第三讲 椭 圆
1.[2021 八省市新高考适应性考试]椭圆
2
2
+1
+
2
2
=1(m>0)的焦点为 F1,F2,上顶点为 A,若∠F1AF2=π
3
,则 m=( )
B.
2
C.
3
2.[2021 广东深圳模拟]已知动点 M 在以 F1,F2 为焦点的椭圆 x2+
2
4
=1 上,动点 N 在以 M 为圆心,|MF1|为半径的圆上,
则|NF2|的最大值为 ( )
3.[2020 安徽省示范高中名校联考]已知椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0),F1,F2 分别为其左、右焦点,|F1F2|=2
2
,B 为短轴的
一个端点,△BF1O(O 为坐标原点)的面积为
7
,则椭圆的长轴长为 ( )
A.4 C.
1+ 33
2
D.1+
33
4.[2020 福建省三明市模拟]已知 P 是椭圆
2
25
+
2
9
=1 上一点,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2
面积为 ( )
3 3
C.
3
D.
3
3
5.[多选题]已知 P 是椭圆 E:
2
4
+
2
=1(m>0)上任意一点,M,N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线 PM,PN 的斜
率分别为 k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|的最小值为 1,则下列结论正确的是 ( )
2
4
+y2=1
1
2
C.曲线 y=log3x-
1
2
经过 E 的一个焦点
D.直线 2x-y-2=0 与 E 有两个公共点
6.[2019 全国卷Ⅲ,5 分]设 F1,F2 为椭圆 C:
2
36
+
2
20
=1 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若△MF1F2 为等腰三角形,
则 M 的坐标为 .
7.[2020 洛阳市第一次联考]已知椭圆 C1:
2
1
2
+
2
1
2
=1(a1>b1>0)与双曲线 C2:
2
2
2
-
2
2
2
=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点 F1,F2,点
P 是曲线 C1 与 C2 的一个公共点,e1,e2 分别是 C1 和 C2 的离心率,若 PF1⊥PF2,则 4
1
2
+
2
2
的最小值为 .
8.[2020 惠州市二调]已知椭圆
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的短轴长为 2,上顶点为 A,左顶点为 B,左、右焦点分别是 F1,F2,且△
F1AB 的面积为
2
−
3
2
,点 P 为椭圆上的任意一点,则
1
|1|
+
1
|2|
的取值范围是 .
9.[2021 贵阳市四校第二次联考]在平面直角坐标系中,椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的焦距为 2,且过点(1,
2
2
).
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)过椭圆 C 左焦点 F1 的直线 l(不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 A,B 两点,若点 H(-
1
3
,0)满足|HA|=|HB|,求|AB|.
10.[2020 陕西省百校第一次联考]已知椭圆
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆上一动点 M 到点 F 的最远距离和最
近距离分别为
3
+1 和
3
-1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点,若
·
+
·
=10,求 k 的值.
11.[2021 黑龙江大庆调研]已知椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于 A,B 两点,以 AB 为直径的圆过右焦
点 F,若∠FAB=α,α∈[ π
12
,π
3
],则此椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.[
2
2
,
3
-1] B.[
2
2
,
6
3
]
C.(0,
2
2
] D.[
6
3
,1)
12.[2021 四川遂宁模拟]已知椭圆 T:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的长半轴长为 2,且过点 M(0,1).若过点 M 引两条互相垂直的直
线 l1,l2,P 为椭圆上任意一点,记点 P 到 l1,l2 的距离分别为 d1,d2,则
1
2
+ 2
2
的最大值为 ( )
B.
4 3
3
D.
16
3
13.[2020 四川五校联考]设椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为
5
3
,以 F1F2 为直径的圆与椭圆
C 在第一象限的交点为 P,则直线 PF1 的斜率为 ( )
A.
1
3
B.
1
2
C.
3
3
D.
3
2
14.[2020 江西南昌模拟]已知 F1,F2 为椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点 O 且倾斜角为 30°的直线 l 与椭
圆 C 的一个交点为 A,若 AF1⊥AF2,
△
12
=2,则椭圆 C 的方程为 ( )
A.
2
6
+
2
2
=1 B.
2
8
+
2
4
=1
C.
