF||BF|=13,求 k 的值.
解:(1)因为 M(p,p-1)是 C 上的点,所以 p2=2p(p-1).因为 p>0,解得 p=2,
所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).
由
y=kx+2,
x2=4y,
得 x2-4kx-8=0,Δ=16k2+32>0,
则 x1+x2=4k,x1x2=-8.
由抛物线的定义知,|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,则|AF||BF|=(y1+1)·(y2+1)=(kx1+
3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=4k2+9=13,解得 k=±1.
B 组 新高考培优练
10.(2020·某某一模)抛物线 y2=8x 的焦点为 F.设 A,B 是抛物线上的两个动点,|AF|
+|BF|=
2 3
3
|AB|,则∠AFB 的最大值为( )
A.
π
3
B.
3π
4
C.
5π
6
D.
2π
3
D 解析:设|AF|=m,|BF|=n.
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因为|AF|+|BF|=
2 3
3
|AB|,
所以
2 3
3
|AB|≥2 mn,所以 mn≤
1
3
|AB|2,当且仅当 m=n 时等号成立.
在△AFB 中,由余弦定理得
cos ∠AFB=
m2+n2-|AB|2
2mn
=
m+n 2-2mn-|AB|2
2mn
=
1
3
|AB|2-2mn
2mn
≥-
1
2
,
所以∠AFB 的最大值为
2π
3
.
11.(2020·某某质量检测)设抛物线 E:y2=6x 的弦 AB 过焦点 F,|AF|=3|BF|,过 A,
B 分别作 E 的准线的垂线,垂足分别是 A′,B′,则四边形 AA′B′B 的面积等于( )
A.4 3B.8 3
C.16 3D.32 3
C 解析:(方法一)设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 F
3
2
,0
,所以,可设直线 AB 的方
程 x=my+
3
2
.代入 E 的方程,整理得 y2-6my-9=0,故 y1+y2=6m,y1y2=-9,不妨
设 y1>y2.因为|AF|=3|BF|,所以 y1=-3y2,解得 y1=3 3,y2=- 3,m=
3
3
,所以
A
9
2
,3 3
,B
1
2
,- 3
.
故|AA′|=
9
2
+
3
2
=6,|BB′|=
1
2
+
3
2
=2,|A′B′|=|y1-y2|=4 3,故四边形 AA′B′B 的面
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积为
1
2
(|AA′|+|BB′|)·|A′B′|=
1
2
×(6+2)×4 3=16 3.
(方法二)设弦 AB 与 x 轴的夹角为θ,则有|AF|=
p
1-cos θ
=
3
1-cos θ
,|BF|=
p
1+cos θ
=
3
1+cos θ
,所以
3
1-cos θ
=3×
3
1+cos θ
,所以 cos θ=
1
2
,故θ=60°.故|AA′|=|AF|=6,
|BB′|=|BF|=2,|A′B′|=|AB|sin θ=4 3,
所以直角梯形 AA′B′B 的面积为
1
2
(|AA′|+|BB′|)·|A′B′|=
1
2
×(6+2)×4 3=16 3.
(方法三)如图所示,作 BG⊥AA′,垂足为 G,连接 A′F.
设|BF|=m,则|AF|=3m.
由抛物线的定义知 |AA′|=3m,
|A′G|=|BB′|=|BF|=m,
所以|AB|=4m,|AG|=2m,
所以∠BAA′=60°,
即△FAA′为正三角形,故∠B′A′F=30°,故|AA′|=|A′F|=2p=6=3m,解得 m=2.
故|AA′|=6,|BB′|=2,|A′B′|=4 3,
所以四边形 AA′B′B 的面积为
1
2
(|AA′|+|BB′|)·|A′B′|=
1
2
×(6+2)×4 3=16 3.
12.(多选题)已知 O 是坐标原点,A,B 是抛物线 y=x2 上不同于 O 的两点,且 OA⊥
OB,下列结论中正确的是( )
A.|OA|·|OB|≥2
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B.|OA|+|OB|≥2 2
C.直线 AB 过抛物线 y=x2 的焦点
D.O 到直线 AB 的距离小于或等于 1
ABD 解析:设 A(x1,x2
1),B(x2,x2
2)(x1≠0,x2≠0).