2
8
+
2
2
=1 D.
2
20
+
2
16
=1
15.[2020 广东七校联考]已知椭圆 C 的方程为
2
2
+
2
2
=1(a>b>0),焦距为 2c,直线 l:y=
2
4
x 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,
若|AB|=2c,则椭圆 C 的离心率为 .
16.[2020 四省八校联考]设点 P 是椭圆 C:
2
8
+
2
4
=1 上的动点,F 为椭圆 C 的右焦点,定点 A(2,1),则|PA|+|PF|的取值范
围是 .
17.[2020 山东枣庄模拟][递进型]已知椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,直线
3
x-y+4
3
=0 过点
F1 且与 C 在第二象限的交点为 P,若∠POF1=60°(O 为坐标原点),则 F2 的坐标为 ,C 的离心率为 .
18.[2021 河北六校第一次联考]已知 P(
2
,
3
)是椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)上一点,以点 P 及椭圆的左、右焦点 F1,F2
为顶点的三角形的面积为 2
3
.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)过 F2 作斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,M 是 l1 与 C 两交点的中点,N 是 l2 与 C 两交点的中点,求△MNF2 面积的最
大
19.[2021 广西北海市高三一模][数学与物理综合]2020 年 3 月 9 日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭,
成功发射北斗系统第 54 颗导航卫星,第 54 颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为 R,若其
近地点、远地点离地面的距离大约分别是
1
15
R,
1
3
R,则第 54 颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是 ( )
A.
2
5
B.
1
5
C.
2
3
D.
1
9
20. [多选题]历史上,许多人研究过圆锥的截口曲线.如图 9-3-1,在此圆锥中,圆锥的母线与轴的夹角为 30°,现有一截
面与圆锥的一条母线垂直,与轴的交点 O 到圆锥顶点 M 的距离为 1,下列关于所得截口曲线的命题中说法正确的是
( )
2 3
3
图 9-3-1
答 案
第三讲 椭 圆
图 D 9-3-3
1.C 如图 D 9-3-3 所示,由题意可得△AF1F2 为等边三角形,所以∠AF2O=π
3
,|AF1|=|AF2|=
2
+ 1
,所以 sin∠
AF2O=sinπ
3
=
||
|2|
=
2
2+1
,解得 m=
3
,故选 C.
2.B 由椭圆的方程可得焦点在 y 轴上,长半轴长 a=2.由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|,当 N,M,F2 三点
共线且 M 在线段 NF2 上时,|NF2|取得最大值,而此时|NF2|=|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|=2a=4,所以|NF2|的最大值为
4,故选 B.
3.B 由题意可知 c=
2
,
△
1
=
1
2
bc=
2
2
b=
7
,解得 b=
14
,所以 a=
2
+
2
=4,所以椭圆的长轴长为 2a=8,故选 B.
4.A 解法一 由椭圆标准方程,得 a=5,b=3,所以 c=
2
-
2
=4.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得 t1+t2=10
①.在△F1PF2 中,∠F1PF2=60°,根据余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得
1
2
+
2
2
-t1t2=64 ②.把①两边平方得
1
2
+
2
2
+2t1t2=100 ③.由③-②可得 t1t2=12,所以
△
12
=
1
2
t1t2sin∠F1PF2=3
3
.
故选 A.
解法二 由椭圆焦点三角形的面积公式,得
△
12
=b2tan
2
=9tan
60
°
2
=3
3
.故选 A.
5.ACD 设 P(x0,y0),M(x1,y1),x0≠±x1,y0≠±y1,则 N(-x1,-y1),
0
2
4
+
0
2
=1,
1
2
4
+
1
2
=1,所以
0
2
=m-
4 0
2
,
1
2
=m-
1
2
4
,k1k2=
0-1
0-1
·
0+1
0+1
=
0
2
-1
2
0
2
-1
2
=-
4
.于是|k1|+|k2|≥2
|1|
·
|2|
=2
|12|
=2
|-
4 |
=
,依题意得
=1,
解得 m=1,故 E 的方程为
2
4
+y2
3
2
,B 错误.椭圆 E 的焦点为(±
3
,0),曲线 y=log3x-
1
2
经过焦点(
3
,0),C 正确.直线
2x-y-2=0 过点(1,0),且点(1,0)在 E 内,故直线 2x-y-2=0 与 E 有两个公共点,D 正确.故选 ACD.
6.(3,
15
) 不妨令 F1,F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,根据题意可知 a=6,c=
36
−
20
=4.因为△MF1F2 为等腰三角形,
所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设 M(x,y),则
2
36 +
2
20 = 1,
|1|
2
= ( + 4)
2
+
2
= 64,
> 0,
> 0,
得
= 3,
= 15,
所以 M 的坐标为
(3,
15
).
7.
9
2
设点 P 在双曲线的右支上,F2 为两曲线的右焦点,由椭圆及双曲线的定义可得
|1|+|2|=21,
|1|-|2|=22,
解得
|1|=1 + 2,
|2|=1-2.
设|F1F2|=2c,因为 PF1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,整理得
1
2
+
2
2
=2c2,两边同时除以 c2,得
1
1
2
+
1
2
2
1
2
+
2
2
=
1
2
(4
1
2
+
2
2
)(
1
1
2
+
1
2
2
)=
1
2
(5+
41
2
2
2
+
2
2
1
2
)≥
1
2
×(5+2×2)=
9
2
,当且仅当
41
2
2
2
=
2
2
1
2
,且
1
1
2
+
1
2
2
=2 时取“=”,即当 e1=
3
2
,e2=
6
2
时取“=”,故 4
1
2
+
2
2
的最小值为
9
2
.
8.[1,4] 由已知得 2b=2,故 b=1,∴a2-c2=b2=1 ①.∵△F1AB 的面积为
2
−
3
2
,∴
1
2
(a-c)b=
2
−
3
2
,∴a-c=2-
3
②.由①②
联立解得,a=2,c=
3
.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴
1
|1|
+
1
|2|
=
|1|+|2|
|1||2|
=
4
|1|(4-|1|)
=
4
-|1|
2
+4|1|
,又 2-
3
≤
|PF1|≤2+
3
,∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,∴1≤
1
|1|
+
1
|2|
≤4,即
1
|1|
+
1
|2|
的取值范围是[1,4].
9.(1)由题意得 2c=2,即 c=1,所以 a2=b2+c2=b2+1,
将(1,
2
2
)代入
2
2
+1
+
2
2
=1,可得
1
2
+1
+
1
2
2
=1,
即 2b2+b2+1=2b2(b2+1),整理得(2b2+1)(b2-1)=0,
解得 b2=-
1
2
(舍去)或 b2=1,则 a2=2,
所以椭圆 C 的方程为
2
2
+y2=1.
(2)由题意得 F1(-1,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆 C 与直线 l 的方程,可得 x2+2k2(x+1)2=2,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
则Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,
且 x1+x2=-
4
2
2
2
+1
,x1x2=
2
2
-2
2
2
+1
.设 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0=
1+2
2
=-
2
2
2
2
+1
,y0=k(x0+1)=
2
2
+1
.
因为点 H(-
1
3
,0)满足|HA|=|HB|,
所以 kMH=-
1
,即
22+1
-
22
22+1+
1
3
=-
1
,解得 k=±1,
则 x1+x2=-
4
2
2
2
+1
=-
4
3
,x1x2=
2
2
-2
2
2
+1
=0,
所以|AB|=
2
+ 1
·
(1 + 2)
2
-412
=
2
×
4
3
=
4 2
3
.
10. (1)由题意知,a+c=
3
+1,a-c=
3
-1.
又 a2=b2+c2,所以可得 b=
2
,c=1,a=
3
,
所以椭圆的方程为
2
3
+
2
2
=1.
(2)由(1)可知 F(-1,0),则直线 CD 的方程为 y=k(x+1),
由
= ( + 1),
2
3 +
2
2 = 1,
消去 y 得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
Δ=36k4-4(2+3k2)(3k2-6)=48k2+48>0.
设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=-
6
2
2+3
2
,x1x2=
3
2
-6
2+3
2
.
又 A(-
3
,0),B(
3
,0),
所以
·
+
·
=(x1+
3
,y1)·(
3
-x2,-y2)+(x2+
3
,y2)·(
3
-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2
=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+
2
2
+12
2+3
2
=10,
解得 k=±
10
5
.