∵OA⊥OB,∴OA→ ·OB→ =0,
∴OA→ ·OB→ =(x1,x2
1)·(x2,x2
2)=x1x2+x2
1x2
2=x1x2(1+x1x2)=0,
∴1+x1x2=0,∴x2=-
1
x1
,
∴|OA|·|OB|
= x2
1+x4
1· x2
2+x4
2
= x2
1+x4
1
1
x2
1
+
1
x4
1
= 1+x2
1+
1
x2
1
+1
≥ 2+2 x2
1·
1
x2
1
=2,当且仅当 x2
1=
1
x2
1
,即 x1=±1 时等号成立,故选项 A 正确.
又|OA|+|OB|≥2 |OA|·|OB|≥2 2,故选项 B 正确.
∵直线 AB 的斜率为
x2
2-x2
1
x2-x1
=x2+x1=x1-
1
x1
,
∴直线 AB 的方程为 y-x2
1=
x1-
1
x1 (x-x1).当 x=0 时,y=1,焦点坐标
0,
1
4 不满
足直线 AB 的方程,故选项 C 错误.
原点(0,0)到直线 AB:
x1-
1
x1 x-y+1=0 的距离 d=
1
x1-
1
x1 2+12
≤1,故选项
D 正确.
13.已知抛物线方程为 y2=-4x,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,在抛物线上有一动
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点 A,点 A 到 y 轴的距离为 m,到直线 l 的距离为 n,则 m+n 的最小值为________.
6 5
5
-1 解析:如图,过 A 作 AH⊥l,AN 垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+
n+1.连接 AF,则|AF|+|AH|=m+n+1.由平面几何知识,知当 A,F,H 三点共线时,|AF|
+|AH|=m+n+1 取得最小值,最小值为 F 到直线 l 的距离,即
6
5
=
6 5
5
,即 m+n 的最
小值为
6 5
5
-1.
14.设抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点为 F,点 A 是 E 上一点,且线段 AF 的中点坐标
为(1,1).
(1)求抛物线 E 的标准方程;
(2)若 B,C 为抛物线 E 上的两个动点(异于点 A),且 BA⊥BC,求点 C 的横坐标的取值
X 围.
解:(1)依题意得 F
0,
p
2 ,设 A(x0,y0).
由 AF 的中点坐标为(1,1),得
1=
x0
2
,
1=
y0+
p
2
2
,
即 x0=2,y0=2-
p
2
,所以 4=2p
2-
p
2 ,
得 p2-4p+4=0,解得 p=2.
所以抛物线 E 的标准方程为 x2=4y.
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(2)由题意知 A(2,1).设 B
x1,
x2
1
4 ,C
x2,
x2
2
4 ,则 kBA=
x2
1
4
-1
x1-2
=
1
4
(x1+2).
因为 x1≠-2,所以 kBC=-
4
x1+2
,所以 BC 所在直线方程为 y-
x2
1
4
=
-4
x1+2
(x-x1).
联立
y-
x2
1
4
=
-4
x1+2
x-x1 ,
x2=4y.
因为 x≠x1,得(x+x1)(x1+2)+16=0,
即 x2
1+(x+2)x1+2x+16=0.
因为Δ=(x+2)2-4(2x+16)≥0,
即 x2-4x-60≥0,故 x≥10 或 x≤-6.
经检验,当 x=-6 时,不满足题意.
所以点 C 的横坐标的取值 X 围是(-∞,-6)∪[10,+∞).
15.(2020·某某一模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,
点 A 在抛物线 C 上.若|AO|=|AF|=
3
2
.
(1)求抛物线 C 的方程;
(2)设直线 l 与抛物线 C 交于点 P,Q.若线段 PQ 的中点的纵坐标为 1,求△OPQ 的面积
的最大值.
解:(1)因为点 A 在抛物线 C 上,|AO|=|AF|=
3
2
,所以点 A 的纵坐标为
p
4
.所以
p
4
+
p
2
=
3
2
.
所以 p=2.所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.
(2)由题意知直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y=kx+b(b≥0),代入抛物线方程,
可得 x2-4kx-4b=0.
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4b,所以 y1+y2=4k2+2b.
因为线段 PQ 的中点的纵坐标为 1,所以 2k2+b=1,即 2k2=1-b≥0.所以 0