图 D 9-3-4
11.B 设椭圆的另一个焦点为 F',连接 AF',BF,BF',如图 D 9-3-4 所示,则四边形 AFBF'是矩形,所以
|AB|=|FF'|=2c,|FA|=2c·cos α,|FB|=2c·sin α,由椭圆的定义可知,|FA|+|AF'|=|FA|+|FB|=2a,即 2c·cos α+2c·sin α
=2a.所以离心率 e=
=
1
sin+cos
=
1
2sin(+
π
4)
.因为α∈[ π
12
,π
3
],所以π
4
+α∈[π
3
,
7
π
12
],
2
sin(α+π
4
)∈[
6
2
,
2
],所以 e∈[
2
2
,
6
3
].故选
B.
12.B 由题意可得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为
2
4
+y2=1.设 P(x,y),
①若直线 l1,l2 中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为 0,不妨设直线 l1 的方程为 x=0,则 l2 的方程为 y=1.
则
1
2
+
2
2
=x2+(1-y)2,因为 P 在椭圆上,所以 x2=4-4y2,
所以
1
2
+
2
2
=5-3y2-2y=5-3(y+
1
3
)2+
1
3
,y∈[-1,1],
所以当 y=-
1
3
时,
1
2
+
2
2
有最大值
16
3
,所以
1
2
+ 2
2
的最大值为
4 3
3
.②当直线 l1,l2 的斜率都存在,且不为 0 时,设直线 l1 的
方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0,
则 l2 的方程为 y=-
1
x+1,即 x+ky-k=0.
则 d1=
|-+1|
1+2
,d2=
|+-|
1+2
,
所以
1
2
+
2
2
=
(-+1)
2
+(+-)
2
1+
2
=x2+y2-2y+1
=4-4y2+y2-2y+1
=5-3y2-2y,
由①可得
1
2
+ 2
2
的最大值为
4 3
3
.故选 B.
13.B 解法一 由题意可知,|F1F2|=2c,又由 e=
=
5
3
得 c=
5
3
a,所以|F1F2|=
2 5
3
1F2 为直径的圆与椭圆 C 在第一象限的
交点,故 PF1⊥PF2 且|PF1|>|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|=
8
9
a2,所以
|PF1|=
4
3
a,|PF2|=
2
3
a,所以直线 PF1 的斜率
1
=tan∠PF1F2=
|2|
|1|
=
1
2
.故选 B.
解法二 因为 e=
=
5
3
,故可设 a=3,c=
5
,则 b=2,
△
12
=b2tan∠
12
2
=b2tan 45°=
1
2
|PF1|·|PF2|=4.因为点 P 在第一
象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|PF2|=2,所以直线 PF1 的斜率
1
=tan∠PF1F2=
|2|
|1|
=
1
2
.故选 B.
14.A 因为点 A 在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把该等式两边同时平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又 AF1⊥
AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则 2|AF1||AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以
△
12
=
1
2
|AF1||AF2|=b2=2.因为△
AF1F2 是直角三角形,∠F1AF2=90°,且 O 为 F1F2 的中点,所以|OA|=
1
2
|F1F2|=c.不妨设点 A 在第一象限,则∠AOF2=30°,
所以 A(
3
2
c,
1
2
c),所以
△
12
=
1
2
|F1F2|·
1
2
c=
1
2
c2=2,即 c2=4,故 a2=b2+c2=6,所以椭圆 C 的方程为
2
6
+
2
2
=1,故选 A.
15.
3
2
设直线 l 与椭圆 C 在第一象限内的交点为 A(x1,y1),则 y1=
2
4
x1,由|AB|=2c,可知|OA|=
1
2
+ 1
2
=c(O 为坐标原
点),即
1
2
+ (
2
4 1)
2
=c,解得 x1=
2 2
3
c,所以 A 的坐标为(
2 2
3
c,
1
3
c),把点 A 的坐标代入椭圆方程得
(
2 2
3 )
2
2
+
(
1
3)
2
2
=1,又
a2=b2+c2,e=
,整理得 8e4-18e2+9=0,即(4e2-3)(2e2-3)=0,又 0
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